Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
|
|
- Daniela Marta Říhová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života člověka, počet gólů v zápase, počet zkoušek, které dopadnou na výborně,... číselně vyjádřený výsledek náhodného pokusu předem neznáme její hodnotu Náhodná veličina je funkce, která zobrazuje elementární jevy ω Ω na reálná čísla. většinou značíme písmenky X, Y, Z atd. každému elementárnímu jevu ω přiřadí reálné číslo (převádí elementární jevy (abstraktními objekty) na čísla) její hodnota X (ω) se liší podle toho, který elementární jev ω Ω nastal víme-li, který ω nastal, známe hodnotu náhodné veličiny X (ω) Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45 Příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme náhodně vybranou rodinu, která má tři děti. Zaveďme náhodné veličiny X určuje počet dcer a Y je počet starších bratrů nejmladšího dítěte. Prozkoumejme náhodné veličiny X a Y. Prostor elementárních jevů Ω je dán výčtem pohlaví dětí od nejstaršího do nejmladšího (uspořádané trojice). Ω = {SSS, SSD, SDS, DSS, DDS, DSD, SDD, DDD} (S je syn, D je dcera). Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Příklad děti pokrač. ω X (ω) Y (ω) SSS 2 SSD 1 2 SDS 1 1 DSS 1 1 DDS 2 DSD 2 1 SDD 2 1 DDD 3 Vidíme, jakých hodnot X a Y nabývají, a uměli bychom spočítat, s jakými pravděpodobnostmi. Matematická statistika Šárka Hudecová 4/ 45
2 Rozdělení náhodné veličiny Distribuční funkce Rozdělení náhodné veličiny X charakterizuje jakých hodnot může náhodná veličina X nabývat a s jakými pravděpodobnostmi. Distribuční funkce F náhodné veličiny X je funkce R, 1 definovaná předpisem Značení F () = P[X ] pro (, ). P[X = ] P({ω Ω : X (ω) = }) pro R, P[X ] P({ω Ω : X (ω) }) pro R, P[X B] P({ω Ω : X (ω) B}) pro B R Předpis, který nám pro každou B R udává P[X B], se nazývá rozdělení náhodné veličiny X. hodnota F () je pst, že X nepřekročí distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení X známe-li F () pro každé dokážeme spočítat P[X B] pro libovolnou B R někdy značení F X Matematická statistika Šárka Hudecová 5/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 6/ 45 Vlastnosti distribuční funkce 1. Věta Distribuční funkce F splňuje 1 je neklesající; tj. F() < 2 F ( 1 ) F ( 2 ), je zprava spojitá, 3 F () se blíží k pro, tj. lim F () =, 4 F () se blíží k 1 pro, tj. F() lim F () = Matematická statistika Šárka Hudecová 7/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová / 45
3 Věta 1 Pro a < b je P[a < X b] = F (b) F (a). 2 P[X = b] rovna velikosti skoku funkce F v bodě b. Speciálně, je-li F v bodě b spojitá, pak P[X = b] =. Význam předchozí věty Ze znalosti distribuční funkce F jsme schopni okamžitě spočítat pravděpodobnost konkrétní hodnoty P[X = a], P[X = b], pravděpodobnost, že je X větší (menší, větší rovno, menší rovno) než dané číslo 1.. P[X a], P[X < a], P[X > a], P[X a], F() P(a<X<=b) pravděpodobnost, s jakou X leží v nějakém intervalu P[a < X b], P[a < X < b], P[a X b], P[a X < b] Matematická statistika Šárka Hudecová 9/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Význam náhodných veličin Náhodné veličiny převádějí abstraktní a většinou neznámou Ω na čísla pracuje se s nimi lépe ve složitějších situacích je těžké rozumně popsat ω nevadí nám to, stačí nám znát rozdělení X a pracovat na reálných číslech slouží jako model pro naše empirická pozorování (data) v teorii pravděpodobnosti s nimi pracujeme teoreticky jejich rozdělení považujeme za dané a zkoumáme jejich vlastnosti ve statistice se snažíme cosi usoudit o jejich neznámém rozdělení na základě konkrétních realizací Různé druhy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina