6 Elektronový spin. 6.1 Pojem spinu

Transkript

1 6 Elktronový spin Elktronový spin j vličina poněkud záhadná, vličina, ktrá nmá obdoby v klasickém svět. Do kvantové mchaniky s spin dostal jako xprimntální fakt: z řady xprimntů totiž vyplývalo, ž kromě orbitálního momntu má lktron jště nějaký dodatčný momnt hybnosti. V nrlativistické kvantové torii jho xistnci prostě postulujm. Elktronový spin ovšm přirozným způsobm vyplynul z snahy vytvořit rlativistickou kvantovou torii, viz kapitola 21. Toto téma jd však za rámc našho stručného txtu. 6.1 Pojm spinu Spin j vlastní momnt hybnosti částic, kupříkladu lktronu. V násldujících oddílch s stručně sznámím s tím, jak s vlastně na xistnci spinu přišlo. V kapitol 5 jsm s blíž sznámili s orbitálním momntm, ktrý j v klasické fyzic dfinován vztahm L r p, (6.1) kd r j kolmá vzdálnost od osy otáční a p = mv j hybnost. Momnt hybnosti L označujm jako orbitální z toho důvodu, ž objkt, ktrý obíhá okolo daného střdu po tzv. orbitu, má nnulový orbitální momnt. V případě atomu si můžm přdstavit lktron, ktrý obíhá kolm atomového jádra. Protož lktron ns lmntární náboj, gnruj při svém orbitálním pohybu proudovou smyčku, ktrá vytváří magntické pol. Sílu takto vzniklého pol měřím pomocí magntického momntu spojného s orbitálním momntm hybnosti µ L = L. (6.2) Vztah (6.2) j uvdn pro případ lktronu hmotnost m a náboj. Obcně by v vztahu figurovala hmotnost částic m a náboj částic q. Uvažujm nyní atom, v ktrém rotuj lktron. Takovýto atom můž mít nnulový magntický momnt, ktrý jsm schopni změřit například pomocí vychylování směru atomu v nhomognním magntickém poli. Potnciální nrgi intrakc magntického momntu s vnějším magntickým polm j U int = µ B = µ Bcosθ, kd µ j magntický momnt, B j magntická indukc vnějšího pol a θ j úhl, ktrý svírají tyto vktory. Bz újmy na obcnosti zvolm směr magntického pol v směru osy z, pak dostanm ( ) U int = µ z B = mb (6.3) Výraz v závorc v vztahu (6.3) s označuj jako Bohrův magnton a má hodnotu µ B = 9, JT 1. Vidím, ž v vnějším magntickém poli závisí nrgi lktronu na magntickém kvantovém čísl m. Tak například lktronový stav s vdljším kvantovým číslm l = 1 (p-orbital) by s měl v vnějším magntickém poli rozštěpit do tří různých stavů s různou nrgií podl hodnot magntického kvantového čísla m = 1, 0, 1. To vd k rozštěpní původní jdiné spktrální čáry v atomovém spktru do tripltu, přičmž vzdálnost mzi čárami závisí na vlikosti magntického pol, tj. magntické indukci B (viz obrázk 9). Štěpní spktrálních čar v magntickém poli s nazývá Zmanův jv po svém objvitli holandském fyzikovi Zmanovi, ktrý ho poprvé pozoroval v roc Zmanův jv j tak přímým xprimntálním potvrzním prostorového kvantování momntu hybnosti. c c V skutčnosti j štěpní čar v magntickém poli komplikovanější díky spinu. 52

