ε, budeme nazývat okolím bodu (čísla) x

Transkript

1 Množinu ( ) { R < ε} Okolím bodu Limit O :, kd (, ) j td otvřný intrval ( ε ε ) ε, budm nazývat okolím bodu (čísla).,. Bod R j vnitřním bodm množin R M, jstliž istuj okolí O tak, ž platí O( ) M. M, jstliž ( ) { } Bod a R nazvm hromadným bodm množin R O a : O a M a. - Tj. mám víc bodů množin M těsně vdl sb vdl bodu a. - Množinu všch hromadných bodů množin M označím M. - Hromadný bod množin M nmusí patřit do M (např. krajní bod otvřného intrvalu). Bod b M a zárovň b M M,, ). s nazývá izolovaným bodm množin M (např. { } Říkám, ž funkc f má v hromadném bodě D ( f ) > δ > : < < δ f a < ε D( f ) itu a, jstliž. ε Píšm f a. Funkc f má v bodě njvýš jdnu itu (tj. jdnu nbo žádnou). Nchť ( D( f ) D( g) ) a f a, g b [ f ± g ] a ± b [ f g ] a b [ c f ] c f c a f a g b. Pak platí: pro b

2 Říkám, ž funkc f má v bodě D ( f ) itu zprava, píšm f a f na množině (, ) D( f ) itu a. Říkám, ž funkc f má v bodě D ( f ) itu zlva, píšm f b f na množině ( ) D( f ), itu b. Platí: Druh it: f a f a f vlastní ita v vlastním bodě: f a a vlastní ita v nvlastním bodě: f a, f a nvlastní ita v vlastním bodě: f, f, jstliž má funkc, jstliž má funkc nvlastní ita v nvlastním bodě: f, f, f, f Něktré základní i odvozné vzorc pro výpočt it: k k k( a) a ( a) k tg tg tg k k tg k a ( a) ( a) k a a ( ) k a a k k k ( ) k k A) DOSAZENÍ Příklad: ( ) B) ZKRÁCENÍ poom číslo poom Příklad:

3 C) VYTÝKÁNÍ n poom poom Příklad: D) ROZŠIŘOVÁNÍ (pokud j v itě rozdíl dvou čů, z nich alspoň jdn j odmocnina, tpu, popř. ) Příklad:

4 E) vzorc z posldního řádku Příklad: [ ]

5 F) vzorc pro f-c a tg (tj. vzorc z prvních dvou řádků) Příklad: tg tg tg tg 8 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G) jiné Příklad: Dokažt, ž nistuj. Spočítám zvlášť itu zlva a itu zprava: Limita zlva s nrovná itě zprava, proto nistuj.

6 Spojitost funkc Funkc f j spojitá v bodě thd a jn thd, kdž f f ( ) Nní-li funkc f spojitá v bodě, nazývám bod Přitom můž mít funkc f v bodě něktrou z těchto vlastností:. f má v bodě vlastní itu a nní v bodě dfinována; pak nazývám odstranitý bod nspojitosti funkc bod. bodm nspojitosti funkc f. f.. buď f má v bodě vlastní itu a j v něm dfinována, přičmž f f ( ) nbo f má v bodě vlastní itu zlva i zprava, přičmž f f ; bod pak nazývám bodm nspojitosti I. druhu.,. alspoň jdna jdnostranná ita funkc f v bodě nistuj nbo j nvlastní; bod pak nazývám bodm nspojitosti II. druhu. Příklad : J dána f-c f s dfiničním oborm ( f ) (, ) (, ) (,7) 9, ) Jaké it budm počítat v souvislosti s nspojitostí funkc? D.

7 Příklad : Jsou dán funkc f, g, h. Vštřt jjich nspojitost. f g h (, (, ) (,

8 DERIVACE FUNKCE Nchť j f-c f dfinována v okolí bodu. Eistuj-li vlastní ita f f ( ) f f ( ), říkám, ž funkc f má v bodě drivaci f. Funkci f dfinovanou pro všchna M D( f ) f., v nichž drivac istuj, nazvm drivací funkc Někd zapisujm drivaci v tvaru d a čtm drivac funkc podl proměnné. d VZORCE pro drivování základních funkcí tam, kd mají smsl: ( c), c R ( ) cos ( arc ) n n n ( cos ) ( ) ( a ) a a ( ) ( log a ) a cos cot g arccos arctg arc cot g ( tg) PRAVIDLA DERIVOVÁNÍ: ( c u) c u ( u v) u v u v ( u v) u v ( v w) u v w u v w u v w u u u v u v ( u v) u v v v kd c j konstanta (číslo) a u,v,w jsou funkc drivac složné funkc: [ f ( g )] f ( g( ) ) g logaritmická drivac funkc: Výraz f g f, kd > f pro D( f ) g g f. g g f g f f Potom [ ] [ ] [ ] dfinujm vztahm.

