8 Střední hodnota a rozptyl
|
|
- Marcela Marková
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení této přednášky: po přečtení kapitoly 10 ve skriptech [1] můžete absolvovat str (otázky i příklady). bed b@d OBSAH 1/39
2 Nejdůležitějšími pojmy této přednášky jsou průměr, modus a medián souboru naměřených hodnot ; rozptyl souboru naměřených hodnot (= empirický rozptyl); směrodatná odchylka souboru naměřených hodnot (= empirická směrodatná odchylka) (JEDNODUCHÉ, nebudeme probírat, prosím přečtěte si ve skriptech [1] strany ) distribuční funkce náhodné veličiny X vzorce pro diskrétní i pro spojitou veličinu; střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X vzorce pro diskrétní i pro spojitou veličinu. bed b@d OBSAH 2/39
3 Uvedené pojmy budou vysvětleny na příkladech 2 a 5 z minulé přednášky a na dalších čtyřech příkladech v této přednášce. Vraťme se k příkladu 2 z minulé přednášky (X = počet šestek v pěti hodech kostkou; situace popsána tzv. pravděpodobnostní funkcí, veličina X je diskrétní veličina). A vraťme se také k příkladu 5 z minulé přednášky (X = životnost žárovky do temné komory; situace popsána tzv. hustotou, veličina X je spojitá veličina). bed b@d OBSAH 3/39
4 Existuje nějaký matematický pojem, který by dokázal spojit jak popis diskrétní veličiny (pravděpodobnosti počítáme pomocí sumy), tak popis spojité veličiny (pravděpodobnosti počítáme pomocí integrálu)? Existuje, a jmenuje se distribuční funkce. Definice: Distribuční funkce F (x 0 ) náhodné veličiny X se definuje jako pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnotu menší než x 0. F (x 0 ) = P (X < x 0 ). bed b@d OBSAH 4/39
5 Způsob výpočtu: F (x 0 ) = P (X (, x 0 )) = k<x 0 p(k) pro diskrétní X; x0 f(x) dx pro spojitou X. (1) (POZOR, ROZLIŠUJTE f hustotu od F distribuční fce! case-sensitivity) Je jasné, že pak hodnoty distribuční funkce vypočteme buď diskrétním, nebo spojitým přístupem, ale samotný pojem distribuční funkce popisuje jak veličiny spojité, tak veličiny diskrétní. Vypočtěme distribuční funkci v příkladech 2 a 5 z minulé přednášky: bed b@d OBSAH 5/39
6 Ad příklad 2: v tabulce jsou dány hodnoty pravděpodobnostní funkce p(k): k p(k) 0,4019 0,4019 0,1608 0,0321 0,0032 0,0001 Sestrojte příslušnou distribuční funkci F (x) této veličiny. Řešení: užijme vzorec 1 pro každé reálné x dostaneme funkci F (x) na obrázku: bed b@d OBSAH 6/39
7 bed OBSAH 7/39
8 Ad příklad 5: hustota životnosti X žárovky je dána vztahem 0 pro x < 0; f(x) = e x pro x 0. Vypočtěte distribuční funkci F (x) této veličiny (opět POZOR rozlišujte f od F ). Už v minulé přednášce jsme viděli obrázek hustoty f(x): bed b@d OBSAH 8/39
9 bed OBSAH 9/39
10 Nyní se podíváme na obrázek distribuční funkce F (x): Tato byla získána integrací hustoty f(x) podle vztahu 1: x 0 pro x 0; F (x) = f(t) dt = 1 e x pro x > 0. bed b@d OBSAH 10/39
11 Co mají společného grafy na stranách 7 a 11? bed b@d OBSAH 11/39
