10. N á h o d n ý v e k t o r
|
|
- Blažena Urbanová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 10. N á h o d n ý v e k t o r Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět pojmy pro vektor o dvou souřadnicích, který budeme značit (X, Y ). Zobecnění pro více proměnných snadno provedeme. Příklad: Házíme dvěma mincemi a označíme 0, jestliže padne rub a 1 jestliže padne líc. Náhodná veličina X je výsledek z první mince a náhodná veličina Y je výsledek hodu na druhé minci. Náhodný pokus je popsán stavem náhodného vektoru (X, Y ) Definice: Sdružená distribuční funkce. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak funkci F = F (x, y), která je definovaná předpisem ( ) F (x, y) = P (X x, Y y), (x, y) R 2, nazýváme sdruženou distribuční funkcí náhodného vektoru (X, Y ). y (X, Y ) Obr (x, y) x Hodnota sdružené distribuční funkce F (x, y) je rovna pravděpodobnosti s jakou se hodnota náhodného vektoru (X, Y ) vyskytne ve vyšrafované části roviny z obrázku Obr Věta: Vlastnosti sdružené distribuční funkce. Pro sdruženou distribuční funkci F (x, y) náhodného vektoru platí: a) Pro všechny hodnoty (x, y) R 2 je 0 F (x, y) 1. b) Funkce F (x, y) je neklesající jako funkce proměnné x a proměnné y. c) Je d) Je e) Je lim F (x, y) = lim x F (x, y) = 0. y lim F (x, y) = 1. (x,y) (, ) lim F (x, y) = P (X x), x R a lim F (x, y) = P (Y y), y R. y x Důkaz: a) Vlastnost vyplývá z definice sdružené distribuční funkce jako pravděpodobnosti. b) Tato vlastnost plyne z vlastnosti distribuční funkce náhodné veličiny, jestliže považujeme jednu proměnnou za pevnou. c) Pokud uvažujeme jev (X x Y y) a alespoň jedna z proměnných x či y se blíží k, pak popsaný náhodný jev přechází v jev nemožný V. Je ale P (V ) = 0. d) Jestliže v náhodném jevu (X x Y y) se obě proměnné bliží k, pak tento jev přejde v jev jistý U a je P (U) = 1. 55
2 e) Znázorníme si obě situace pomocí obrázku. Uvědomíme si jak se změní obrázek Obr pokud y (obr.10.2a) nebo x (Obr. 10.2b.). Náhodný jev (X x Y y) pro y přejde v náhodný jev (X x) a pro x přejde v náhodný jev (Y y). (X x) (Y y) y X = x (X, Y ) x y Y = y (X, Y ) x Obr. 10.2a. Obr. 10.2b. Poznámka: Marginální rozdělení. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak jsou jeho souřadnice X a Y náhodné veličiny. Jejich rozdělení je popsáno příslušnými distribučními funkcemi. Ty se dají snadno určit ze sdružené distribuční funkce pomocí vztahů z tvrzení e) věty Definice: Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak rozdělení náhodných veličin X a Y se nazývá marginální rozdělení Věta: Je-li F (x, y) sdružená distribuční funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou marginální distribuční funkce F 1 (x), resp. F 2 (y) náhodné veličiny X, resp Y určeny vztahy a F 1 (x) = P (X x) = lim F (x, y), x R y F 2 (y) = P (Y y) = lim F (x, y), y R. x Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice distribuční funkce náhodné veličiny a ze vztahů e) věty Příklad: 1. Náhodný vektor (X, Y ) má rozdělení určené sdruženou distribuční funkcí F (x, y), kde 0, x 0 nebo y 0, F (x, y) = 1 e 2x e 3y + e 2x 3y, x 0 a y 0. Určete marginální distribuční funkce náhodných veličin X a Y. Řešení: Marginální distribuční funkce F 1 (x) a F 2 (y) náhodných veličin X a Y určíme z jejich vyjádření odvozených ve větě Je a F 1 (x) = P (X x) = lim F (x, y), x R y F 2 (y) = P (Y y) = lim F (x, y), y R. x Protože je lim x e 2x = 0 a lim y e 3y = 0 dostaneme: F 1 (x) = 0, x 0, 1 e 2x, x 0; a F 2 (y) = 0, y 0, 1 e 3y, y 0; 56
