Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Transkript

1 Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko kompresoru, když komprese je: a izotermická, b adiabatická. Zakreslete změy v p-v a T-s diagramech. V = [m 3. s ]; t = 20 [ C] = 293,5 [K]; = 0, [MPa]; p 2 = 0,7 [MPa]; V 2 =? [m 3. s ]; t 2 =? [K]; P =? [W] a Izotermická změa Pro výpočet velikosti objemového toku vystupujícího z kompresoru se budeme opírat o stavovou rovici, která je trošku upraveá. Uvažujeme, že přes kompresor proudí kotiuálě stálé možství vzduchu (v čase se eměí možství vzduchu, které protéká kompresorem, tedy můžeme uvažovat, že hmotost vzduchu v kompresoru v čase stejá. Jelikož ale, máme proudící médium, upravíme si stavovou rovici do ásledujícího tvaru: p. V = m. r. T Rovice se změila jeom formálě a dostala časový rozměr. Její úpravou pro podmíky izotermického děje dostáváme rovici:. V = p 2. V 2 Jedoduchou úpravou této rovice dostáváme velikost objemového průtoku a výstupu z kompresoru: V 2 = 0,.06. V = p 2 0, = 0,43 [m3 s ] Velikost teploty při izotermické kompresi je stejá a začátku i a koci děje, tedy: T = T 2 = 293,5 [K]

2 Tady je dobré se zastavit, výsledek porovat z grafem a udělat ěkteré úvahy pro další výpočty. Z grafů plyou ásledující předpoklady: Objem a koci komprese adiabatické bude vyšší ež u komprese izotermické (bod 2 leží víc vpravo od bodu 2 očekáváme tedy vyšší hodotu objemového průtoku a výstupu při adiabatickém ději (V 2 < V 2. Při adiabatickém ději bude teplota a koci komprese vyšší ež u komprese izotermické (bod 2 leží víc vpravo od bodu 2, tedy se očekává výsledek, pro který bude platit T 2 < T 2. Velikost práce se očekává v záporých hodotách (kompresoru se dodává práce Velikost dodávaé práce v případě adiabatické komprese bude vyšší ež v případě izotermické komprese (velikost plochy mezi zeleou křivkou a osou tlaku je meší ež velikost plochy mezi purpurovou křivkou a osou tlaku. P < P - Pozor, výsledky se očekávají v záporých hodotách, proto je uté porovávat v absolutích hodotách! Příko kompresoru (velikost techické práce, která se musí dodat kompresoru za jedotku času, je možé vypočítat přímo použitím rovice pro výpočet techické práce a veliči, které mají i časový rozměr a byly dříve použity ve stavové rovici. Velikost techické práce, je vyjádřea v Joulech [J], použitím veličiy objemového toku [m 3. s ] místo veličiy objemu [m 3 ] v rovici pro výpočet techické práce dostáváme amísto rovice p 2 A t2 = V. dp rovici p 2 A t2 = V. dp Tím, že a pravé straě přibyl časový rozměr, musel přibýt i a levé straě. Tedy původí rozměr obou stra, který byl v [J], má yí rozměry [J. s ], což je rozměr výkou [W]. Proto můžeme apsat, že velikost dodávaé práce: p P = A t2 = 2 p m.r.t V. dp = p 2 p dp = m. r. T p 2 dv p p p = m. r. T[l p] 2 p = m. r. T. l p 2 == m. r. T. l = p. V. l = 0, l 0,.06 2 p 2 0,7.06 = 94 59,049 [W] 2

3 b Adiabatická změa V případě adiabatické změy je také uděláa formálí změa a přidá časový rozměr, tedy rovice popisující rovováhu mezi počátečím a kocovým dějem má tvar: Separováím proměých se lze dopracovat k rovici:. V κ = p 2. V 2 κ ( V 2 = ( V p 2 Odkud je jedoduché vyjádřit velikost objemového průtoku vzduchu a výstupu z kompresoru: V 2 = V. ( κ 0,.0 6,4 =. ( p 2 0,7.0 6 = 0,249 [m 3 s ] Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf - V 2 < V 2 Výpočet teploty se bude odvíjet také od úprav rovice pro adiabatický děj (viz rovice (6 a (7 Cvičeí 4.. Využijeme tvar rovice, která se musí miimálě upravovat: T 2 T = ( p 2 A tedy je jedoduché vyjádřit velikost teploty a koci adiabatické komprese: T 2 = T. ( p κ 2 κ 0,7.0 6,4,4 = 293,5. ( 0,.0 6 = 5,5 [K] Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf - T 2 < T 2 V případě adiabatické změy eí uté použít itegrálí tvar výpočtu, ale lze využít toho, že při adiabatickém ději je pravá straa rovice pro prví záko termodyamiky rova ule (viz rovice (2 - cvičeí 4. Tedy úpravou rovice (2 a její rozšířeím o časový rozměr (rovici evyásobím hmotostí m ale hmotostím tokem m můžeme apsat, že velikost dodávaé práce v případě adiabatického děje: κ κ κ κ. r P = A t2 = m. κ (T 2 T P =. V. c r. T p. (T T 2 = 0,.06.,4. 287,04.. (293,5 5,5 = ,3 [W] 287,04.293,5,4 Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf - P < P 3