12 Jedná se o distribuční funkce v případě diskrétním (ad př. 2 z minulé přesnášky) i v případě spojitém (ad příklad 5 z minulé přednášky). Přestože spojitý případ se od diskrétního liší, existuje několik vlastností distribuční funkce, které platí pro všechny situace. Tyto vlastnosti lze odvodit z definice distribuční funkce (z toho, že distribuční funkce je jistá pravděpodobnost, tj. hodnota v intervalu 0; 1 ). Například pro x 1 < x 2 máme z definice F (x 1 ) = P (X (, x 1 )), F (x 2 ) = P (X (, x 2 )), a protože druhý z intervalů je delší než ten první, musí platit F (x 1 ) F (x 2 ). vlastnosti přehledně: 1. lim x F (x) = 0; lim x F (x) = 1. bed b@d OBSAH 12/39
13 2. F je neklesající funkce (jedná se o jakousi kumulativní pravděpodobnost, která pro rostoucí hodnoty proměnné x může jen růst, nikoli klesat). 3. Funkce F je zleva spojitá v každém bodě, tj. limita zleva se rovná funkční hodnotě v každém bodě: lim x x 0 F (x) = F (x 0 ) pro libovolné reálné x U obou typů veličin (diskrétní i spojité) platí P (X a; b)) = F (b) F (a). bed b@d OBSAH 13/39
14 Klíčová je vlastnost číslo 4: pro diskrétní i spojitou veličinu X platí vztah P (X a; b)) = F (b) F (a). (tento vztah pro spojitou veličinu není nic než jiného než Newton-Leibnizova formule pro výpočet určitého integrálu, ale po zavedení pojmu distribuční funkce je jeho platnost rozšířena i pro diskrétní veličiny). Pro výpočet pravděpodobností platí tedy tento klíčový vztah: P (X a; b)) = F (b) F (a) = b a k a;b) p(k) pro diskrétní X; f(x) dx pro spojitou X. bed b@d OBSAH 14/39
15 Podívejme se nyní na další příklady, ve kterých se naučíme pracovat s distribuční funkcí. Příklad 8.1. Náhodná veličina X je popsána distribuční funkcí 0,5 pro 0 < x 1; F (x) = 0,7 pro 1 < x 3;?? jinak. Určete následující pravděpodobnosti, pokud je to možné: a) P (X > 1); b) P (X < 1); c) P (X 1); d) P (X 1). bed b@d OBSAH 15/39
16 Řešení: Distribuční funkci známe jen na části reálné osy, ale jsme schopni pomocí ní určit všechny uvedené pravděpodobnosti: Nejednodušší je b), protože to je přesně definice funkce F (x) v bodě x = 1: P (X < 1) = F (1) = 0,5. Ze zadání jsme také schopni určit hodnotu pravděpodobnostní funkce p v bodě x = 1, protože ta je rovna výšce schodu distribuční funkce v bodě x = 1, A TEDY p(1) = 0,2. Odtud lze určit b): P (X 1) = P (X < 1)+P (X = 1) = F (1)+p(1) = 0,5+0,2 = 0,7. a) a c) dopočítáme z toho faktu, že od hodnoty 1 bed b@d OBSAH 16/39
17 odečteme pravděpodobnost opačného jevu: P (X > 1) = 1 P (X 1) = 1 0,7 = 0,3; P (X 1) = 1 P (X < 1) = 1 0,5 = 0,5. Tyto patálie se mohou objevit pouze u diskrétní veličiny. U spojité veličiny P (X = 1) = 0 vždy, a proto vždy platí pro spojitou veličinu P (X < 1) = P (X 1). Podívejme se tedy také na distribuční funkci spojité veličiny: Vezměme opět příklad 5 z minulé přednášky: bed b@d OBSAH 17/39
18 Příklad 8.2. Distribuční funkce životnosti žárovky X je dána vztahem 0 pro x 0; F (x) = 1 e x pro x > 0. Určete pravděpodobnosti a) P (X < 1) = P (X 1); b) P (X 30) = P (X > 30); c) P (X 80; 120 ). Řešení: u spojité veličiny nás nezajímá, zda je v intervalech kulatá či ostrá závorka, protože to při integraci nehraje roli. Také je ideální, že je zadána bed b@d OBSAH 18/39
