Kapitola 2. Bohrova teorie atomu vodíku

Transkript

1 Kapitola - - Kapitola Bohrova tori atomu vodíku Obsah:. Klasické modly atomu. Spktrum atomu vodíku.3 Bohrův modl atomu vodíku. Frack-Hrtzův pokus Litratura: [] BEISER A. Úvod do modrí fyziky [] HORÁK Z., KRUPKA F. Fyzika [3] HAJKO V. a kol. Fyzika v xprimtoch Jdím z vlmi vážých problémů, ktrý trápil fyziky kocm miulého stoltí, byla otázka stavby atomů ajjichčárových spktr. Thdy byl již zám lktro a rověž svědělo, žsutrálíatomy skládají z kladě abité hmoty (od Ruthrfordových pokusů azývaé jádrm) a záporě abitých lktroů tak, ž s jdotlivé typy ábojů avzájm kompzují. Existovalo ěkolik modlů atomu, z ichž však i jvýzamější - Thomsoův aruthrfordův - protiřčily mohým xprimtálím faktům. Záhadou byla přdvším čárová spktra atomů a molkul, o ktrých bylo zámo, ž mají původ v pohybu kladé a záporě abité hmoty uvitř jdotlivých atomů a molkul. Přstož s tto problém podařilo uspokojivě vyřšit až v rámci Schrödigrovy kvatové mchaiky, již v roc 93 vzikla vlmi ztřštěá tori mladého dáského fyzika Nils Bohra, ktrou s sažil vysvětlit kvatitativí závislosti v jjdodušším, již thdy dobř prozkoumaém, čárovém spktru - spktru zářícího atomu vodíku. Bohrova přdstava měla dalko do logicky kozisttí tori. Podobě jako Plack zavádí i Bohr jakýsi umělý přdpoklad o kvatováí rgi (ttokrát v problému pohybu hmotého bodu v poli ctrálí síly), ktrý v spojí s klasickými přdstavami dává přdpovědi v moha směrch shodé s xprimtm. Bylo však moho věcí, ktré Bohrova tori byla schopa vysvětlit. Již fakt, ž uměla popsat pouz atom vodíku a žádý jiý, hovoří sám za sb. Když však ěmčtí fyzikové Frack a Hrtz roku 9 ralizovali zámý pokus, v ěmž prokázali kvatováí rgi i v případě složitějších atomů (rtuti), získala Bohrova tori světovou proslulost. My však a i musím pohlížt v světl ásldujícího vývoj jako a vlmi mlhavé tuší základích rysů kvatového světa. Vlmi přízačý j zd Nwtoůvpříměr o oblázcích acházých a pobřží ocáu. Z jdoho či ěkolikamálaka- míků, ktré alzam a pláži, j s obtížmi můžm říci víc o clém pobřží a jště méě omoři toto pobřží omývající. Bohr (a akoc i Plack) jd takový kamík zvdli a prozkoumali. Svým kolgům tak otvřli cstu za ovým, vzrušujícím pozáím.. Klasické modly atomu vodíku [] str.5-35 [] str