2 Obrázk 9: Štěpní čar v magntickém poli. V skutčnosti s ukázalo, ž štěpní atomových hladin v magntickém poli můž být o dost složitější, nž přdpovídala kvantová mchanika. Toto anomální chování (anomální Zmanův jv) bylo možno vysvětlit zavdním dodatčného momntu hybnosti lktronu, tdy spinu. Njjasnější xprimntální důkaz xistnc spinu podal xprimnt provdný v roc 1922 Otto Strnm a Waltrm Grlachm. Tnto xprimnt si proto probrm důkladněji. 6.2 Strnův - Grlachův xprimnt Exprimntální aparatura (viz obrázk 10) Strnova-Grlachova xprimntu sstávala z pícky, v ktré s zahřívaly atomy stříbra. Páry stříbra opouštěly pícku malým otvorm a vytvářly paprsk atomů. Paprsk procházl nhomognním magntickým polm a dopadal na vhodné stínítko, ktré sloužilo k vizualizaci výsldků. Přdpokladm xprimntu j, ž atomy stříbra mají nnulový magntický momnt. Atomy s nnulovým magntickým momntm intragují s nhomognním magntickým polm a jsou vychýlny z přímého směru v závislosti na prostorové orintaci magntického momntu. Zvolm orintaci nhomognního magntického pol v směru osy z. Pak pro sílu, ktrá způsobuj vychýlní atomů z přímé dráhy platí F z = U z, (6.4) kdu = µ B = µ z B z j potnciální nrgi atomů stříbra v magntickém poli orintovaném v směru z-ové osy. Proto F z = µ z B z. (6.5) Podl přdstav klasické fyziky bud magntický momnt stříbrných atomů orintován v prostoru zcla náhodně a jho průmět do osy z tak bud také nabývat libovolných hodnot od - µ do µ. Na stínítku bychom dostali přímou čáru o vlikosti v směru z-ové osy odpovídající dopadům stříbrných atomů. Stříbrné atomy al dopadaly na stínítko pouz v dvou bodch, ktré odpovídaly dipólovému momntu µ z = ±µ B, µ B =, (6.6) kdµ B j Bohrův magnton. Strn s Grlachm byli nadšni, nboť tnto xprimnt potvrzoval kvantování momntu hybnosti v směru osy z, jak přdpovídala kvantová tori. Jnž pozornější pohld už ukazuj, ž zd něco nsouhlasí. Atomy stříbra mají 47 lktronů, z nichž 46 j spárovaných, a tudíž npřispívají k orbitálnímu momntu hybnosti. Zbývající 1 nspárovaný lktron má také nulový orbitální mmnt hybnosti, protož obsazuj 5s orbital. Clkový orbitální momnt hybnosti atomů stříbra j tdy L = 0, a tak nxistuj žádný magntický momnt vyvolaný tímto momntm hybnosti. Můžm připustit, ž onn nspárovaný lktron s z nějakých důvodu bud nacházt v p orbitalu. V této situaci by s al měl svazk stříbra rozpadat na tři, nikoliv na dva podsvazky. Pozorovaný nnulový magntický momnt atomů stříbra musí být vyvolán dalším momntm hybnosti spinm. Strnův - Grlachův xprimnt tak přdstavuj 53

3 Obrázk 10: Schématické zobrazní xprimntální aparatury, ktrou použili Strn s Grlachm při xprimntu, ktrým chtěli prokázat prostorové kvantování orbitálního momntu hybnosti. V skutčnosti prokázali xistnci spinu, dalšího momntu hybnosti lktronu. Aparatura s skládala z pícky s atomy stříbra, ktré z zahřály a opouštěly pícku malým otvorm, přičmž tvořily atomový paprsk. Atomy procházly nhomognním magntickým polm a vychylovaly s v závislosti na prostorové orintaci spinu. Po dopadu na stínítko s vytvořily dvě stopy odpovídající dvěma prostorovým projkcím spinu spin nahoru a spin dolů. Dál j zobrazno porovnání očkávané distribuc dopadů atomů stříbra na stínítko podl klasické (CM) a kvantové (QM) mchaniky. přímou xprimntální mtodu umožňující měřit jdnu z komponnt spinu, v našm případě z-ovou komponntu. Koncpt spinu lktronu byl zavdn až v roc 1925 holandskými fyziky Gorgm Uhlnbckm a Samulm Goudsmitm, ktří analyzovali atomová spktra. I přsto j Strnův - Grlachův xprimnt považován za xprimntální důkaz xistnc lktronového spinu. 6.3 Spin a rotac lktronu kolm své osy Samotné slovo spin j odvozno z anglického slovsa to spin, tdy točiti s, vířiti, vrtěti s. Odkazuj na přdstavu, ž spin j momnt hybnosti spojný s vlastní rotací částic. Takový výklad j ovšm pochybný. Budm-li si přdstavovat spin jako momnt hybnosti spojný s rotujícím objktm (například pohyb planty Změ otáčjící s kolm své osy j spojn s momntm hybnosti, můžm příslušný momnt hybnosti určit pomocí vztahu S = Iω, (6.7) kd momnt hybnosti S nazvm spinovým momntm hybnosti či krátc spinm, I j momnt strvačnosti souvisjící s distribucí hmoty objktu okolo osy rotac a ω j úhlová rychlost. Spin j vktorová vličina orintovaná v os rotac a jho směr j určn pomocí pravidla pravé ruky. Pakliž j rotující objkt nabitý, jho rotac opět způsobí vznik magntického pol. I zd charaktrizujm magntické pol magntickým momntm, tntokrát spojným s spinovým momntm hybnosti µ S = q S, (6.8) 2m kd q j náboj rotujícího tělsa. Elmntární částic jako j lktron jsou bodové částic a ndá s tak mluvit o jjich rotaci. To znamná, ž momnt strvačnosti jd k nul, I 0, a proto i spin částic s bud blížit nul, S 0. Kdyby tomu tak bylo, lmntární částic by nměly žádný dipólový momnt souvisjící s spinm, což j v rozporu s xprimntm. V snaz zlpšit tuto nshodu můžm připustit, 54