3 Typy rozdělení náhodného vektoru I. Diskrétní rozdělení. Poznámka: V souladu s pojmem diskrétního rozdělení u náhodné veličiny zavádíme stejným způsobem diskrétní rozdělení náhodného vektoru Definice: Diskrétní rozdělení. Říkáme, že náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení, jestliže nabývá konečně nebo spočetně mnoha diskrétních hodnot Definice: Sdružená pravděpodobnostní funkce. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) diskrétní rozdělení, pak funkci p = p(x, y), která je definována předpisem ( ) p(x, y) = P (X = x Y = y), (x, y) R 2 nazýváme sdruženou pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru (X, Y ) Věta: Vlastnosti sdružené pravděpodobnostní funkce. Funkce p = p(x, y) je sdruženou pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru (X, Y ) právě když platí: a) Je 0 p(x, y) 1 pro všechny hodnoty (x, y) R 2. b) Je p(x, y) = 1. (x,y) R 2 c) Existuje pouze konečná nebo spočetná množina (posloupnost) hodnot (x i, y k ), pro které je P (x i, y k ) > 0. Poznámka: Má-li náhodný vektor diskrétní rozdělení, pak jeho rozdělení snadno popíšeme dvourozměrnou tabulkou, kde do řádků vyneseme hodnoty x i, kterých nabývá souřadnice X a do sloupců hodnoty y k druhé souřadnice. V tabulce na odpovídajícím místě uvedeme hodnotu pravděpodobnosti p(x i, y k ). Jeho marginální rozdělení jsou pak také diskrétní. Pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y se nazývají marginální a pro jejich vyjádření platí Věta: Marginální pravděpodobnostní funkce. Je-li p(x, y) sdružená pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x), resp. p 2 (y) náhodné veličiny X, resp Y dány vztahy: p 1 (x) = p(x, y), x R a p 2 (y) = p(x, y), y R. x R Důkaz: Tvrzení bezprostředně vyplývá z definice pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Je p 1 (x) = P (X = x) = P (X = x Y = y) = p(x, y), neboť se jednotlivé náhodné jevy pro různé hodnoty souřadnice Y vylučují, jsou to tudíž jevy disjunktní. Obdobně získáme vyjádření marginální pravděpodobnostní funkce p 2, která odpovídá náhodné veličině Y. Poznámka: Všimneme, že pokud zadáme sdruženou pravděpodobnostní funkci tabulkou, pak tabulky marginálních pravděpodobnostních funkcí dostaneme jako řádek, který získáme sečtením tabulky po sloupcích a druhou jako sloupec, jestliže sečteme tabulku po řádcích. Tabulka pro sdruženou pravděpodobnostní funkci a marginální pravděpodobnostní funkce. 57
4 p(x, y) x 1 x 2... x i... p 2 (y) y 1 p(x 1, y 1 ) p(x 2, y 1 )... p(x i, y 1 )... p 2 (y 1 ) y 2 p(x 1, y 2 ) p(x 2, y 2 )... p(x i, y 2 )... p 2 (y 2 ) y k p(x 1, y k ) p(x 2, y k )... p(x i, y k )... p 2 (y k ) p 1 (x) p 1 (x 1 ) p 1 (x 2 )... p 1 (x i )... 1 Tab Poslední políčko je kontrolní, součet posledního řadku a posledního sloupce musí být jedna, stejně jako součet všech hodnot v původní tabulce Definice: Nezávislost náhodných veličin. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) diskrétní rozdělení, pak říkáme, že jsou jeho souřadnice X a Y nezávislé náhodné veličiny, jestliže jsou náhodné jevy (X = x) a (Y = y) nezávislé pro všechny hodnoty (x, y) R 2. V opačném případě mluvíme o závislých náhodných veličinách Věta: Podmínka nezávislosti. Je-li p(x, y) sdružená pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru (X, Y ), pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé právě když pro sdruženou a marginální pravděpodobnostní funkce platí: ( ) p(x, y) = p 1 (x) p 2 (y), (x, y) R 2. Důkaz: Náhodné jevy (X = x) a (Y = y) jsou nezávislé, právě když platí P (X = x Y = y) = P (X = x) P (Y = y) p(x, y) = p 1 (x) p 2 (y), (x, y) R 2. Poznámka: Pro tabulku Tab to znamené, že políčko (x i, y k ) dostaneme jako součin políčka x i a políčka y k v marginálních pravděpodobnostních funkcích. Dá se tedy sdružená pravděpodobnostní funkce zpětně vytvořit ze svých marginálních pravděpodobnostních funkcí. Příklad: 1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení určené sdruženou pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou Tab Určete marginální pravděpodobnostní funkce a rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. y\x ,1 0,2 0,1 1 0,3 0,2 0,1 y\x p 2 (y) -1 0,1 0,2 0,1 0,4 1 0,3 0,2 0,1 0,6 p 1 (x) 0,4 0,4 0,2 Tab Tab Řešení: Marginální pravděpodobnostní funkce určíme pomocí vzorců z věty Je pak X : p 1 (x) = p(x, y) a Y : p 2 (y) = p(x, y). x R Postupujeme podle poznámky k větě 10.9 a znázorníme výsledek do tabulky Přidáme k tabulce řádek a sloupec a hodnoty vytvoříme tak, že sečteme tabulku jednak po řádcích a jednak po sloupcích. V přidaném sloupci jsou hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce 58
5 p 2 (y) náhodné veličiny Y a v přidaném řádku pak hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x) náhodné veličiny X. Závislost či nezávislost otestujeme z podmínky p(x, y) = p 1 (x)p 2 (y), kterou jsme pro nezávislost náhodných veličin odvodili ve větě Je například p(0, 1) = 0, 1 a p 1 (0)p 2 ( 1) = 0, 4.0, 4 = 0, 16. Protože jsou výsledky různé nemusíme rovnost pro další políčka z tabulky ověřovat. Náhodné veličiny X a Y jsou závislé. Příklad: 2. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení určené sdruženou pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou Tab Určete marginální pravděpodobnostní funkce a rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. y\x ,06 0,3 0,24 3 0,04 0,2 0,16 y\x p 2 (y) 0 0,06 0,3 0,24 0,6 3 0,04 0,2 0,16 0,4 p 1 (x) 0,1 0,5 0,4 Tab Tab Řešení: Marginální pravděpodobnostní funkce určíme pomocí vzorců z věty Je pak X : p 1 (x) = p(x, y) a Y : p 2 (y) = p(x, y). x R Postupujeme podle poznámky k větě 10.9 a znázorníme výsledek do tabulky Přidáme k tabulce řádek a sloupec a hodnoty vytvoříme tak, že sečteme tabulku jednak po řádcích a jednak po sloupcích. V přidaném sloupci jsou hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 2 (y) náhodné veličiny Y a v přidaném řádku pak hodnoty marginální pravděpodobnostní funkce p 1 (x) náhodné veličiny X. Závislost či nezávislost otestujeme z podmínky p(x, y) = p 1 (x)p 2 (y), kterou jsme pro nezávislost náhodných veličin odvodili ve větě Ověříme postupně zda platí rovnost pro jednotlivá políčka. Pro hodnoty v prvním řádku dostaneme: v druhém řádku dostaneme 0, 06 = 0, 6.0, 1; 0, 3 = 0, 6.0, 5; 0, 24 = 0, 6.0, 4; 0, 04 = 0, 4.0, 1; 0, 2 = 0, 4.0, 5; 0, 16 = 0, 4.0, 4. Protože podmínka pro nezávislost je splněna pro všechny dvojice hodnot náhodného vektoru (X, Y ) z tabulky, jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. II. Spojité rozdělení. Poznámka: V souladu s pojmem spojitého rozdělení u náhodné veličiny zavádíme stejným způsobem spojité rozdělení náhodného vektoru Definice: Spojité rozdělení. Říkáme že náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení jestliže pro jeho sdruženou distribuční funkci F (x, y) platí: F (x, y) = x y f(u, v)dudv, (x, y) R 2. Funkci f(x, y) nazýváme sdruženou hustotou náhodného vektoru (X, Y ) Věta: Vlastnosti sdružené hustoty. Funkce f(x, y) je sdruženou hustotu náhodného vektoru (X, Y ) právě když platí: 59