4 Příklad 2 Ve válci je vzduch o hmotosti 0,25 [kg] při tlaku [bar] a teplotě 5 [ C]. Vzduch je adiabaticky stlače a tlak 0,8 [MPa]. Staovte: Absolutí práci 2 Techickou práci 3 Kocový objem 4 Kocovou teplotu 5 Změu vitří eergie 6 Změu etalpie 7 Změu etropie Dáo: m = 0,25 [kg = [bar] =.0 5 [Pa] T = 5 [ C] = 288,5 [K] p 2 = 0,8 [MPa] = 0,8.0 6 [Pa] Pro výpočet je možo použít možství zkratek, které plyou z rovic pro adiabatický děj. Tady bude ukázaý podrobý postup a pak ásledě budou ukázáy jedolité spojitosti. Na začátku je ale uté jsi uvědomit pár skutečostí, které plyou již grafů: Velikost techické i absolutí práce se očekává z záporých hodotách (kompresoru se dodává práce Objem a koci děje bude ižší jako a začátku V 2 < V Teplota a koci děje bude vyšší ež a začátku děje T 2 > T Při adiabatickém ději je pravá straa rovice pro prví záko termodyamiky rova ule (viz rovice (2 - cvičeí 4. Tedy platí, že ΔU = A 2 a ΔH = A t2 4

5 Absolutí práce Výpočet měré absolutí práce se řídí dle zámé rovice a itegrací se dostaeme ke koečému tvaru (viz úpravy rovice (8 Pozámky ke cvičeí 4 v 2 a 2 =. v κ. dv = p vκ. v κ. [ v κ+ v 2 κ + ] =. v κ. [ v 2 κ+ κ + v κ+ κ + ] = v v =. v κ. [ v 2 κ κ v κ κ ] = p κ. v κ. [v 2 κ v κ ] = = κ.. v κ. v κ. [ v κ 2 κ v v κ κ v ] = κ.. v. [( v κ 2 ] = v Koečý tvar rovice je možé upravit za pomoci stavové rovice a rovice adiabaty (viz úpravy rovice (8 Pozámky ke cvičeí 4: a 2 = p κ κ. v κ. [(p 2 κ r. T ] = κ. [(p 2 κ ] = 287, ,5,4,4 0,8. 06,4. [( 0,. 0 6 ] = ,4 [J. kg ] Výsledek je záporý, což se dalo očekávat. Je třeba si ale dát pozor, že výsledek je uté ásobit hmotostí!!! Teprve teto výsledek je správým výsledkem. Toto je častá chyba u zápočtů!!!! A 2 = m. a 2 = 0,25. ( ,4 = 4 974, [J] 2 Techická práce Velikost techické práce je možé také odvodit a vypočítat klasickým způsobem (viz úpravy rovice (9 Pozámky ke cvičeí 4. Využitím závislosti (4 (pozámky ke cvičeí 4 se rovou dopracujeme k výsledku: κ. A 2 = A t2,4. ( 4947, = 58725,7 [J] 3 Kocový objem Pro výpočet kocového objemu je utost zát velikost objemu a začátku, ebo zát dostatečé možství parametrů, aby se mohl kocový objem vypočítat v jedom kroku. V tomhle případě je ale zapotřebí ejprve vypočítat velikost objemu a počátku, což je možé za pomoci stavové rovice:. V = m. r. T V = m. r. T 0, , ,5 = 0,. 0 6 = 0,2 [m 3 ] Pak za pomoci rovice adiabaty a jejich úprav (viz pozámky ke cvičeí 4 je pak možé vypočítat kocový objem: V 2 = V. ( κ 0,.0 6,4 = 0,2. ( p 2 0,8.0 6 = 0,048 [m 3 ] Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf - V 2 < V 5