4 ž lmntární částic jsou vlmi malé rotující kuličky. Z xprimntů plyn, ž poloměry částic jsou < m. Aby například lktron s tímto poloměrm měl příslušnou hodnotu svého spinu, musl by rotovat dalko větší rychlostí, nž j rychlost světla. Tnto rozpor vd k tomu, ž klasická mchanika při popisu lmntárních částic slhává a musím jí nahradit kvantovou torií. 6.4 Spin v kvantové mchanic Pojďm nyní zavést spin do formalismu kvantové mchaniky. Z Strnova-Grlachova xprimntu jsm nahlédli, ž spin má vlastnosti momntu hybnosti. Pro spin by tak měly platit ty samé vztahy jako pro momnt hybnosti. V kapitol (5) jsm dospěli k závěru, ž vlikost orbitálního momntu hybnosti L j kvantována L = l(l+1), l = 0,1,2,..., (6.9) kd l j vdljší kvantové číslo. A dál, ž jdna z složk orbitálního momntu hybnosti, řkněm L z, j také kvantována L z = m l, m l = l,...,0,...,+l, (6.10) kd m l j magntické kvantové číslo. Kvantování složky orbitálního momntu hybnosti j vyjádřním prostorového kvantování, tj. ž vktor orbitálního momntu hybnosti můž mít jn určité prostorové orintac. J logické přdpokládat, ž pro spin budou platit obdobné rlac, jako pro orbitální momnt hybnosti. Proto vlikost spinového momntu hybnosti S j kvantována jako S = s(s+1), s = 0,1/2,1,3/2..., (6.11) kd s j spinové kvantové číslo, ktré v případě lktronu má hodnotu s = 1/2, a tak vlikost spinu lktronu js = 3/4. Podobně i jdna z komponnt spinu, konvnčněs z, j kvantována S z = m s, m s = s,...,0,...,+s, (6.12) kd m s j magntické spinové kvantové číslo, ktré v případě lktronu nabývá hodnot m s = ±1/2. Elktron s tak můž nacházt v dvou stavch lišících s průmětm momntu hybnosti do osy z, plně v souladu s Strnovým-Grlachovým xprimntm. Vidím, ž vztahy (6.11) a (6.12) pro spin jsou obdobou vztahů (6.9) a (6.10) pro orbitální momnt hybnosti s tím rozdílm, ž v případě spinu nabývá spinové kvantové číslo s poločíslných hodnot. V úvodu jsm poznali, ž momnt hybnosti j příčinou nnulového magntického momntu (viz vztahy (6.2) a (6.8)). Mzi spinovým momntm a magntickým momntm platí vztah µ S = g S, (6.13) kd g j tzv. gyromagntický poměr, ktrý pro lktron má hodnotu g. = 2. Gyromagntický poměr j v nrlativistické kvantové mchanic vličinou, ktrá musí být změřna, v rámci rlativistické kvantové tori lktronu j ovšm možné jj vypočítat. Gyromagntický poměr vyjadřuj podíl magntického dipólového momntu a orbitálního momntu hybnosti. Z xprimntu vyplývá toliko hodnota vlikosti momntu hybnosti a průmětu momntu hybnosti do osy z. Abychom torii učinili úplnou, můžm formálně zapsat oprátorové rovnic pro oprátory spinového momntu Ŝ2 a Ŝz. Jdnotlivé rovnic jsou Ŝ 2 α = 2 s(s+1)α, (6.14) 55