19 distribuční funkce. Ta totiž v sobě uchovává výsledek integrace a pro výpočet integrálů stačí už jen dosadit meze!! P (X < 1) = F (1) = 1 e = 0,00995; P (X > 30) = 1 P (X 30) = 1 F (30) = e = 0,74082; P (80 < X < 120) = F (120) F (80) = e e = 0, Viz prostřední řádek výpočtu: s využitím opačného jevu se snažíme nerovnosti typu X > x 0 převést na výraz využívající pravděpodobnost X < x 0, a pak dosadit distribuční funkci v daném x 0. Důležitým cvičením je v každém z uvedených tří případů nakreslit obrázek plochy, jejíž obsah počítáme (viz minulá přednáška). bed b@d OBSAH 19/39
20 Příklad 8.3. Domácí úkol na příští přednášku: s využitím vztahu F (x) = x f(t) dt vypočtěte F (x), jeli zadána hustota f(x) na obrázku: 1 y x 2 3 bed b@d OBSAH 20/39
21 Důležitými parametry pro popis náhodné veličiny jsou střední hodnota a rozptyl. Střední hodnota náhodné veličiny X je, zhruba řečeno, průměrná hodnota, kterou naměříme. Přesněji řečeno, jedná se o teoretický průměr = průměr hodnot měření veličiny X, který bychom většinou spočetli, pokud by se měřená veličina chovala přesně podle teoretického popisu zadaného distribuční funkcí F (x). Studenti musí opět pečlivě vážit, zda při výpočtu užít diskrétní či spojitou variantu vzorce: bed b@d OBSAH 21/39
22 EX = k Ω k p(k) pro diskrétní X; + x f(x) dx pro spojitou X. (3) Dalším důležitým parametrem je rozptyl: ten udává, jak moc by se odchylovaly měřené hodnoty X od své střední hodnoty EX, pokud by se veličina X chovala přesně podle teoretického popisu zadaného distribuční funkcí F (x). Vzorec pro výpočet: DX = ( k Ω k2 p(k) ) (EX) 2 pro diskrétní X; + x2 f(x) dx (EX) 2 pro spojitou X. (4) bed b@d OBSAH 22/39
23 Protože rozměr veličiny DX je čtverec rozměru veličiny X, pro praktické účely potřebujeme znát tzv. směrodatnou odchylku, definovanou jako σ(x) = DX. (5) Směrodatná odchylka je tedy veličina, která nám reprezentuje míru odchylování veličiny X od její střední hodnoty EX a to ve stejných jednotkách jako jsou jednotky veličiny X. bed b@d OBSAH 23/39
24 Pro názornost: zhruba řečeno, u mnoha veličin platí tzv. pravidlo šesti σ: asi 97,5 procent měření veličiny X (tedy naprostá většina měření veličiny) leží v intervalu EX 3σ; EX + 3σ. Tedy rozptýlenost měření veličiny X lze popsat intervalem šířky 6σ a středem v bodě EX. Více o tomto pravidle bude řečeno u normálního rozdělení pravděpodobnosti. bed b@d OBSAH 24/39
25 Poznámka: pokud máme k dispozici měření x 1, x 2,..., x n veličiny X, tak odhadem její střední hodnoty EX je průměr těchto měření x = 1 n n x i, odhadem jejího rozptylu DX je empirický rozptyl naměřených hodnot ( ) s 2 = 1 n (x x) 2 1 n =... = x 2 i (x) 2 n n 1 (pomůcka pro zapamatování: průměr čtverců minus čtverec průměru). 1 1 bed b@d OBSAH 25/39
26 Příklad 8.4. Diskrétní náhodná veličina udává počet gramatických chyb v krátkém textu, platí pro ni 0 pro x 0 F (x) = 0,5 pro x (0; 1 ; 0,8 pro x (1; 2 ; 0,9 pro x (2; 3 ; 0,95 pro x (3; 4 ; 1 pro x (4; ). Určete pravděpodobnost toho, že v textu budou a) méně než dvě chyby; b) právě tři chyby; c) vypočtěte EX, DX. bed b@d OBSAH 26/39
