Úvodní informace. 17. února 2018

Transkript

1 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018

2 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál

3 Úvodní informace. Tématické celky 1 Diferenciální počet funkcí více proměnných 2 Řešení vybraných typů obyčejných diferenciálních rovnic. 3 Integrální počet funkcí více proměnných

4 Zdroje informací Diferenciální počet ODR Integrální počet dvojný: integral trojný křivkový

5 Funkce více proměnných Definice Necht M R n, M. Funkcí více proměnných budeme rozumět každé zobrazení f : M R Množinu M nazýváme definičním oborem funkce f a značíme D f resp. D(f ). R n je kartézský součin } R R {{... R }. n krát Zobrazení f přiřazuje každé uspořádané n-tici X = (x 1,..., x n ) reálných čísel z množiny M jediné reálné číslo y, proto mluvíme o reálné funkci n reálných proměnných. Zapisujeme y = f (X ). Pro n = 2 zpravidla používáme zápis z = f (x, y), pro n = 3 : u = f (x, y, z). Příklady: fyzika: u = f (x, y, z) popisuje skalární pole skalární veličiny. objem válce: V = f (r, h) : V = π r 2 h, objem kvádru : V = f (a, b, c) : V = a b c

6 Interval a oblast Při zkoumání funkce jedné proměnné jsme pracovali s množinou M R, nejčastěji s intervalem. Funkce více (n) proměnných: množina M R n. Bod P M je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje takové okoĺı bodu P, které celé patří do M. Množinu M, jejíž každý bod je jejím vnitřním bodem, nazveme otevřenou množinou. Otevřenou množinu M, jejíž každé dva body lze spojit lomenou čarou, která celá leží v M nazveme souvislou. Otevřenou souvislou množinu nazveme oblastí. Uzavřená oblast je oblast s přidanými hromadnými body, které do ní nepatří (oblast a její hranice).

7 Definiční obor Není-li zadán definiční obor, pak se jím rozumí maximální přípustná podmnožina v R n, tj. množina bodů, ve kterých má daná funkce smysl, ve kterých existuje funkční hodnota. Příklad z = arcsin x + arcsin(1 y) 2 y Podmínky pro definiční obor: 1 jmenovatel nesmí být nula: y 0 2 pro arcsin v musí platit 1 v 1 3 pro x y 2 : 1 x y 2 1 y 2 x y 2 4 pro 1 y : 1 1 y 1 2 y 0 0 y 2 Podmínky 1, 3, 4 musí platit zároveň. Tedy funkce má smysl v části roviny omezené přímkou y = 2, parabolami y 2 = x a y 2 = x včetně hranice s vyjmutím počátku. D(f ) = {[x, y] R 2 : x R, y (0, 2 x y 2 x y 2 }

8 Definiční obor a jeho náčrt ln(x + 1) Příklad z = 4 x 2 y 2 Podmínky pro definiční obor: 1 jmenovatel nesmí být nula 2 sudá odmocnina je definovaná pouze pro nezáporné hodnoty 3 logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty

9 Vrstevnice, vrstevnicový graf funkce 2 proměnných Vrstevnicí plochy z = f (x, y) rozumíme množinu bodů v rovině, kterým funkce z = f (x, y) přiřazuje stejnou funkční hodnotu. Rovnice vrstevnice: f (x, y) = C Ve fyzice je rovnicí f (x, y, z) = C je určena skalární hladina skalárního pole (izobara, izoterma) Příklad z = 16 x 2 y 2 1 Definiční obor: D(f ) = {[x, y] R 2 : x 2 + y 2 16} Kruh se středem v [0, 0] a poloměrem 4. 2 Vrstevnice: z = C, C 0, 4, například z = 0 x 2 + y 2 = 16 z = 1 x 2 + y 2 = 15. z = 4 x 2 + y 2 = 0

10 Kuželosečky Kružnice Kanonický tvar: x 2 + y 2 = R 2 Elipsa Kanonický tvar: Hyperbola Kanonický tvar: resp. Parabola Kanonický tvar: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 x2 a 2 + y 2 b 2 = 1 y 2 = 2px resp. x 2 = 2py Parametrizace: x = R cos ϕ y = R sin ϕ, 0 ϕ < 2π Parametrizace: x = a cos ϕ y = b sin ϕ, 0 ϕ < 2π Parametrické rovnice: a x = cos ϕ y = b tg ϕ, 0 ϕ < 2π, ϕ π 2, ϕ 3π 2 nebo x = a cosh ϕ y = b sinh ϕ, ϕ R, cosh t = 1 2 (et + e t ) sinh t = 1 2 (et e t ) Parametrické rovnice: x = 1 2p t2 y = t t R resp. x = t y = 1 2p t2 t R