5 Ŝ 2 β = 2 s(s+1)β, (6.15) Ŝ z α = 1 α, (6.16) 2 Ŝ z β = 1 β. (6.17) 2 kdαaβ jsou tzv. spinové vlnová funkc. Vlnová funkcαnám nříká nic jiného, nž j lktron má spin mířící nahoru, tdy s m s = 1/2, vlnová funkc β má zas spin orintovaný dolů, tdy j charaktrizována spinovým magntickým číslm m s = 1/2. Formálně tuto skutčnost zapíšm násldujícími rovnicmi: a α(m s = 1/2) = 1, α(m s = 1/2) = 0 (6.18) β(m s = 1/2) = 0, β(m s = 1/2) = 1. (6.19) Spinové funkc tak njsou funkcmi prostorových souřadnic, nýbrž magntických kvantových čísl. Takto zavdné spinové vlnové funkc jsou normalizované. Například pro α platí α 2 dτ 1/2 1/2 α 2 = α(1/2)α(1/2)+α( 1/2)α( 1/2) = 1+0 = 1. (6.20) V rovnici (6.20) značí dτ intgraci přs clý prostor. Protož spinové funkc jsou dfinovány na diskrétních hodnotách spinových magntických čísl, přjd intgrac na sumaci. Suma vyjd jdnotková. Stjný závěr bychom dostali v případě spinové vlnové funkc β. Spinové vlnové funkc jsou i ortogonální. Důkaz provdm násldovně 1/2 1/2 α(m s )β(m s ) = α(1/2)β(1/2)+α( 1/2)β( 1/2) = 0+0 = 0, (6.21) kd mám na paměti, ž nutná podmínka ortogonality vlnových funkcí j, ž intgrál, v tomto případě suma, přs clý prostor j rovna nul. Na první pohld můž zavdní spinových oprátorů a spinových funkcí působit samoúčlně. Ukáž s však, ž pro zápis vlnové funkc atomů s víc lktrony tyto funkc budm potřbovat. 6.5 Spin v magntickém poli V případě Strnova - Grlachova xprimntu jsm s stkali s tím, ž spin lktronu intraguj s vnějším magntickým polm. Pro potnciální nrgii této intrakc j možné psát U int = µ S B, (6.22) kd B j magntická indukc vnějšího magntického pol. Orintujm-li pol v směru osy z, tj. B = (0,0,B z ), a za dipólový momnt dosadím z vztahu (6.13) dostanm pro potnciální nrgii intrakc U int = µ z B z = g B z S z = g B z m s = γb z m s. (6.23) 56

6 Za z-ovou komponntu spinu jsm dosadili jjí vlastní hodnotu S z = m s a dál konstanty (g )/( ) jsm zahrnuli do jdnoho faktoru γ, ktrý s nazývá g-faktor. Protož kvantové číslo m s v případě lktronu můž nabývat dvou hodnot ±1/2, dojd v vnějším magntickém poli k různě silné intrakci lktronů v závislosti na prostorové orintaci jjich spinů. Rozdíl nrgií daný různou orintací spinu j rovn U int = γb z. (6.24) Rovnic (6.24) j základm xprimntálních tchnik EPR (lktronová paramagntická rzonanc) a NMR (nuklární magntická rzonanc) spktroskopi. V případě NMR j nutné uvažovat g-faktor pro sldované jádro γ N = g N 2m N, (6.25) kd m N a g N jsou po řadě hmotnost daného jádra a jho gyromagntický poměr. Příklad 10 Zadání: Spočítjt dvě možné nrgi nuklárního spinu pro jádro 1 H v magntickém poli 5,50 T. Řšní: Enrgi jsou dány vztahm U int = γ N m s B z = ±7, J. Zadání: Spočítjt nrgtický rozdíl těchto dvou stavů. Jakou vlnovou délku by muslo být lktromagntické zářní, aby došlo k absorpci z jdnoho stavu do druhého? Řšní: Enrgtický rozdíl bud E = 2 U int = 1, J. Vlnová délka fotonu pak j λ = c ν = c E h = 1,282 m. 57