9 Příklad: A) drivac podl základních vzorců π g tg cot B) drivac součinu 8 arctg

10 C) drivac podílu log cos cos cos cos ( cos ) cos ( cos ) ( cos ) ( cos ) D) drivac složné funkc 7

11 7 arccos arc cos arctg cos arctg arctg arctg tg

12 log g arc cos cot cos cos cos cos cos tg 7

13 E) logaritmická drivac arctg cos g cot

14 gomtrická intrprtac drivac rovnic tčn a normál k křivc f v bodě [ ] ( ) ( ) t : f, : n : f ( ) Příklad : Najdět rovnici tčn a normál k křivc v bodě. Příklad : Najdět tčnu k křivc a) rovnoběžnou s přímkou, b) kolmou k přímc.

15 Vidím, ž f ( ) j směrnic tčn v daném bodě, proto můžm napsat, ž úhl, ktrý svírá osa s tčnou k křivc f v bodě [, ] j tg α f. Příklad : Jaký úhl svírá s osou tčna k křivc v bodě 9. Úhl, pod ktrým s protínají graf funkcí f, g v bodě [, ] f ( ) g ( ) tgϕ f ( ) g ( ) : Příklad : Najdět úhl, pod ktrým s protínají graf funkcí,. průsčík: ( ) ( ) ± nlz P P [,] [, ]

16 fzikáí intrprtac drivac J-li zadána dráha s v závislosti na čas t, potom můžm dfinovat: rchlost v čas t: ds v dt (tj. rchlost j drivac dráh podl času) zrchí v čas t: d s dv a dt dt (tj. zrchí j drivac rchlosti podl času, což j druhá drivac dráh podl času) uvědomt si, ž čas j proměnná (místo mám t) a dráha, rchlost a zrchí jsou funkc (místo f mám s ( t), v( t), a( t) ) Příklad : Hmotný bod s pohbuj po dráz, ktrá j dána funkcí rchlost a zrchí v čas t s a t s. s t t t. Určt okamžitou Nchť drivac všších řádů n N. Dfinujm n-tou drivaci funkc ( n ) ( n ( ) f ) f, kd ( ) ( ) f ( ) f. f v bodě D( f ) D ( f ) indukcí 8 7 Příklad : Drivujt funkci. 7 8 IV 8 VII V 7 VIII 8 VI IX

17 Talorův rozvoj umožňuj zapsat jakoukoliv funkci jako funkci v tvaru poomu s tím, ž obě funkc mají v okolí zadaného bodu téměř stjné funkční hodnot. Čím všší stupň Talorova rozvoj použijm, tím blíž si t funkční hodnot budou. Talorův poom stupně n funkc f v bodě má tvar f ( ) ( n ( ) ) f f n f.!! n! tn Spciáím případm Talorova rozvoj j tzv. Maclaurinův rozvoj, ktrý dostanm pro. Příklad 7: Sstavt pro funkci Talorův rozvoj. řádu v okolí bodu. 8 IV difrnciál, přírůstk funkc difrnciál funkc f přírůstk funkc f v bodě při daném přírůstku v bodě při daném přírůstku j df ( ) f ( ) j f ( ) f

18 Příklad 8: Určt difrnciál funkc v bodě π při přírůstku π. Příklad 9: Určt difrnciál funkc v bodě 9 při přírůstku,. Příklad : Určt přírůstk funkc a difrnciál funkc v bodě při přírůstku,.,,98,98,98 8,88,9 9,9,9 ɺ,877...

19 Drivac paramtrick zadaných funkcí Mějm funkci f, ktrá nní dána v tomto tvaru, al j zadána paramtrick v tvaru ϕ( t) ψ ( t), kd t R j paramtr. Potom ɺ, kd ɺ d d ɺ, ɺ. dt dt, ɺ ɺ ɺ tj. drivac podl t. Obdobně drivac všších řádů. drivac podl t Příklad : Určt první a druhou drivaci funkc t, t. t Příklad : Určt rovnici tčn a normál v bodě t funkc t, t. t

20 L Hospitalovo pravidlo Používám u it, kd po dosazní dostanm nurčitý výraz tpu nbo (bz ohldu na znaménka). Postupujm podl vět: Nchť R f a nchť, rsp. ± a ± f a, g a R, pak istuj g f g a platí f f a. g g. Nchť istuj Tnto postup lz opakovat, takž platí ( n ) ( n ) ( ) f f f a, g g g a R. L Hospitalovo pravidlo můžm použít i pro it, kd nám po dosazní vjdou nurčité výraz tpu,,,,,. Podmínkou j upravit tto výraz do tvaru, kd po dosazní vjd nbo. U výrazu jdn činitl nchám v původním tvaru a druhý přvdm do jmnovatl jmnovatl f f h. h U výrazu bývá obvkl alspoň jdn prvk v tvaru zlomku. Potom upravím clý výraz na spolčného jmnovatl. U výrazů,,, postupujm takto: Pokud j potřba, upravím jště na f h ( h f ) h f ( ) f h f h( ).. Příklad : Užitím L Hospitalova pravidla vpočítjt: π π cot g