11 Limita a spojitost Limita lim X X 0 f (X ) = A ε > 0 δ > 0 X O(δ) : f (X ) A < 0 Příklad sin xy lim X [0,0] xy označíme u = xy pro x 0, y 0 u 0 = lim u 0 sin u u Příklad (limita neexistuje) x y lim po přímce y = x X [0,0] x + y pro x 0 y 0 = lim x x x 0 x + x = 0 ALE ale po x y přímce y = 2x lim X [0,0] x + y = lim x 2x x 0 x + 2x = 1 3 O neexistenci limity se můžeme přesvědčit například tak, že najdeme dvě různé hodnoty pro dvě různé cesty, po kterých se bĺıžíme k bodu X 0. Ale dostaneme-li na dvou cestách do bodu X 0 stejné limity, nemůžeme o existenci limity dělat žádný závěr. O limitách funkcí n proměnných platí analogické věty jako pro lim. funkce jedné prom. Spojitost funkce v bodě Funkce y = f (X ) je spojitá v bodě X 0 D(f ) 1 existuje lim X X 0 f (X ) a 2 lim X X 0 f (X ) = f (X 0 ) = 1

12 Parciální derivace Definice Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x 0, y 0 ] R 2 parciální derivaci (prvého řádu) podle x, jestliže existuje (vlastní) f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) limita lim. h 0 h Řekneme, že funkce z = f (x, y) má v bodě A = [x 0, y 0 ] R 2 parciální derivaci (prvého řádu) podle y, jestliže existuje (vlastní) f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) limita lim. h 0 h Poznámka Při výpočtu parciální derivace funkce n proměnných postupujeme tak, že n 1 proměnných považujeme za konstanty a derivujeme obvyklým způsobem (podle stejných pravidel)funkce jedné proměnné. Značení [ ] f (A) f f x y (x 0, y 0 ) x A }{{} derivace v bodě f x

13 Příklady 1 z = x 4 y 5 + 5x 3 + 6y 2, A = [1, 1] 2 z = x 2 ln y + y sin x cos 2 x 3

14 Geometrický význam Funkce jedné proměnné. Derivace funkce jedné proměnné v daném bodě (x 0 )je směrnice tečny ke grafu funkce jedné proměnné v tomto bodě ([x 0, f (x 0 )]). Funkce dvou proměnných. f (x 0, y 0 ) je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0, f (x 0, y 0 )] řezu plochy x z = f (x, y) rovinou y = y 0 rovnoběžnou s rovinou (xz). f (x 0, y 0 ) je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0, f (x 0, y 0 )] řezu plochy y z = f (x, y) rovinou x = b rovnoběžnou s rovinou (yz). Rozlišujeme bod z definičního oboru a bod na grafu funkce.

15 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány vztahy: 2 f x 2 = ( ) f 2 f x x x y = ( ) f x y Parciální derivace derivace. 2 f y 2 = y 2 f x y a ( f y ) 2 f y x 2 f y x = y ( f x ) nazýváme smíšené parciální Věta Jsou-li smíšené parciální derivace spojité v bodě A, pak jsou si v tomto bodě rovny.

16 Příklady z = x 2 y + y 3 x 4

17 Diferencovatelnost funkce Funkce z = f (x, y) je v bodě A = [x 0, y 0 ] diferencovatelná, nebo má v bodě A totální diferenciál, jestliže přírůstek funkce z lze na nějakém okoĺı bodu A vyjádřit jako z = f (x 0 + h x, y 0 + h y ) = Ah x + Bh y + ρτ(h x, h y ), kde A, B jsou konstanty, h x, h y přírůstky na osách x a y, obvykle označované dx, dy, ρ = hx 2 + hy 2 a lim τ(h x, h y ) = 0. [h x,h y ] [0,0] Funkce je diferencovatelná, je-li diferencovatelná v každém bodě definičního oboru. Věta Je-li funkce v bodě A diferencovatelná, má v bodě A f (A) f (A) parciální derivace 1.řádu a A =, B = x y Definice Je-li funkce diferencovatelná, nazývá se výraz dz = df (x, y) = f f dx + x y dy totální diferenciál funkce z = f (x, y).