2 Kapitola - - Vývojm klasických přdstav o stavbě atomů a spciálě i atomu vodíku s budt podrobě zabývat v kursu atomové fyziky. Pro osvěží základích pozatků odkazuji čtář a uvdou litraturu. Něktrá zajímavá fakta pak alzt i v úlohách k této kapitol.. Spktrum atomu vodíku Pořádě si promyslt základí fakta uvdá v [] str Bohrův modl atomu vodíku [] str. 39-7, 5-55 [] str Bohrovy postuláty Problémy s lktromagtickou stabilitou Ruthrfordova modlu atomu jakož i saha rprodukovat kvatitativí závislosti v spktru jjdoduššího atomu - atomu vodíku, v jhož obalu s pohybuj jdiý lktro, vdly Bohra k formulaci tří zámýchpos- tulátů, z ichž vybudoval smikvatovou torii tohoto atomu:. Elktroy v atomu vodíku s pohybují kolm jádra po kružicích, pro ěž platí mvr = D, (-) kd m j hmotost lktrou, v jho oběžá rychlost a r poloměr kruhové dráhy. Kvatové číslo abývá hodot,,..... Pohybují-li s lktroy po těchto drahách, ktré budm azývat orbity, vyzařují ai absorbují lktromagtickou rgii. 3. Při přchodu lktrou z orbity s vyšším kvatovým číslm () a orbitu s ižším kvatovým číslm (m) vyzáří atom kvatum lktromagtického září - foto, při opačém procsu foto absorbuj. Kruhová frkvc tohoto fotou j dáa vztahm Dω = E Em. (-) Implicitě s pak dál přdpokládá, ž kromě těchto omzí můžm použít k studiu vodíkového atomu klasickou mchaiku. Na prví pohld j patrý vitří rozpor soustavy Bohrových postulátů. Najdéstraě s zdalka zříkám použití klasické fyziky, a druhé straě ji doplňujm o přdpoklady, ktré jsou s í v zřjmém rozporu. Vlmi dobř j patré rověž výrazé zjdoduší situac, kdy přdpokládám, ž lktroy obíhají kolm vodíkového jádra (v vázaém stavu) po kružicích. Vždyť i v klasické mchaic s odvozuj, ž obcý tvar vázaé trajktori částic v coulombickém poli j lipsa. Základího souhlasu Bohrovy to-

3 Kapitola Ergtické spktrum atomu vodíku Prví Bohrův postulát (-) zamá, ž vlikost impulsmomtu lktrou obíhajícího kolm jádra j jistým způsobm kvatováa. Tato vličia, v klasické fyzic spojitá, můž tdy v rámci Bohrovy tori abývat pouz diskrétích hodot - přirozých ásobků škrtuté Plackovy kostaty. Sloučím-li tto fakt s rovostí odstřdivé a dostřdivé (coulombické) síly mv r =, (-3) πε r kd a pravé straě rovosti j zapsá Coulombův záko udávající sílu mzi dvěma bodovými áboji, získám přípusté hodoty poloměrů Bohrových orbit i rychlostí lktroů a ich r = πεd m, (-) v = πε D. (-5) Vličia a = πε D s azývá Bohrův poloměr atomu vodíku a udává zhruba vlikost m vodíkového atomu za běžých podmík. Ergi lktrou v poli vodíkového jádra j dáa vzorcm E = mv πε r. (-6) Po aplikaci kvatových výrazů (-,5) získám přípusté hodoty rgi atomu vodíku, tzv. rgtické spktrum E m = 3πε D. (-7) Všimět si, ž všchy přípusté rgi jsou záporé. To odráží fakt, ž soustava jádro - lktro j vázaá. V opačém případě by mělo smyslu hovořit o atomu. Ergi E odpovídá tzv. základímu stavu (hovořím též o základí rgtické hladiě) atomu vodíku, ostatí rgi pak stavům xcitovaým (vzbuzým). Rozdíl mzi základí hladiou a kočě xcitovaou hladiou s azývá disociačí rgi, boť miimálě ri s xprimtálími pozatky o spktru atomu vodíku s toto zjdoduší však příliš dotk. Tprv přsější měří odhalí fkty, s imiž si Bohrova tori díky podobým zadbáím bud vědět rady. Zd ovšm zadbávám kitickou rgii jádra v těžišťové soustavě atomu. Jak uvidím později, toto zadbáí váší do tori příliš vlké chyby.