27 Řešení: Ad a) Nejjednodušší úkol: pouze dosadíme zadání: P (X < 2) = F (2) = 0,8. Ad b,c) Veličina X může nabývat hodnot 0, 1, 2, 3, 4 to plyne z charakteru funkce F (x). Hodnoty pravděpodobnostní funkce jsou rovny výšce schodů v jednotlivých bodech skoku. Pak P (X = 3) = 0,05; pro střední hodnotu platí (vzorec 3) EX = 0 (0,5 0) + 1 (0,8 0,5) + 2 (0,9 0,8) + 3 (0,95 0,9) +4 (1 0,95) = 0,85. DX = 1 0, , , ,05 0,85 2 = 1,2275. σ = DX. = 1,08. bed b@d OBSAH 27/39
28 Příklad 8.5. Spojitá náhodná veličina je popsána distribuční funkcí 0 pro x 0 x 4 pro x (0; 2 ; F (x) = x 2 2 2x pro x (2; 3 ; 1 pro x (3; ). Určete a) P (X (1,5; 2,5)); P (X > 2, 5) b) EX, DX; c) x 0 tak, aby veličina X nabývala hodnoty menší než x 0 s pravděpodobností 0,8. bed b@d OBSAH 28/39
29 Řešení: ad a) získáme pomocí vztahu 2: P (X (1,5; 2,5)) = F (2,5) F (1, 5) = 0,25; P (X > 2,5) = 1 F (2,5) = = 0,375. Ad c) vlastně tentýž příklad jako a), jen máme zadaný výsledek pravděpodobnosti a máme určit x 0. Jen musíme dát pozor, který předpis pro F (x) platí pro dané x 0 : z toho, že P (X < x 0 ) = 0,8 F (x 0 ) = 0,8 plyne, že x 0 nemůže být z intervalu (0; 2, protože rovnice x 4 = 0,8 nemá řešení na intervalu (0; 2. Tedy bed b@d OBSAH 29/39
30 x (2; 3 a lze do F (x 0 ) = 0,8 dosadit předpis x x = 0,8; A nyní víme, že při řešení této kvadratické rovnice musíme hledat řešení v intervalu x (2; 3, tedy ze dvou řešení kvadratické rovnice nyní odpovídá situaci pouze x 0 = 2,7746. Ad b) pozor, case-sensitive vzorec pro EX vyžaduje, abychom z F (x) určili hustotu f(x). Díky vzorci 1 víme, že F (x) je integrálem z f(x) naopak f(x) bed b@d OBSAH 30/39
31 tedy najdeme jako derivaci distribuční funkce: 0 pro x 0 1 f(x) = F 4 pro x (0; 2 ; (x) = x 2 pro x (2; 3 ; 0 pro x (3; ). Nyní pomocí vzorce 3 můžeme počítat EX = = 2 3 x dx + x (x 2) dx = 2 [ ] x 2 2 [ ] x x2 = 1, bed b@d OBSAH 31/39
32 a podle 4 DX = [ x 3 = ] 2 0 x dx + [ x x ] 3 2 x 2 (x 2) dx 1, = 1, = 0, bed b@d OBSAH 32/39
33 Zakončíme dalšími shrnujícími otázkami k opakování, jejichž odpovědi musí každý student znát: otázka č. 6. Jak se definuje distribuční funkce F (x)? Odpověď: F (x) = P (X < x). otázka č. 7. Jak se čte zápis z otázky číslo 6? Odpověď: Hodnota funkce F v bodě x se rovná pravděpodobnosti, že veličina X nabude hodnoty menší než x, tj. hodnoty z intervalu ( ; x). otázka č. 8. Jaké jsou vlastnosti distribuční funkce F (x) u diskrétní i spojité veličiny X? Odpověď: bed b@d OBSAH 33/39
34 1. lim x F (x) = 0; lim x F (x) = F je neklesající funkce (jedná se o jakousi kumulativní pravděpodobnost, která pro rostoucí hodnoty proměnné x může jen růst, nikoli klesat). 3. Funkce F je zleva spojitá v každém bodě, tj. limita zleva se rovná funkční hodnotě v každém bodě: lim F (x) = F (x 0 ) x x 0 pro libovolné reálné x U obou typů veličin (diskrétní i spojité) platí P (X a; b)) = F (b) F (a). bed b@d OBSAH 34/39
35 otázka č. 9. Je nějaký rozdíl mezi hodnotami pravděpodobnostip (X (a; b)), P (X a; b)), P (X (a; b ), P (X a; b )? Odpověď: U spojité veličiny NE, u diskrétní veličiny ANO. přesněji u diskrétní veličiny uvedené čtyři pravděpodobnosti mohou být navzájem různé: P (X a; b)) = F (b) F (a); P (X a; b ) = F (b) F (a) + P (X = b); P (X (a; b)) = F (b) F (a) P (X = a); P (X (a; b ) = F (b) F (a) + P (X = b) P (X = a). Jednoduše řečeno, pokud by se uvedené vzorce někomu zdály kostrbaté, vždy lze z funkce F (x) bed b@d OBSAH 35/39
