(1) Známe-li u vyšetřovaného zdroje závislost spektrální emisivity M λ

Transkript

1 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa Tplotní zářní a Plankův vyzařovaí zákon Intnzita vyzařování (misivita) v daném místě na povrhu zdroj j dfinována jako podíl zářivého toku dφ, ktrý vyhází z lmntární plošky ds na povrhu zdroj v tomto místě, a plošky ds dφ ds W.m () onohromatiké vyzařování (spktrální hustota vyzařování, spktrální misivita) v lmntárním oboru vlnovýh délk (,+ ) s rovná podílu části připadá na vlnové délky zářní v tomto oboru, a šířky oboru d: d misivity, ktrá d () d Znám-li u vyštřovaného zdroj závislost spktrální misivity na vlnové dél, určím misivitu z vztahu d (3) Tělso zářní njn vysílá, al také můž pohlovat (absorbovat) zářní, ktré na něj dopadá. Každá látka zářní částčně odráží, částčně propouští a zbytk pohluj. Toto pohlné zářní s mění v těls hlavně v tplnou nrgii, někdy můž dojít k vyzářní pohlné nrgi, jako (luminisn). Při vyzařování tělso ztráí nrgii, proto musím záříímu tělsu nrgii dodávat. Njjdnodušším způsobm dodání nrgi j zahřívání. Jstliž soustavně nahrazujm vyzařovanou nrgii nrgií tplnou, zářní tělsa s s časm nmění toto tplné zářní má rovnovážný haraktr. Základní vličinou haraktrizujíí rovnovážné tplné zářní tělsa j tplota. Kirhhoffův zákon poměr intnzity vyzařování (misivity) k absorptani (pohltivosti) α závisí pouz na absolutní tplotě tělsa. Pro úhrnné zářní ho lz vyjádřit vztahm ( ) f T α, (4) ktrý říká, ž tnto podíl j funkí jdiné proměnné T a j tudíž nzávislý na vlastnosth tělsa (hmiké složní, povrhová úprava apod.).

2 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa Tnto zákon platí i pro každou vlnovou délku zvlášť, tdy i pro monohromatiké vyzařování a monohromatikou absorptani α, s tím rozdílm, ž podíl α závisí též na vlnové dél vybrané z lkového zářní. Kirhhoffův zákon pro monohromatiké zářní má proto tvar F( T, ) α, (5) kd F značí funki dvou proměnnýh T a a kd a α jsou spktrální misivita a spktrální absorptan pro zářní vlnové délky. Kirhhoffův zákon vyjadřuj vlmi důlžitou skutčnost, ž každá látka pohluj njsilněji zářní těh vlnovýh délk, ktré njsilněji vyzařuj. (a) (b) () Obr.. Dmonstra vztahu mzi misivitou a pohltivostí. Bílá kramiká dska s črným křížm uprostřd (a) v tmné místnosti zahřátá na C ví mituj začrněná část, (b) vyhladlá dska za pokojové tploty, () zahřátá dska na světl. Zavdm si pojm absolutně (dokonal) črného tělsa, ktré (z dfini) pohluj vškré zářní dopadajíí na jho povrh nzávisl na vlnové dél a pro ktré j tudíž absorptan α α a spktrální absorptan α α (pro všhna ) Jako absolutně črné tělso s hová otvor dutiny s črně zabarvnými matnými stěnami. Zářní vstupujíí do dutiny s opakovanými odrazy praktiky úplně pohluj a zářní vystupujíí z otvoru má potom vlastnosti rovnovážného zářní vysílaného absolutně črným tělsm s tplotou rovnajíí s tplotě stěn dutiny. Běžně pozorujm takový jv u otvřnýh okn, dívám-li s na ně z uli. J-li vlikost okna malá proti rozměrům místnosti, pak s opakovaným odrazm i na dosti dobř odrážjííh stěnáh místnosti z vlké části pohltí zářivý tok vstupujíí do místnosti. Z okna vystupuj jn malá část vstupujíího toku zářní, takž okno s nám zvnčí jví jako tmavá až črná ploha bz ohldu na barvu stěn místnosti. ají-li stěny dutiny tplotu T, září vzhldm k Kirhhoffově zákonu otvor dutiny s njvětší intnzitou, jaká j při tplotě T možná ( α ) a zářní vystupujíí otvorm z dutiny j proto praktiky stjné jako zářní absolutně črného tělsa.