6 1. Je f(x, y) 0 pro (x, y) R Je f(x, y)dxdy = 1. Pro sdruženou hustotu f(x, y) dále platí: 3. f(x, y) = 2 F x y (x, y) pro skoro všechna (x, y) R2. 4. Pro A R 2 je P ((X, Y ) A) = f(x, y) dxdy. A Věta: Marginální rozdělení. Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) spojité rozdělení určené sdruženou hustotu f(x, y), pak pro jeho marginální distribuční funkce platí: X; F 1 (x) = x ( f(u, y) du)dy, x R; Y ; F 2 (y) = y ( f(x, v) dv)dx, y R. Marginální náhodné veličiny X a Y mají spojité rozdělení a pro jejich hustoty platí: X : f 1 (x) = Y : f 2 (y) = f(x, y) dy, x R; f(x, y) dx, y R. Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice pojmů a z věty Je x y x F 1 (x) = lim F (x, y) = lim f(u, v)dudv = ( f(u, y) dy)du, x R. y y Ze vztahu f 1 (x) = F 1 (x) a ze vzorce pro derivaci funkce horní meze plyne vzorec pro funkci f 1 (x) Definice: Marginální hustoty. Hustoty f 1 (x) a f 2 (y) z věty se nazývají marginální Definice: Nezávislost náhodných veličin. Říkáme, že jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, jestliže jsou náhodné jevy (X x) a (Y y) nezávislé pro všechny hodnoty x a y z R. V opačném případě nazýváme náhodné veličiny závislými Věta: Podmínka pro nezávislost. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když platí: F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y) pro (x, y) R 2, kde F (x, y) je sdružená distribuční funkce náhodného vektoru (X, Y ) a F 1 (x), resp. F 2 (y), jsou marginální distribuční funkce náhodné veličiny X, resp. Y. 60
7 Důkaz: Tvrzení vyplývá z definice nezávislosti náhodných jevů a z významů uvedených pojmů. Platí totiž pro nezávislost jevů (X x) a (Y ) následující ekvivalence: P ((X x) (Y y)) = P (X x) P (Y y) F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y), (x, y) R 2. Poznámka: Pro náhodný vektor (X, Y ), který má spojité rozdělení plyne z podmínky z věty tato podmínka nezávislosti pro hustoty: f(x, y) = 2 F x y = ( x y (F 1(x) F 2 (y))) = F 1(x) F 2(y) = f 1 (x) f 2 (y), (x, y) R 2. Odtud tedy plyne tvrzení Věta: Spojitě rozdělené náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když pro jejich marginální a sdruženou hustotu platí: f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y), (x, y) R Věta: Pro náhodné veličiny X a Y platí: 1. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 2. Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak platí: E(XY ) = E(X)E(Y ). Důkaz: Odvození provedeme například pro spojité rozdělení. Označíme-li po řadě f(x, y), f 1 (x) a f 2 (y) sdruženou hustotu náhodného vektoru (X, Y ), marginální hustotu náhodné veličiny X a marginální hustotu náhodné veličiny Y, pak je E(X + Y ) = (x + y)f(x, y) dxdy = xf(x, y) dxdy + yf(x, y) dxdy = R 2 R 2 R 2 = = ( x ) f(x, y) dy dx + x f 1 (x)dx + ( ) y f(x, y) dx dy = yf 2 (y) dy = E(X) + E(Y ). Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé je podle věty f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) a tedy E(XY ) = xyf(x, y) dxdy = (xf 1 (x))(yf 2 (y)) dxdy = R 2 R 2 = x f 1 (x)dx yf 2 (y) dy = E(X)E(Y ). Poznámka: Pro náhodné veličiny X a Y sledujeme často jejich závislost a podobně jako u vlastností jedné náhodné veličiny se ji snažíme popsat číselnou hodnotou. Činíme tak pomocí koeficientů kovariance a korelace Definice: Koeficient kovariance. Je-li (X, Y ) náhodný vektor, pak koeficientem kovariance náhodných veličin X a Y nazýváme číslo C(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). 61
8 Věta: Vlastnosti kovariance. Pro koeficient kovariance náhodných veličin X a Y platí: a) C(X, X) = D(X). b) C(X, Y ) = C(Y, X). c) C(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). d) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak C(X, Y ) = 0. e) Je-li C(X, Y ) 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y jsou závislé. f) C(X, ax + b) = ad(x). Důkaz: Tvrzení a) b) jsou zřejmá. c) Je C(X, Y ) = E(XY XE(Y ) Y E(X) + E(X)E(Y )) = = E(XY ) E(X)E(Y ) E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). d) Z věty 10.9 plyne, že pro nezávislé náhodné veličiny X a Y je E(XY ) = E(X)E(Y ), tedy podle c) je C(X, Y ) = 0. e) Tvrzení je negací tvrzení d). Pokud by byly náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak musí být C(X, Y ) = 0. f) Pro Y = ax + b z vlastností střední hodnoty vyplývá, že C(X, Y ) = E(X(aX + b)) E(X)E(aX + b) = ae(x 2 ) + be(x) a(e(x)) 2 be(x) = a(e(x 2 ) (E(X)) 2 ) = ad(x). Poznámka: K popisu závislosti náhodných veličin používáme normovaný koeficient, který je odvozen z koeficientu kovariance Definice: Koeficient korelace. Pro náhodné veličiny X a Y nazýváme koeficientem korelace číslo ρ(x, Y ) = C(X, Y ). D(X)D(Y ) Věta: Vlastnosti koeficientu korelace. Pro koeficient korelace náhodných veličin X a Y platí: a) ρ(x, X) = 1; b) ρ(x, Y ) = ρ(y, X); c) Je-li ρ(x, Y ) 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y závislé. d) Pro nezávislé náhodné veličiny X a Y je ρ(x, Y ) = 0. e) ρ(x, ax + b) = sgn a = a a ; f) ρ(x, Y ) 1; g) ρ(x, Y ) = ±1 Y = ax + b. Důkaz: Tvzení a) - e) plynou snadno z vlastností koeficientu kovariance z věty Důkazy tvrzení e) a f) jsou pracnejší, nebudeme je zde uvádět. Poznámka: Z vlastností f) a g) plyne, že koeficient korelace je vlastně mírou lineární závislosti náhodných veličin. 62
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceSTATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9
STATISTICKÁ VAZBA Obsah 1 Korelační analýza 1 1.1 Statistická vazba.................................... 1 1.2 Motivační příklady................................... 1 1.3 Sdružená distribuční funkce a nezávislost
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceMalé statistické repetitorium Verze s řešením
Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Více6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VícePříklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost
Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Více8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Lineární a nelineární regrese Přednášky ZS 2016-2017 Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016 Povinná látka. Bude v písemkách a bude
VíceAfinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Více