36 vyjádřit pravděpodobnostní funkci p(x) a vzorec P (X I) = k I p(k) platí pro jakýkoli tvar intervalu I. otázka č. 10. Jak se vypočte střední hodnota náhodné veličiny X? Odpověď: Pro diskrétní veličinu (s pravděpodobnostní funkcí p(k)) EX = k Ω k p(k); bed b@d OBSAH 36/39
37 (s hustotou f(x) pozor, case-sensitive!) EX = x f(x)dx. otázka č. 11. Jak se vypočte rozptyl náhodné veličiny X? odpověď: Pro diskrétní veličinu (s pravděpodobnostní funkcí p(k)) ( ) DX = k 2 p(k) (EX) 2 ; k Ω bed b@d OBSAH 37/39
38 (s hustotou f(x) pozor, case-sensitive!) DX = x 2 f(x)dx (EX) 2. otázka č. 12. Sice platí F (x) = f(x), ale F (x) f(x). Jak je to možné? Odpověď: f(x) je označení celé třídy funkcí, které se liší o konstantu. Jen jedna z nich má graf ležící celý v pásu mezi přímkami y = 0 a y = 1 a je dost malá pravděpodobnost, že je to zrovna ta, pro niž je konstanta rovna nule. Správný vztah je F (x) = x f(t)dt. bed b@d OBSAH 38/39
39 Literatura Dosazením mezí je výpočet správné konstanty zaručen. Literatura [1] Fajmon, B., Růžičková, I.: Matematika 3. Skriptum FEKT 2003 (identifikační číslo v informačním systému VUT: MAT103). [2] Hlavičková, I., Hliněná, D.: Sbírka úloh z pravděpodobnosti. Skriptum FEKT bed b@d OBSAH 39/39
7 Pravděpodobnostní modely úvod
7 Pravděpodobnostní modely úvod 7 Pravděpodobnostní modely úvod Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Nyní ve druhé polovině kursu bude obsahem odlišná matematická disciplína, která snad má s numerickými
Více11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti
11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
Vícepravděpodobnosti 10 Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti
pravděpodobnosti pravděpodobnosti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 12 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole 6 sbírky úloh [2] tuto kapitolu 6 sbírky úloh
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
Vícepravděpodobnosti 9 Některá význačná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
pravděpodobnosti pravděpodobnosti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 11 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole 5 sbírky úloh [2] tuto kapitolu 5 sbírky úloh
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. Podle typu výběrového prostoru rozlišujeme dva základní druhy NV Diskrétní (nespojitou) náhodnou veličinu Spojitou náhodnou veličinu
NÁHODNÁ VELIČINA NÁHODNÁ VELIČINA Provedeme náhodný pokus (vybereme nějaké lidi, výrobky) A jejich výsledkem je nějaké reálné číslo (počet VŠ, počet vadných výrobků) Kdyţ je moţné přiřadit číslo můţeme
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany
3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceTEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?
TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceStatistika I (KMI/PSTAT)
Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceÚloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota. (bodově tříděná data): (intervalově tříděná data): Zadání úlohy: Zadání úlohy:
Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Více