4 Kapitola - - tato rgi j potřbá k odtrží lktrou od atomu v základím stavu, tdy k disociaci tohoto atomu. Spktrum atomu vodíku 3 Podl posldího Bohrova postulátu vyzařuj atom vodíku lktromagtickou rgii v formě kvata (fotou) pouz při přchodu lktrou z vyšší rgtické hladiy a ižší. Frkvc vyzářého fotou j pak dáa vztahm (-). Tak při přchodu z -té hladiy a m-tou (>m) vyzáří atom foto o úhlové frkvci ω m ω m m æ ö = ç. (-8) 3πε D 3 è m ø Na tomto vztahu pak můžm sado vybudovat popis misího spktra atomu vodíku. A podobě ipopisabsorpčího spktra (ktré j gativm spktra misího). Všimět si, ž vzorc (-8) j v skvělé shodě s mpirickým pravidlm klasifikujícím spktrálí séri atomu vodíku R λ λ = æ ö ç, (-9) è m ø m kd R λ j tzv. Rydbrgova kostata. Tumůžm sado určit vyhodocím xprimtálě získaých spktr atomu vodíku a s jjí pomocí určit i hodotu Plackovy kostaty. Mám tdy k dispozici další závislou mtodu určí hodoty této fudamtálí kostaty. Započtí kočé hmotosti vodíkového jádra Vpřdchozím odstavci jsm přistupovali k atomu vodíku jako k problému lktrou obíhajícího v lktrostatickém poli kladého bodového áboj pvě umístěého v počátku souřadicové soustavy. Tato aproximac odpovídá přdpokladu kočé hmotosti jádra atomu. J do začé míry oprávěá, boť hmotost lktrou j zhruba 8-krát mší ž hmotost vodíkového jádra (protou). Tdy chyby způsobé výš uvdou aproximací jistě budou vlké. Problém vodíkového atomu j však možo vyřšit sado i v případě, kdy budm brát v úvahu kočou hmotost protou. V klasické mchaic jst si totiž ukazovali, jak s problém dvou hmotých bodů přvádí a problém jdočásticový. Vít, ž zůstávají v platosti všchy vztahy odvozé pro pohyb jdiého hmotého bodu. Za jho hmotost však musím dosadit rdukovaou hmotost příslušé dvojčásticové soustavy. Chcm-li tdy upřsit vzorc přdchozího odstavc, musím v ich provést záměu m mm p, m + M p 3 Zd i v dalším musím vlmi pčlivě rozlišovat pojm spktra hodot kvatovaé vličiy (apř. rgi), ktré chápm jako možiu všch kvatově přípustých hodot, a spktra lktromagtického září vysílaého objktm - možia moochromatických módů rsp. spktrálích čar. Kd to bud zřjmé z kotxtu, budou oba pojmy xplicitě rozlišováy.

5 Kapitola kd M p j hmotost protou. Sado však ukážt, ž příslušá rdukovaé hmotost a hmotost lktrou s liší j patrě. Vodíku podobé ioty J jasé, ž postupy a vzorc uvdé v přdcházjících odstavcích jsou použitlé ipři popisu jiých objktů tvořých jdím lktrom obíhajícím kolm bodového jádra (tzv. vodíku podobé ioty). Ozačím-li protoové číslo jádra Z a jho hmotost M, j možo z výš uvdých vztahů pro vodík získat záměou rsp. -> Z m mm m + M příslušé vzorc pro obcý vodíku podobý iot. Bohrův pricip korspodc Podobě jako v případě harmoického oscilátoru i yí mám o jdom systému dvě vylučující s výpovědi. Podl klasické fyziky áboj pohybující s priodickým pohybm vyzařuj lktromagtické září, jhož kruhová frkvc odpovídá kruhové frkvci tohoto pohybu a jjím přirozým ásobkům (vyšším harmoickým). V makroskopickém světě j tto fakt vlmi dobř ověřý i pro kruhový oběh áboj kolm bodového ctra (sychrotroové září). Bohrova tori však říká ěco jiého. Přípusté dráhy jsou zářivé a ostatí zakázaé. Dojd-li vlivm fluktuací k přchodu lktrou z jdé dráhy a druhou, má frkvc vyzářého fotou ic spolčého s oběžou frkvcí lktrou a jho orbitě. Promyslím-li si pozorě oba vylučující s popisy, zjistím, ž s týkají pricipiálě odlišých situací. Zatímco s kvatové přdpovědi podstaté části spktra atomu vodíku týkají přchodů mzi hladiami s ízkými hodotami kvatového čísla, výsldky klasických xprimtů odpovídají vlmi vysokým hodotám (rozměr sychrotrou = průměr studovaé orbity j rov řádově mtrům). Z přdcházjící kapitoly však vím, ž pouz v limitě vysokých kvatových čísl by měly přdpovědi klasické a kvatové fyziky splývat (Bohrův pricip korspodc). Pokusm s tdy ověřit, zda podobé tvrzí platí i v případě atomu vodíku. Přdvším kruhová frkvc oběhu lktrou a -té orbitě j dáa vztahm ω m = ( πε ) D 3 3. (-) Podl vztahu (-8) dál kruhová frkvc fotou vyzářého lktrom při přchodu z (+k)-té hladiy a hladiu -tou splňuj ω m æ +, = ç 3πε D è ( + k) k 3 ö, ø