3 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa T Obr.. Raliza absolutně črného tělsa (otvor dutiny zahřáté na tplotu T). Označím-li misivitu absolutně črného tělsa, dostávám Kirhhoffův zákon v tvaru ( ) f T (6) (nboť z dfini α α ) tj. misivita absolutně črného tělsa závisí pouz na jho absolutní tplotě. Pro monohromatiké zářní absolutně črného tělsa má Kirhhoffův zákon tvar ( ) F T, (7) Urční nznámýh funkí f(t) a F(T, ) bylo přdmětm intnzivního xprimntálního a tortikého bádání v druhé polovině 9. stoltí. Stfan-Boltzmannův zákon (pro misivitu absolutně črného tělsa) 4 σt, (8) kd σ 5, W.m -.K -4 j tzv. Stfan-Boltzmannova konstanta. Tortiky ho odvodil Boltzmann a xprimntálně potvrdil Stfan. Stfan-Boltzmannův zákon nřší problém zářní črného tělsa úplně. K tomu j třba jště určit nznámou funki F(T, ), ktrá říká, ž spktrální misivita črného tělsa j funkí dvou proměnnýh: absolutní tploty T a vlnové délky. Na základě trmodynamikýh úvah s podařilo Winovi zjistit, ž hldaná funk má tvar ϕ 5 ( T ), (9) kd ϕ j funk pouz jdiné proměnné součinu T. I tnto núplný výsldk vdl k řšní otázky, ktrou vlnovou délku vyzařuj črné tělso při dané tplotě njsilněji, tj. ktré vlnové 3

4 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa dél v spojitém spktru črného tělsa přísluší njvyšší spktrální misivita. To j dáno podmínkou, () ktrá vd na rovnii 5 ϕ 5 Po úpravě dostávám ( T ) + ϕ ( T ). T 6 ( T ) 5ϕ ( ). () T. ϕ T, () kd ϕ značí drivai funk ϕ podl. I když nznám funki ϕ, můžm určit vlnovou délku max, ktré přísluší maximální spktrální misivita, přdpokládám-li, ž znám alspoň jdn rálný kořn posldní rovni pro součin T. Označím-li tnto kořn b, bud maxt b, (3) kd b, m.k (tato hodnota konstanty b vyhází výpočtm z Plankova zákona viz níž). Odvozná rovni vyjadřuj tzv. Winův posunovaí zákon, nboť z ní plyn, ž maximum spktrální misivity s s rostouí absolutní tplotou posouvá k kratším vlnovým délkám. Tnto zákon j v souladu s známou zkušností, ž tělsa vyzařují při zvyšování tploty njprv jn dlouhovlnné tplné zářní, ktré přhází asi při 55 C do tmavorudé barvy. S stoupajíí tplotou přhází barva žhavého tělsa od črvné k žluté, ktrá s stává stál běljší, až s barva světla při několika tisííh stupňů jn málo liší od barvy bílého slunčního světla, v jhož spktru j njsilněji zastoupna žlutozlná barva s délkou vlny max,5 µm. 7 6 tplota (K) max (nm) Obr. 3. Winův posunovaí zákon. 4

5 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa tplota (K) zdroj max oblast spktra 3 člověk 9,3 µm střdní IČ 5 vařič 5,8 µm střdní IČ vlákno žárovky,45 µm blízká IČ 53 Slun 55 nm zlnožlutá Tab.. Tabulka ilustrujíí Winův posunovaí zákon. Win s rovněž pokoušl odvodit tvar funk ϕ(t). Vyházj z klasiké statistiky odvodil závislost zvanou Winův zákon ϕ T ( T ), kd a jsou konstanty. (4) Tato závislost j v shodě s xprimntálně určným rozložním nrgi v spktru pokud součin T nabývá malýh hodnot, tdy jn pro kratší vlnové délky, tj. pro viditlný a ultrafialový obor spktra vyzařovaný črným tělsm při dostatčně nízkýh tplotáh. V dlouhovlnné části spktra s průběh monohromatikého vyzařování absolutně črného tělsa podařilo uspokojivě vyjádřit funkí ( T ) T ϕ 3 (kd 3 j konstanta), (5) ktrou tortiky odvodili Rayligh a Jans (tzv. Rayligh-Jansův zákon). Tato závislost al vd k tzv. ultrafialové katastrofě, nboť s snižujíí s vlnovou délkou vd k nomznému nárůstu intnzity vyzařování, nboť T 3. (6) 4 Problém vyřšil Plank, ktrý ukázal, ž Winův i Rayligh-Jansův zákon jdou spojit do jdiné formul přijmm-li pro funki ϕ(t) tvar (Plankův zákon) ϕ ( T ). (7) T Pro malé hodnoty součinu T bud T, a proto můžm jdničku v jmnovatli zandbat, čímž dojdm k výrazu pro Winův zákon. Naopak pro vlké hodnoty součinu T s můžm v rozvoji omzit jn na první dva člny a tdy T + T 5

