Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Transkript

1 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

2 Osnova přednášky Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu Náhodná veličina: diskrétní spojitá Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti: Parametrické Neparametrické (empirické) Pravděpodobnostní funkce Hustota rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtu Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin / 33

3 Pravděpodobnost Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie. Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do uzavřeného intervalu <0, >, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po vynásobení 00) V teorii spolehlivosti konstrukcí např. kde P f P s P f... pravděpodobnost, že nastane porucha P s... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná Základní principy teorie pravděpodobnosti / 33

4 Náhodná veličina Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω. Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti. Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité (diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem. Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou. Pokud k výskytu daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo. Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 33

5 Náhodná veličina P (x ) 0,80 0,65 Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny 0,50 0,35 0,0 0,05 0,090 0,075 0,060 0,045 0,030 0,05 0, x Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 33

6 Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí pravděpodobnostní funkce P(x). Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Např. pravdě- x podobnost, že náhodná veličina X leží mezi hodnotami x a x se určí: P x x x Px x xx P(x) x P(x ) x P(x ) x n P(x n ) Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 33

7 Distribuční funkce diskrétní veličiny Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkci vztahem: F x P X x Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu x 0 F Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem F x tx P t Vlastnosti Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a F(b) =. Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 33

8 Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou P (x ) 0,80 Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou Pravděpodobnostní funkce 0,65 0,50 0,35 0,0 0,05 0,090 0,075 0,060 0,045 F (x ),000 Distribuční funkce hodu kostkou 0,030 0,05 0,800 0, x 0,600 0,400 0,00 Distribuční funkce 0, x Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 33

9 Hustota rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti). Je-li (x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí kde Ω je definiční obor veličiny X. xdx (Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti nulová). Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti (x) lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x,x >, tedy P x X x x dx x x Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 33

10 Distribuční funkce spojité veličiny Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti (x) lze definovat distribuční funkci vztahem F x t dt Vlastnosti Platí, že F 0 a F. Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť P x X x Fx F x Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti (x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah x x df dx Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 33

11 Distribuční funkce spojité veličiny Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Základní principy teorie pravděpodobnosti 0 / 33

12 Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy. Původní (originální) rozdělení pravděpodobnosti. Diskrétní (discrete) rozdělení pravděpodobnosti 3. Čistě diskrétní (pure discrete) rozdělení pravděpodobnosti 4. Po částech rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost (četnost).. Intenzita Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin / 33

13 Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Neomezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné spojité veličiny Omezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné spojité veličiny Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin / 33

14 (Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány analytickou funkcí např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny (např. střední hodnota a směrodatná odchylka) f x, x e Nominální napětí v pásnici 0.05 Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 0.0 Std Mean Std Mez kluzu Std Mean Std definovány na základě měření, často i dlouhodobých Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 3 / 33

15 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Důležitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti: Rovnoměrné rozdělení Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) Exponenciální rozdělení Laplaceovo rozdělení Std Variable Mean Std Logistické rozdělení Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny - Maxwellovo rozdělení parametry (např. střední hodnota a směrodatná Studentovo rozdělení odchylka) Fischerovo-Snedecorovo rozdělení χ² rozdělení (Chí kvadrát) Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 4 / 33

16 Normální rozdělení pravděpodobnosti Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti: x f x, e... střední hodnota f x, e ( x ) n i... směrodatná odchylka n x i n x i n i Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 5 / 33

17 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti... střední hodnota... směrodatná odchylka f x, x e 0, 0,09 0,08 0,07 n n i ln x i s=0.5 s=0.75 s= Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti f ln x, x x e 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 lnx i n i 0,,, 3, 4, 5, n Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 6 / 33

18 Mez kluzu f y oceli S35 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7 / 33

19 Tlaková pevnost betonu Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 8 / 33

20 Krycí vrstva betonu Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 9 / 33

21 Pevnost zdiva Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 0 / 33

22 Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny / 33

23 Programový nástroj HistAn Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů. Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika vstupních histogramů Určení tzv. sumárního histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí) Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením Zpracování naměřených (prvotních) dat Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin / 33

24 Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti Histogram omezeného diskrétního (discrete) rozdělení pravděpodobnosti Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 3 / 33

25 Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti Histogram čistě diskrétního (pure discrete) rozdělení pravděpodobnosti Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 4 / 33

26 Struktura datového souboru s definicí histogramu Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje údaje následujícího tvaru: [Description] (. oddíl datového souboru) Identification= volitelný popis datového souboru Type= Pure Discrete Discrete Continuous (typ empirického rozdělení) [Parameters] (. oddíl datového souboru) Min= minimální funkční hodnota Max= maximální funkční hodnota Bins= celkový počet tříd daného histogramu Total= součet četností ve všech třídách [Bins] (3. oddíl datového souboru) četnost v. třídě četnost ve. třídě atd.... Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 5 / 33

27 Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování. Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením s možností volby počtu intervalů. Použití histogramů s parametrickým rozdělením. K dispozici škála 3 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti. Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 6 / 33

28 Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) Pravděpodobnost pro useknutí parametrického rozdělení Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X Half-Logistic Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 7 / 33

29 Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti Histogram aproximace parametrického rozdělení pravděpodobnosti omezeným diskrétním (discrete) rozdělením pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 8 / 33

30 Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení Charakteristiky odvozených parametrických dat Výběr vhodného rozdělení dle koeficientu těsnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 9 / 33

31 Koeficient těsnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 30 / 33,.. y i i i i x y y Y s y Y Y y n s s s i i y y y n s. i i Y y Y n s. i i i x y Y y n s,. Y i... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě x i y... střední hodnota ze všech y i rozptyly pro n intervalů 0, y Y s s

32 Reziduální (zbytkový) součet čtverců Rozptyl s y, x. n i y i Y i... žádoucí nejmenší hodnota Y i... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě x i Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 3 / 33

33 Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik vhodná nevhodná Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 3 / 33

34 Závěry Přednáška: byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu, ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné veličiny formou neparametrického (empirického) a parametrického rozdělení pravděpodobnosti, stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů, nastínila použití programového prostředku HistAn. Závěry 33 / 33

35 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Děkuji za pozornost!