21 π tg a a a ( cot g )

22 PRŮBĚH FUNKCE Abchom dokázali sami bz použití tchnik sstrojit co njpřsněji graf libovoé funkc, budm s držt dsti kroků. Určím:. dfiniční obor. sudost lichost, priodičnost. průsčík s osami. intrval kladných a záporných hodnot. intrval monotónnosti. lokáí trém 7. intrval konvnosti a konkávnosti 8. infí bod 9. asmptot. graf Bod -9 si nní probrm podrobněji. monotónnost funkc Nchť j funkc f spojitá na intrvalu I a nchť uvnitř tohoto intrvalu istuj Platí-li pro každé I : f >, pak j funkc f na intrvalu I rostoucí. Platí-li pro každé I : f <, pak j funkc f na intrvalu I klsající. Platí-li pro každé I : f, pak j funkc f na intrvalu I nklsající. Platí-li pro každé I : f, pak j funkc f na intrvalu I nrostoucí. f. Platí-li pro každé I : f, přičmž rovnost platí jn pro končný počt bodů tohoto intrvalu, pak f na intrvalu I rostoucí. j funkc Platí-li pro každé I : f, přičmž rovnost platí jn pro končný počt bodů tohoto intrvalu, pak f na intrvalu I klsající. j funkc trém funkc Funkc f můž nabýt trémní hodnot jn v bodch k D( f ), v nichž j ( ) stacionární bod funkc) nbo v nichž funkc nmá drivaci. k f (tzv. Lokáí trém nastávají v těchto bodch tam, kd s funkc mění z rostoucí na klsající nbo naopak z klsající na rostoucí. Postačující podmínk pro trém: I. Nchť j Pak f nabývá v bodě stacionární bod funkc f ostré lokáí a) maimum, jli ( ) f pro všchna lžící v vhodném okolí. II. Nchť má f Pak má f první i druhou drivaci v bodě v bodě J-li však, případně bod, v němž drivac nistuj. < b) minimum, j-li ( ) f f., přičmž ostré lokáí a) maimum, jli f f, můž, al nmusí být v bodě < f. b) minimum, j-li > > lokáí trém dané funkc.

23 III. Nchť má f ( m f ( ) f ) ( ) v okolí bodu spojitou drivaci řádu m, přičmž, f m. Pak v bodě. nnastan trém, j-li m liché číslo;. nastan trém, j-li m sudé číslo, a to ostré lokáí ( a) maimum, kdž f m ) ( ) < b) minimum, kdž ( f m ) ( ) >. Absolutní trém spojité funkc f v lokáích trémch této funkc na intrvalu na intrvalu a, b hldám tak, ž najdm hodnot funkc njvětší (absolutní maimum) a njmnší (absolutní minimum) hodnotu. a, b a v krajních bodch intrvalu, z nichž pak vbrm Příklad : Určt lokáí trém a intrval monotónnosti f-c. Příklad : Určt lokáí trém a intrval monotónnosti f-c ( ).

24 Příklad : Určt absolutní trém f-c na intrvalu,. konvnost a konkávnost Graf funkc f s nazývá konvní na intrvalu ( b) bodm tohoto intrvalu. Graf funkc f bodm tohoto intrvalu. s nazývá konkávní na intrvalu ( b) J-li f > pro všchna ( a, b) J-li f < pro všchna ( a, b) a,, lží-li nad tčnou vdnou libovoým a,, lží-li pod tčnou vdnou libovoým, pak j funkc konvní v tomto intrvalu., pak j funkc konkávní v tomto intrvalu. infí bod Bod D( f ), v ktrém j f ( ) nbo v ktrém f ( ) nistuj můž být infím bodm funkc. Tnto bod JE infím bodm, pokud s v něm mění funkc z konvní na konkávní nbo naopak z konkávní na konvní. n f f, infím bodm funkc f(). ( Nchť ) f ( n ) a f ( n ) ( ) istuj v O ( ), pak j bod Příklad : Určt infí bod a intrval konvnosti a konkávnosti f-c.

25 Příklad : Určt infí bod a intrval konvnosti a konkávnosti f-c. asmptot A) bz směrnic : jsou krajní bod intrvalů spojitosti ( f ) Jstliž nastan alspoň jdn z případů f, kd D. f, f, f, D( f ), pak říkám, ž přímka j asmptotou funkc f() v bodě. B) s směrnicí k q : f k R a platí [ f k] q R Jstliž, pak j přímka k q asmptotou funkc f() v nvlastním bodě. f Jstliž k R a platí [ f k] q R, pak j přímka k q asmptotou funkc f() v nvlastním bodě.

26 Příklad : Určt všchn asmptot funkc cos

27 Příklad 7: Vštřt průběh a sstrojt graf f-c ( )

28 [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } { } ± ± ± ± k ± ± ± q 7 ±