může nabývat jen konečně nebo spočetně mnoha různých hodnot počty (četnosti), indikátory jevů apod. počet gólů v zápase, počet bodů na testu,... Spojitá náhodná veličina může nabývat nespočetně mnoha různých hodnot hodnoty z nějakého intervalu v R nebo celé R každá konkrétní hodnota má nulovou pravděpodobnost (nelze mluvit o pravděpodobnosti konkrétní hodnoty) výsledek měření: koncentrace látku ve vzorku, výška náhodně vybraného člověka... Matematická statistika Šárka Hudecová 11/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 12/ 45
4 Rozdělení diskrétní náhodné veličiny Distribuční funkce diskrétní veličiny mluvíme o diskrétním rozdělení rozdělení charakterizováno výčtem možných hodnot 1, 2,... a jejich pravděpodobnostmi p 1, p 2,..., kde p k = P[X = k ] > tabulka rozdělení Distribuční funkce F () = j: j p j musí platit hodnota pravděpodobnost p 1 p 2... p j = 1, p j (, 1) j je po částech konstantní mezi jednotlivými j, v každém bodě j má skok o velikosti p j, je nulová pro pro < min j j. Matematická statistika Šárka Hudecová 13/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 14/ 45 Příklad děti Připomenutí: Uvažujeme rodinu se třemi dětmi, X je počet dcer. Rozdělení X : Náhodná veličina X může nabývat hodnot, 1, 2, 3, a to s následujícími pravděpodobnostmi Výpočet: P[X = ] = {SSS} atd P(X = ) = 1 {SSD, SDS, DSS}, P[X = 1] = = 3 Matematická statistika Šárka Hudecová 15/ 45 1 Příklad děti Znázornění pravděpodobností (rozdělení) P[X=k] k Matematická statistika Šárka Hudecová 16/ 45
5 Příklad děti Distribuční funkce veličiny X : má skoky v bodech, 1, 2, 3 o velikostech 1, 3, 3, 1 je nulová pro < a rovna jedné pro 3. F() Matematická statistika Šárka Hudecová 17/ 45 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat nespočetně mnoha různých hodnot hodnoty z nějakého intervalu reálných čísel, nebo jakékoli reálné číslo každá konkrétní hodnota má nulovou pravděpodobnost Příklady výsledek nějakého měření, který může nabývat velkého počtu hodnot uvnitř nějakého konečného či nekonečného intervalu výška, hladina cholesterolu v krvi, rychlost molekuly plynu nelze mluvit o pravděpodobnost jednotlivých hodnot (je jich nespočetně) většinou nelze rozumně popsat ω a Ω, stačí nám ale chování X Matematická statistika Šárka Hudecová 1/ 45 Hustota Nechť X je spojitá náhodná veličina. Pak její distribuční funkce F je spojitá a také diferencovatelná (skoro všude). Pro spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F eistuje funkce f taková, že F () = f (t) dt. Funkci f nazýváme hustota náhodné veličiny X. Platí f () = F (), tj. hustota je derivací distribuční funkce (a naopak, distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě). Matematická statistika Šárka Hudecová 19/ 45 Význam hustoty hustota popisuje, jakých hodnot X nabývá a s jakými pravděpodobnostmi, f () ukazuje, jak často padá X do úzkého okolí bodu f() velké hodnoty v oblastech, kam X padá častěji, malé hodnoty v oblastech, kam X padá méně často, a nulové hodnoty v oblastech, kam X nepadá nikdy. Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45
6 Vlastnosti hustoty Vlastnosti hustoty Pro spojitou náhodnou veličinu X platí: Každá hustota f musí splňovat je nezáporná, tj. f () pro všechna R, celková plocha pod hustotou je rovna jedné, tj. f () d = 1. Věta 1 Pravděpodobnost, že X nabude konkrétní hodnoty je nulová, tj. P[X = a] = pro všechna a R. 2 Pro l a < b platí P[a < X b] = P[a < X < b] = P[a X b] = P[a X < b] a P[a < X < b] = F (b) F (a) = b a f () d, tj. pravděpodobnost, že X padne do nějakého intervalu, je dána plochou pod hustotou mezi krajními body intervalu. Matematická statistika Šárka Hudecová 21/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 22/ 45 Vlastnosti hustoty (pokrač.) Hustota Věta 3 Podobně, f() P[a<X<b] P[X < b] = P[X b] = F (b) = b P[X > a] = P[X a] = 1 F (a) = f ()d, a f ()d. a b 4 Hustota je na intervalu (a, b) nulová právě tehdy, když X do tohoto intervalu nemůže padnout, tj. f () = pro všechna (a, b) P[a < X < b] =. Matematická statistika Šárka Hudecová 23/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 24/ 45