6 4 Kocová teplota Za pomoci rovice adiabaty a jejich úprav (viz pozámky ke cvičeí 4 je možé vypočítat kocovou: T 2 T = ( p 2 κ κ T 2 = T. ( p κ 2 κ 0, = 288,5. ( 0,. 0 6,4,4 = 52,97 [K] Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf - T 2 > T 5 Změa vitří eergie Při výpočtu změy velikosti se myslí číslo, které je dáo rozdílem mezi kocovým a počátečím stavem. V případě adiabatické změy stavu je tady ještě podmíka, které musí býti splěa, aby výsledek korespodoval s prvím zákoem termodyamiky. Prví rovicí pro výpočet velikosti změy vitří eergie, je: m. c v. dt = du Podmíka, která plye z prví věty termodyamické má tvar (viz pozámky ke cvičeí 4 rovice (2: da = du Tedy velikost změy vitří eergie, musí mít opačý zaméko jako velikost změy absolutí práce. Dle předchozího jsme si určili, že velikost dodávaé práce kompresoru začíme záporým zamékem, tedy změa vitří eergie při kompresi bude mít kladé zaméko, tudíž velikost změy vitří eergie závisí pouze a rozdílu teplot: r ΔU = (m. κ (T 2 T = (0, ,04. (52,97 288,5 = [J],4 Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf du = da 6 Změa etalpie Při výpočtu velikosti změy etalpie jsme omezei stejými podmíkami jako v případě výpočtu velikosti změy vitří eergie. Tedy rovice pro výpočet velikosti změy etalpie: m. c p. dt = dh Podmíka, která plye z prví věty termodyamické má tvar (viz pozámky ke cvičeí 4 rovice (3: ΔH = da t Tedy velikost změy etalpie bude dáa rovicí: κ. r ΔH = (m. κ (T,4.287,04 2 T = (0,25. (52,97 288,5 = 58726,2 [J],4 Výsledek korespoduje s očekávaým výsledkem (viz úvahy výše a graf dh = da t V tomhle případě je tu opět možost využít vlastostí, které plyou z Mayerovy rovice (viz pozámky ke cvičeí 2 rovice (7, (8 ale i ze zavilostí absolutí a techické práce, pro adiabatické děje (popsaé výše, ebo viz pozámky ke cvičeí 4 rovice (3: ΔU. κ = ΔH = 58726,2 7 Změa etropie V případě změy velikosti etropie je odpověď jasá. U vraté adiabatické komprese, která probíhá s ideálím plyem, edochází k výměě tepla s okolím a ai se eprodukuje žádé teplo uvitř systému, tedy velikost změy etropie je rova ule. ds = dq T [J. K ] dq = 0 ds = 0 6

7 Příklad 3 Dvoustupňový kompresor asává vzduch o teplotě 20 [ C] a tlaku 98 [kpa] stlačuje ho a 6 [MPa]. Vypočítejte výko motoru, je-li mechaická účiost 85%, možství chladící vody pro chlazeí válců kompresoru a pro mezichladič. Teplota chladící vody se zvýší o 5 [K]. Komprese je v obou stupích polytropická s expoetem,3. Sací výko kompresoru je 0,4 [m 3.s - ]. Dáo: t = 20[ C]; = 98 [kpa]; p 2 = 6 [MPa]; η M = 85 [%]; ΔT = 5 [K]; =,3; V = 0,4 [m 3. s ]; c vody = 487 [kj. kg. K ] Na začátku příkladu je uté jsi uvědomit pár skutečostí, které plyou z úlohy: Při klasické polytropické kompresi jedostupňovým kompresorem je uto vyaložit veliké možství techické práce pro zvýšeí tlaku z tlaku a p 2 (viz polytropa -4. Při použití dvou stupňů a mezichladiče (děj je vidět, že se sižuje velikost dodávaé techické práce kompresoru. Ušetřeá techická práce je zobrazea modrou plochou. Chlazeí mezi body 2-3 je izobarické. Jelikož se bavíme o ideálím ději a chceme získat maximálí možství ušetřeé eergie, tak k odvodu tepla musí docházet izobaricky. Dělící tlak ( rozděluje celý děj komprese tak, aby velikost techické práce prvího stupě odpovídala velikosti techické práce druhého stupě. Výpočet techické práce pro polytropický děj vychází z rozdílů tlaků (viz pozámky ke cvičeí 4 rovice (4. Porováím dvou rovic dostáváme tvar rovice korespodující s obrázkem výše: = p 2 K tomu, aby byla zachováa rovost dodávaé techické práce v každém stupi, musí být i poměr teplot stejý jako v případě tlaků. To zameá, že musí býti zachováy stejé teploty v bodech T = T 3 a T 2 = T 4 K tomu aby byla zachováa rovost dodávaé techické práce v každém stupi, musí být i poměr 7

