Pravděpodobnost a statistika

Transkript

1 Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky, řídí se stochastickými zákonitostmi NÁHODNÝ POKUS - abstraktní pojem; vyvolání náhodného jevu A Ω - nastane právě 1 výsledek ω z množiny Ω možných elementárních jevů Jev JISTÝ: A = Ω P(Ω) = 1 Jev NEMOŽNÝ: A = 0 P(A) = 0 Ω A HODNOTA NÁHODNÉ VELIČINY - zobrazení, které náhodné veličině x přiřadí ω hodnotu (číslo) - x: Ω R Náhodný pokus = hod kostkou Elementární jev = padne číslo 1-6 Náhodný jev = padne sudé číslo (elementární jevy 2, 4, 6) Jev jistý = padne číslo mezi 1 a 6 Jev nemožný = padne číslo 79 Hodnota náhodné veličiny = hodnota padnutého čísla KLASICKÁ definice pravděpodobnosti: m počet příznivých jevů, n počet všech P ( A) = A = Ω - symbol značí počet prvků množiny Házíme 2x kostkou. Zajímá nás jev, kdy je 1.číslo větší než 2.číslo Všechny možné výsledky Ω = {(1,1),, (6,6)}, tedy Ω = 36 Kdy nastal jev A = {(2,1),, (6,5)}, tj. A = Pak pravděpodobnost, že nastane jev A, je P ( A) = A = = Ω

2 Pojmy: Jev A je částí jevu B Při hodu hrací kostkou jev A= padne 1 nebo 5 je částí jevu B= padne liché číslo Jev A je roven jevu B A= padne sudé prvočíslo, B= padne číslo 2. Sjednocení jevů A, B A= padne liché číslo, B= padne prvočíslo, A B= padne některé z číse 1, 2, 3, 5 Průnik jevů A, B A= padne číslo menší než 3, B= padne prvočíslo, C=A B= padne číslo 2 Opačný (doplňkový) jev k jevu A A= padne číslo 6, doplňkový jev k jevu A= padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5 Disjunktní (vzájemně neslučitelné) jevy A= padne sudé číslo, B= padne liché číslo Vzájemně nezávislé jevy Pravděpodobnost jednoho nezávisí na tom, jak proběhne druhý děj. Věty o pravděpodobnostech 1. 0 P(A) 1 pravděpodobnost jistého jevu P(Ω) = 1 Pravděpodobnost nemožného jevu P(Ø) = 0 2. Pravděpodobnost, že nastane jeden z jevů A, B P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 3. Pokud se jevy A, B vylučují, tj. jsou disjunktní, pak P(A B) = P(A) + P(B) 4. Pravděpodobnost dvou vzájemně nezávislých jevů je P(A B) = P(A) P(B) Házíme kostkou. Definujme náhodné jevy A = { Padne 1 nebo 2 }, a pak P(A) = 1/3 B = { Padne 3 nebo 4 }, a pak P(B) = 1/3 P ( A B) = 0 Pak P( A B) P( A) P( B), tedy jevy jsou závislé 5. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B P(A/B) = ( ) ()

3 Z 32 karet se vytáhne jedna. Pravděpodobnost toho, že to bude eso je P(A)= 4/32= 1/8. Je-li vytažená karta eso, při vytažení další karty je pravděpodobnost vytáhnutí esa P(A) = 3/31. Vytáhneme-li z 32 karet dvě karty, pak pravděpodobnost toho, že obě budou esa je P(A) = 0,012 Příklady 1. Při výrobě 1000 kusů výrobků bylo 12 kusů zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že určitý výrobek je zmetek? 2. Střelec zasáhl cíl 93x ze sta výstřelů. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhne cíl? Jaká je pravděpodobnost, že ho nezasáhne? 3. V tombole je 500 lístků. Jaká je pravděpodobnost hlavní výhry účastníka, který má 10 losů? 4. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne a. součet 5 b. Součet 6 c. Součet 5 nebo 6 (0,25) d. Součet větší než 6 (7/12) 5. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami vrhneme součet větší než 14? (5/54)

4 Statistika Statistický soubor konečná neprázdná množina M objektů statistického pozorování shromážděných na základě jisté společné vlastnosti. Prvky této množiny nazýváme prvky statistického souboru (statistické jednotky. Počet těchto prvků rozsah souboru značíme n. Statistický znak společná vlastnost prvků statistického souboru. Jednotlivé údaje znaku se nazývají hodnoty znaku x 1, x 2,, x n. Mohou být kvantitativní vyjádřitelné číslem (výška, váha ), kvalitativní muž, žena, povolání, národnost Absolutní četnost číslo udávající kolikrát se ve statistickém souboru vyskytuje hodnota daného znaku x i. Značí se n i. Relativní četnost je dána podílem, n i absolutní četnost hodnoty znaku x i, n rozsah souboru. Udává se v procentech (%) Zpracování statistického souboru provádí se pomocí výpočetní techniky excel, tabulky, grafy Charakteristika statistického souboru a) Aritmetický průměr je dán podílem součtu hodnot znaku a jejich počtu: = = Použití průměrná cena, spotřeba b) Geometrický průměr - = Použití průměrné roční tempo výroby. c) Harmonický průměr - = = = d) Medián prostřední člen mezi hodnotami x i, jsou-li uspořádány podle velikosti. U souborů, jejichž rozsah n je sudé číslo, se medián rovná aritmetickému průměru prvků s indexy n/2 a n/ e) Modus nejčastěji se vyskytující hodnota mezi hodnotami x i. Má největší četnost. f) Variační rozpětí rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou znaku prvků daného souboru. R=x max -x min g) Průměrná absolutní odchylka aritmetický průměr absolutních hodnot odchylek hodnot znaku všech prvků souboru od aritmetického průměru hodnot znaku. = h) Rozptyl aritmetický průměr druhých mocnin odchylek hodnot znaku od aritmetického průměru. = 1 ( ) i) Směrodatná odchylka druhá odmocnina z rozptylu = ( )

5 j) Variační koeficient podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru sledovaného znaku x. = Příklady Přehled tržby 3 provozoven A, B, C v tisících Měsíc A B C Pro všechny provozovny určete všechny definované charakteristiky.