18 Diferencovatelnost a spojitost Věta Je-li funkce v bodě A diferencovatelná, je v tomto bodě spojitá. Věta Jsou-li parciální derivace 1.řádu spojité v bodě A, je funkce v bodě A diferencovatelná.

19 Použití a geometrický význam diferenciálu Diferenciál lze použít například k přibližnému výpočtu hodnot funkce: f (x, y) f (x 0, y 0 ) + df (x + 0, y 0 ) Geometrický význam: Totální diferenciál funkce dvou proměnných je přírůstek měřený na tečné rovině. Tečná rovina ke grafu funkce z = f (x, y) v bodě dotyku (bod na grafu funkce) [x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )]: τ : z z0 = [ f x Normálový ( vektor tečné roviny: [ f ] [ ] f n = x y, [x 0,y 0 ] ] (x x 0 ) + [x 0,y 0 ], 1 [x 0,y 0 ] ). [ ] f (y y 0 ) y [x 0,y 0 ]

20 Taylorův polynom Se středem v bodě A, funkce jedné proměnné : A = x 0 (připomenutí) T n (x) = f (x 0 )+f (x 0 )x+ f (x 0 ) 2! x 2 + f (x 0 ) 3! funkce dvou proměnných: A = [x 0, y 0 ] [ ] f T 1 (x, y) = f (x 0, y 0 )+ x (x x 0 )+ [x 0,y 0 ] x f (n) (x 0 ) x n n! [ ] f (y y 0 ) y [x 0,y 0 ]

21 Diferencovatelnost, diferenciál, tečná rovina - příklad f (x, y) = x 2 2xy 3y 2, A = [ 1, 1] 1 definiční obor D(f ) = R 2, f (x, y) je spojitá v R 2. 2 derivace 1. řádu: f x = 2x 2y, f = 2x 6y, parciální y derivace jsou spojité v R 2 funkce f je diferencovatelná v R 2 f (A) f (A) 3 derivace 1. řádu v bodě A: = 4, = 4 x y 4 diferenciál: df = (2x 2y)dx + ( 2x 6y)dy 5 diferenciál v bodě A: df (A) = 4dx 4dy 6 rovnice tečné roviny v bodě [ 1, 1, f ( 1, 1)] = [ 1, 1, 0]: τ : z = 4(x + 1) 4(y 1) 7 Taylorův polynom 1. stupně se středem v bodě A: T 1 (x, y) = 4(x + 1) 4(x 1) 8 přibližná hodnota funkce v bodě [ 1.1, 1.2]: f ( 1.1, 1.2) =. T 1 ( 1.1, 1.2) = 4( 0.1) 4(0.2) = 0.4

22 Gradient, derivace ve směru Gradient funkce y = f (x 1,..., x n ) ( f grad f =, f,..., f ) x 1 x 2 x n Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu (největší spád) funkce v tomto bodě. Pro diferencovatelnou funkci je derivace funkce (skalárního pole) f v bodě A ve směru s f (A) f (A) f (A) df (A) grad f (A) s x = = 1 s 1 + x 2 s x n s n d s s s s s2 n Derivace skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru s určuje přírůstek skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru vektoru s neboli rychlost růstu skalárního pole f (x, y, z) v bodě A ve směru vektoru s. Vlastnosti gradientu Gradient skalárního pole f (x, y, z) je v každém bodě kolmý k hladině tímto bodem procházející. Ve směru gradientu roste skalární pole f (x, y, z) nejrychleji, ve směru opačném nejrychleji klesá. Maximální rychlost růstu skalárního pole f (x, y, z) má velikost v = grad f.

23 Příklad Vypočítejte derivaci funkce f (x, y, z) = 3x 2 4y 3 + 2z 4 v bodě A = [1, 2, 1] ve směru s = (3, 4, 5). 1 parciální derivace f f = 6x, x y = 12y 2, f z = 8z3 2 parciální derivace v bodě A f (A) f (A) f (A) = 6, = 48, = 8 x y z 3 grafient grad f (A) = (6, 48, 8) df (A) (6, 48, 8) (3, 4, 5) 4 = = 134 = 134 d s