8 objemů stejý jako v případě tlaků. Tedy: v 2 v = v 4 v 3 (z hlediska výpočtu je teto fakt teď irelevatí, ale je dobré si ho pro úplost připomeout. Výpočet dle výše uvedeého musíme začít výpočtem dělícího tlaku: = p 2 =. p 2 = 0,767 [MPa] Jak je vidět, tak dělící tlak eí přesě ve středu mezi 98 [kpa] a 6 [MPa] tomu by odpovídala hodota 3,49 [MPa]. Dělící tlak slouží k zachováí rovosti velikosti dodávaé techické práce. Zároveň platí, že tlakový poměr v obou stupích kompresoru bude stejý (zvýšeí tlaku v prvím stupi se bude rovat zvýšeí tlaku v druhém stupi: = p 2 = 7,82 V zadáí se uvádí, že se má vypočítat výko motoru. Za pomoci zadaých parametrů se k tomuto výsledku dá jedoduše dopracovat. V prví řadě je uto si uvědomit, že výko se počítá dle rovice P = m. a t. Druhý čle rovice vyjadřuje velikost měré techické práce. Jelikož v zadáí eí uvedeo, že je uté vypočítat velikost techické práce, stačí ám tedy jeom jeho vyjádřeí. Celková techická práce kompresoru je součtem techické práce prvího stupě a techické práce druhého stupě. Jelikož velikosti prací v prvím i druhém stupi se rovají, tak ám stačí zámí vztah (4 (viz pozámky ke cvičeí 4 vyásobit dvěma. Velikost měré techické práce kompresoru můžeme vyjádřit tedy ásledujícím způsobem: a t = a t + a t2 =. r. T [ ( p x ] +. r. T [ ( p 2 ] a t = 2.. r. T. [ ( Práci systému dodáváme, tedy předpokládáme, že výsledek bude záporý. Násobeí rovice pro techickou práci hmotostím tokem m dostáváme rovici, která ám určuje velikost výkou, který je během komprese ] kompresoru dodává (jde o polytropický, vratý děj s ideálím plyem!!!. P k = P k = m. a t = m. 2. P k = m.. r. T. [ (. ρ. 2 [ ( ] ].. V. 2 [ ( p x ] = 72,22 [kw] Kompresoru se však musí teto výko dodávat. Dodává se z motoru. Samozřejmě motor pracuje s určitými mechaickými ztrátami a velikost těchto ztrát je reprezetováa účiostí. V tomto případě se jedá o mechaickou účiost η M = 85 [%]. Toto číslo ám říká, že z celkového výkou, který motor vyprodukuje, se 8

9 využije 85%, ebo že z celkového výkou, který motor vyprodukuje, se 5% ztratí. Z toho logicky plye, že motor, který má poháět teto kompresor, musí být schope produkovat a dodávat o 5% vyšší výko. Z toho je patré, že velikost potřebého dodávaého výkou bude: P M = P k η M = 85 [kw] Pozor, v tomto případě, jsme vypočetli možství potřebého dodávaého výkou od motoru a poho kompresoru. Z toho tedy plye, že výko motoru s 85% účiostí, který bude poháět teto kompresor, bude: P = P M = 85 [kw] Při polytropickém ději dochází k výměě tepla s okolím a zároveň se teplo odvádí pomocí chladiče, ve kterém cirkuluje voda, do které je odváděé teplo. Možství odvedeého tepla bude určea rovicí: Q = Q v + Q ch Tepelé toky, je možo vypočítat i z kalorimetrické rovice, ale je uto brát v úvahu charakter děje. Možství tepla odváděého stěami válců je dáa rovicí polytropy a komprese probíhá polytropicky (proto c. Je uto vzít v úvahu i to, že kompresor je dvoustupňový, takže máme dva válce (proto je tam ásobeí číslem 2. Možství odvedeého tepla stěami válců je dáo rovicí: Q v κ = 2. c. m. (T 2 T = 2. c v... V. (T r. T 2 T = 2. r κ. κ.. V r. T. (T 2 T Možství tepla odváděého stěami chladiče je dáo rovicí izobary (proto c p, tedy kalorimetrická rovice abyde tvaru: Q ch = m. c p (T 3 T 2 =. V κ. r. r. T κ. (T 3 T 2 V obou případech vidíme, že ám do rovic chybí čle T 2. Te si můžeme jedoduše vyjádřit z rovice polytropy (viz pozámky ke cvičeí 4 rovice ( a (2: Možství tepla odváděého stěami válců: T 2 = T. ( p x = 47,2 [K] Q v = ,04,3,4.,4,3. 0, ,4. (47,2 293,5 = 3889 [W] 287, ,5 Možství tepla odváděého stěami mezichladiče: Q Celkové odvedeé teplo: ch = 0, ,4,4. 287, ,04.293,5,4. (293,5 47,2 = 29,7.03 [W] Q = Q v + Q ch = 43, [W] 9

10 Možství chladící vody vypočteme také z kalorimetrické rovice. Voda musí absorbovat stejé možství tepla, které je z válců a výměíků předáváo a zároveň se její teplota zvýší je o 5 [K]. Bude tedy platit: Q = m. c vody. ΔT Z toho pak lze vypočítat průtočí možství vody potřebé ke chlazeí: m = Q c vody. Δt = 0,686 [kg. s ] 0