6 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa + T ( T) ϕ T Stačí položit 3 /, abyhom došli k Rayligh-Jansovu zákonu. Tak dospěl Plank k výrazu, ktrý dobř vyhovoval v lém oboru vlnovýh délk a pro všhny tploty. Avšak bylo vlmi obtížné zdůvodnit ho tortiky. odl kmitajíí harmoniké osilátory různýh frkvní každý osilátor září a naopak každý můž absorbovat dopadajíí zářní (zvláště zářní jhož frkvn j v rzonani s vlastní frkvní osilátoru) takový osilátor má dva platné stupně volnosti určné potniální a kintikou nrgií podl kvipartičního torému na každý připadá střdní nrgi střdní hodnota nrgi všh osilátorů by podl klasiké statistiky měla být, takž w. Tnto výsldk však vd k Rayligh-Jansovu zákonu, ktrý nvyhovuj v lém oboru tplot a pro všhny vlnové délky. Plank vyslovil hypotézu, ž mis a absorp zářivé nrgi s můž dít pouz po listvýh násobíh kvanta, ε, kd ν j vlastní frkvn osilátoru a h j tzv. účinkové kvantum (Plankova konstanta), h 6, Js. Nplatí tdy klasiký přdpoklad, ž střdní nrgi všh zářičů jsou stjné a rovné součinu. V skutčnosti střdní nrgi zářičů závisí na jjih frkvni podl vztahu plyn Plankovy kvantové hypotézy (odvozní viz níž). Položím-li ν, kd j ryhlost světla v vakuu, dostávám pro konstanty a v Plankově zákoně vztahy h πh, k kd k j Boltzmannova konstanta (k, J.K - ). w, ktrý Plankův zákon spktrálního rozdělní monohromatikého vyzařování črného tělsa má tdy tvar π h. 5 h. (8) Zavdm-li namísto spktrální misivity spktrální misivitu ν, kd 6

7 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa dν (9) ν potom mzi a ν platí vztah ν ν rspktiv a Plankův zákon lz vyjádřit v tvaru ν () kd h π. 3 3 π h ν ω ν ω π () spktrální misivita (W.m -3 ) T5K TK T5K TK T5K T3K T35K T4K Winův posunovaí zákon vlnová délka (nm) Obr. 4. Plankův vyzařovaí zákon 7

8 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa Odvozní střdní hodnoty nrgi pro kvantový systém: ε lmntární kvantum nrgi, ε n nε, n,,, n nε n P C C pravděpodobnost obsazní n-té nrgtiké hladiny. Označm ε x, potom P n C a konstanta C j určna normalizační podmínkou P, n P n C x C (součt gomtriké řady s kvointm -x ) a tdy C x. Střdní hodnotu nrgi lz potom vyjádřit jako w nε ε P Cε n. n n Už vím, ž x. Drivaí tohoto vztahu dostanm x, x n x x x ( ) a odtud x n. x ( ) Dosazním potom dostávám w x x ( ). ε x x ( ) ε npn Cε n ε Střdní hodnota nrgi v Plankově modlu diskrétníh nrgtikýh hladin j tdy dána vztahm w h. h V případě, ž «(tj. pro ε nrgtiké kontinuum) lz xponnilu rozvinout v řadu a omzím-li s pouz na první dva člny rozvoj ( + ) 8

9 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa dostanm klasiký výsldk, tj. w Odvozní Stfan-Boltzmannova zákona z Plankova zákona: x π k 4 π π h x 3 5 h 5h d h d h dx T nboť 3 4 x π dx a použili jsm substitui x 5 h x. Odtud získám vyjádřní pro Stfan-Boltzmannovu konstantu 5 4 π k 8 4 5,673. W. m. 3 σ K 5h Na počátku. stoltí byly konstanty σ, k, známy, proto s užitím tohoto vztahu byla získána první hodnota Plankovy konstanty h. Z Plankova zákona lz též odvodit Winův posunovaí zákon: Podmínka π h 5 h x x vd na rovnii 5 x, kd h x. k T max Řšní této rovni, ktré lz nalézt numriky nbo grafiky, dává kořn x 4,965 h 3 a tdy T. max, m. K 4,965. k Závěrčné poznámky: pro malá ν taková, ž kvantování nhraj roli, protož počt nrgtikýh hladin (nrgií) lžííh v intrvalu řádu j vlmi vlký, suma j dobř aproximovatlná intgraí přs nrgtiké kontinuum, platí klasiká Rayligh-Jansova formul. naopak pro taková ν, pro něž j 9

10 Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa končná vzdálnost mzi nrgtikými hladinami j klíčová; j-li např. 5, potom Boltzmannův faktor 5 5 njpravděpodobnější j obsazní njnižší nrgtiké hladiny a pravděpodobnost trmální xita j minimální, s rostouím ν klsá pravděpodobnost obsazní katastrofa., a tak j vyřšna ultrafialová Obně jsou kvantové fkty zandbatlné, j-li, kd ν j haraktristiká frkvn a haraktristiká nrgi systému. Při s kvantové fkty projvují a nlz j zandbat. spktrální misivita (W/m.µm) T5K TK T5K TK T5K T3K T35K T4K vlnová délka (µm) Obr. 5. Plankův vyzařovaí zákon (smilogaritmiký graf) Pyromtri praktiké využití zákonů platííh pro tplné zářní vysílané z povrhu měřného tělsa způsob bzkontaktního určování tploty ohřátýh objktů založný na měřní optikého zářní jimi vyzařovaného. Používá s pro měřní tplot v rozsahu 3 až 4 K. příslušný přístroj pyromtr (radiační tploměr)