7 Hustota Příklad Mawellovo rozdělení f() P[X>a] Mawellovo rozdělení udává rozdělení rychlosti částic ideálního plynu (rychlost = spojitá náhodná veličina) v trojrozměrném prostoru. a Hustota je dána vzorcem Hustota f () = 2 a 3 2π 2 e 2 2a 2 f() F(b)=P[X<b] kt pro > (f () = pro < ), kde a =, k je Boltzmannova m konstanta, T je teplota [K] a m je hmotnost molekuly [kg]. b Matematická statistika Šárka Hudecová 25/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 26/ 45 Hustota Mawellova rozdělení Hustota rychlosti molekuly O 2 při 25. Distribuční funkce Distribuční funkce má tvar (počítá se numericky) F () = 1 2π 2 /a 2 z e z/2 dz, hustota f rychlost v m/s 6 1 Distribucni fce F rychlost v m/s Matematická statistika Šárka Hudecová 27/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 2/ 45
8 Určení pravděpodobnosti daného rozmezí Charakteristiky náhodných veličin Distribucni fce F hustota P[4<V<6] = rychlost v m/s Plocha = Hustota a distribuční funkce popisují celé rozdělení náhodné veličiny se vším všudy. To je často příliš mnoho podrobností Někdy nás zajímá jen nějaký aspekt rozdělení náhodné veličiny, který se dá popsat jedním číslem očekávaná hodnota variabilita možných hodnot, hodnota, nad níž leží jen malé procento možných hodnot apod. číselné charakteristiky rozdělení rychlost v m/s Matematická statistika Šárka Hudecová 29/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Střední hodnota Střední hodnota náhodné veličiny Střední hodnota Střední hodnota 1 Střední hodnotou diskrétní náhodné veličiny X, která nabývá hodnot 1, 2,... s pravděpodobnostmi p 1, p 2,..., rozumíme součet EX = p i i, i 2 Střední hodnotou spojité náhodné veličiny X s hustotou f () rozumíme integrál EX = f () d, Střední hodnotu EX lze chápat jako průměrnou (očekávanou) hodnotu veličiny X, kolem níž náhodná veličina náhodně kolísá, míru polohy, populační průměr, vážený průměr všech možných hodnot jako těžiště možných hodnot Poznámka: střední hodnota eistuje, je-li příslušný integrál (součet) konečný budeme pracovat jen s náhodnými veličinami, pro které střední hodnota eistuje Matematická statistika Šárka Hudecová 31/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 32/ 45
9 Střední hodnota Příklad děti Střední hodnota Příklad Mawellovo rozdělení Příklad: Připomenutí: Uvažujeme rodinu s třemi dětmi a náhodnou veličinu X (počet dcer). Spočítejme střední počet dcer EX. Měli jsme: X je diskrétní, nabývá hodnot, 1, 2, 3 (to jsou i ) s pstmi po řadě 1, 3, 3, 1 (to jsou p i). EX = K i=1 p i i = = = 1.5 Střední počet dcer v rodině se třemi dětmi je 1.5. Očekávaný počet dcer v rodině je 1.5. Střední rychlost molekuly Pro a = EX = kt m 2 f () d = a 3 2π dostaneme EV = π kt m, 3 e 2 2a 2 dv = π a. tedy střední rychlost molekul je přímo úměrná odmocnině z teploty a nepřímo úměrná odmocnině z hmotnosti molekul. Matematická statistika Šárka Hudecová 33/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 34/ 45 Střední hodnota Střední hodnota poznámky Rozptyl Rozptyl náhodné veličiny Poznámky: Náhodná veličina nemusí nikdy nabývat své střední hodnoty. Příklad: příklad děti (EX = 1.5 dcer), hod kostkou... Podobně lze počítat Eg(X ), kde g je nějaká funkce (tj. např. EX 2, E X apod.). { i Eg(X ) = g( i)p i pro diskrétní n.v., g()f ()d pro spojitou n.v. Rozptylem náhodné veličiny X rozumíme hodnotu výrazu míra variability var X = E(X EX ) 2. střední kvadratická odchylka X od EX udává velikost kolísání (variabilitu) kolem střední hodnoty rozptyl je malý X padá s velkou pravděpodobností blízko své střední hodnoty rozptyl je velký X často padá daleko od své střední hodnoty Matematická statistika Šárka Hudecová 35/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 36/ 45