6 Kapitola cožzapřdpokladu přchodu mzi dvěma blízkými vysoc xcitovaými hladiami (>>k) dává ω m +, k = kω 6πε D 3 3 k. (-) To al zamá, ž v limitě vysokých kvatových čísl j frkvc lktromagtického září vyzařovaého atomm vodíku rova oběžé frkvci lktrou bo vyšším harmoickým. V rámci Bohrovy tori platí však tto závěr j v limitě vlkých kvatových čísl a samotý jv j itrprtová jako důsldk přchodů mzi blízkými rgtickými hladiami. Frack-Hrtzův pokus [] str.7-9 [3] str.95- Vlmi zdařilý výklad problému j možo alézt v citovaé litratuř, a ktrou čtář odkazujm.

7 Příklady k kapitol Příklady ) Čáry Balmrovy séri spktra atomu vodíku odpovídají v vzorci (-9) hodotě m= a =3,,.... Jjich vlové délky byly změřy takto λ [m] Určt z těchto údajů hodotu Rydbrgovy a Plackovy kostaty. ) Podl Thomsoova modlu j tvoř atom vodíku kladě abitou koulí o poloměru zhruba 5. - m a clkovém áboji +, v íž s pohybuj bodový lktro (áboj -). V případě, ž lktro opustí běhm svého pohybu kladě abitou oblast, ukažt, ž jho pohyb j dá suprpozicí tří kolmých liárích harmoických kmitů. Určt frkvci těchto kmitů a přípusté rgtické hladiy podl Plackova postulátu. Určt přchodům mzi těmito hladiami odpovídající lktromagtické spktrum Thompsoova modlu atomu vodíku a srovjt jj s mpirickou formulí.. 3) Po započtí kočé hmotosti jádra atomu vodíku vyjádřt rgii -té hladiy v formě řady E m æ = ç + 3πεh ç è + å k = æ m ö a k ç è M p ø k ö ø aurčt ěkolik prvích člů této řady. ) Ukažt, ž za zmíěého přdpokladu >>k z (-8) ply (-). 5) Volý atom vodíku vyzářil foto a přšl tak z hladiy -té a hladiu m-tou. Určt vlovou délku a úhlovou frkvci tohoto fotou v závislosti a a m, vzmt-li v úvahu zpětý ráz atomu. (Tj. uvolěá vitří rgi atomu s trasformuj a rgii fotou a kitickou rgii zpětého pohybu atomu). Výsldk srovjt s (-8). BROŽ J. a kol. Fyzikálí a matmatické tabulky, str. 5

8 Příklady k kapitol Nápověda: Použijt zákoů zachováí hybosti a rgi. 6) Opakujt výpočt z příkladu 5 pro atom pohybující s rychlostí v. Itrprtujt získaý výsldk. 7) Řší příkladů 5 rsp. 6 modifikujt tak, aby popisovala absorpci fotou klidým rsp. pohybujícím s atomm vodíku. 8) Určt poloměry přípustých drah a rychlosti lktrou a ich, jstliž s lktro pohybuj v homogím magtickém poli o idukci B. Pohyb lktrou j kolmý k vktoru magtické idukc. 9) Jak j kvatováa rgi Změ přioběhu kolm Sluc? Propočtět si rověžpříklady z [] a str. 55.