10 Rozptyl Výpočet rozptylu Rozptyl Směrodatná odchylka náhodné veličiny Platí pro diskrétní veličinu X var X = EX 2 (EX ) 2 var X = i pro spojitou veličinu X var X = ( ) 2 i 2 p i i p i, i ( 2 2 f ()d f ()d). Směrodatnou odchylkou σ X náhodné veličiny X rozumíme odmocninu z rozptylu, t.j. var X. směrodatná odchylka má stejný fyzikální rozměr jako veličina X rozptyl je vyjádřen v jednotkách 2 Matematická statistika Šárka Hudecová 37/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 3/ 45 Rozptyl Vlastnost střední hodnoty a rozptyly Vlastnosti střední hodnoty a rozptyly hustota f() Pro náhodnou veličinu X a a, b R platí 1 Je-li X = a, pak EX = a a var X =. 2 Platí E(a + bx ) = a + bex, var (a + bx ) = b 2 var X. hustota f() var X a rovnost nastane pouze, je-li X konstatní Matematická statistika Šárka Hudecová 39/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 4/ 45
11 Kvantily Medián náhodné veličiny Kvantily Výpočet mediánu spojitého rozdělení Je-li distribuční funkce F rostoucí a spojitá, pak Mediánem náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo m X, které splňuje P[X m X ] 1 2 a zároveň P[X m X ] 1 2. míra polohy podobně jako střední hodnota medián je bod, který náhodná veličina v polovině případů nedosáhne a v polovině případů přesáhne F m X = medx = F 1 (1/2) Matematická statistika Šárka Hudecová 41/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 42/ 45 Kvantily Obecná situace Jestliže není F rostoucí, pak může definici mediánu vyhovovat celý interval čísel vezmeme jeho střed F Kvantily Vlastnosti mediánu Pro náhodnou veličinu X a a, b R platí: 1 Platí med(a + bx ) = a + b medx 2 Je-li g rostoucí nebo klesající funkce, pak med g(x ) = g(medx ). 3 Má-li náhodná veličina X symetrické rozdělení (hustota je symetrická kolem nějakého bodu a R), pak EX = a = medx Matematická statistika Šárka Hudecová 43/ 45 Matematická statistika Šárka Hudecová 44/ 45
12 Kvantily Kvantil náhodné veličiny Kvantil je zobecnění mediánu. Nechť je dáno číslo α (, 1). α-kvantilem náhodné veličiny X rozumíme kterékoli reálné číslo q X (α), které splňuje P[X q X (α)] α a zároveň P[X q X (α)] 1 α. pro α = 1/2 dostaneme medián α-kvantil je bod, který náhodná veličina ve 1α % případů nedosáhne a v 1(1 α) % případů přesáhne je to hodnota, pod kterou je 1α % pravděpodobnosti je-li distr. fce F rostoucí a spojitá, pak eistuje právě jeden α-kvantil q X (α) = F 1 X (α) Matematická statistika Šárka Hudecová 45/ 45
letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha veličina Definice Funkci
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceRovnoměrné rozdělení
Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost
1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceČíselné charakteristiky a jejich výpočet
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Opakování populace a výběr z populace
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceJevy a náhodná veličina
Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceStatistika I (KMI/PSTAT)
Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
VíceÚvod do problematiky měření
1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více