, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv

Transkript

1 ..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno v úvahu a naopak. Jestliže něčemu nerozumíte, zeptejte se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv postup či výpočtu není akceptován. bste uspěli v testu, potřebujete získat alespoň bodů. () (0 bodů) Spojovacím kanálem je přenášen signál (resp. B) s pravděpodobností 0.4(resp. 0.6). Vzhledem k poruchám se /6 signálu detekuje jako B a obdobně se / signálu B detekuje jako. Určete pravděpodobnost, že na výstupu bude detekován signál B. Určete také, jaká je pravděpodobnost, že signál, který bl detekován jako, bl také skutečně vslán jako. Označme si jev (pro zjednodušení stejnými znak jako vsílané signál) = je přenášen signál, B = je přenášen signál B, = bl detekován signál, B = bl detekován signál B. Jev a B jsou doplňkové, stejně tak jev a B. Podle zadání máme pravděpodobnosti P() = 0.4 P(B) = 0.6 P(B ) = 6 P( B) =. a můžeme si je znázornit i grafick: Vstup B B Výstup Chceme nní zjistit P(B ). Z vět o úplné pravděpodobnosti máme P(B ) = P(B ) P()+P(B B) P(B) = = 0.. Dále chceme určit hodnotu P( ). Z Baesov vět máme P( ) = P( ) P() P( ) P()+P( B) P(B) = = = () (0 bodů) Náhodný vektor (X,Y) má spojité rovnoměrné rozdělení v množině Určete: = (,) +, 0}.

2 (a) sdruženou hustotu f X,Y (,) a marginální hustot f X (), f Y (), (b) rozhodněte, zda jsou náhodné veličin X a Y závislé či nezávislé. Množina je půlkruh (a) Sdružená hustota je ted dána jako f X,Y (,) = c, (,) kde c je konstanta taková, ab integrál z hustot bl roven, ted = f X,Y (,) d d = c d d = c d d = c π R neboli c = π. Integrál d d jsme mohli bud skutečně spočítat (např. pomocí polárních souřadnic) nebo prostě vužít jeho geometrickou interpretaci, tj. že je to obsah půlkruhu o poloměru. Marginální hustota je nní jen příslušně parciálně zintegrovaná sdružená hustota. Funkci f X,Y ted vžd integrujeme podél vhodného řezu množin : (, ) (,) (,) (,0) Pro, tak máme a pro 0, máme f X () = f X,Y (,) d = 0 π d = π f Y () = f X,Y (,) d = π d = 4. π

3 Celkově ted s grafem f X () = π,, f X () a podobně s grafem 4 f Y () = π, 0, f Y () (b) Veličin X a Y jsou nezávislé právě kdž F X,Y (,) = F X () F Y () pro všechna (,) R. V případě eistence sdružené hustot je to ekvivalentní tomu, že f X,Y (,) = f X () f Y () pro SKORO všechna (,) R. Ted množina, kde to neplatí, má nulový obsah. Speciálně, pro nezávislé veličin musí platit následující (pouze nutná podmínka!): Necht S = (,) R f X,Y (,) 0} a π,π : R R jsou projekce na jednotlivé souřadné os, tj. π (,) = a π (,) =. Pokud jsou veličin X a Y nezávislé, má množina ( ) π (S) π (S) \S nulový obsah.

4 V našem konkretním případě S = a π () =, a π () = 0,. Ovšem množina ( ) π () π () \ = obdélník \ půlkruh tj. zřejmě nulový obsah NEMÁ. Veličin X a Y tudíž NEJSOU nezávislé. (3) (0 bodů) Házíme 00-krát pravidelnou mincí. Pro náhodnou veličinu X představující počet rubů, určete pravděpodobnost P(4 < X < ) (a) výpočtem pomocí centrální limitní vět, (b) odhadem pomocí Čebševov nerovnosti. Pro i =,...,n (kde n = 00) si zavedeme veličin, při i-tém hodu padl rub, X i = 0, při i-tém hodu padl líc. Veličin X i považujeme za nezávislé, s alternativním rozdělením s parametrem p = 0., střední hodnotou E(X i ) = p = 0. a rozptlem Počet rubů pak je se střední hodnotou a rozptlem D(X) = D(X i ) = p( p) = = 0.. E(X) = 00 X = i= X i n E(X i ) = n p = = 0 i= n D(X i ) = n p( p) = =. i=

5 (a) Odhad pomocí centrální limitní vět: Použijeme normovanou veličinu norm(x) = X E(X) = X 0, D(X) která má podle CLV přibližně rozdělení N(0, ). Pomocí úprav nerovností můžeme psát: ( 4 0 P(4 < X < ) = P < X 0 < 0 ) (.= = P < norm(x) < ). = Φ() Φ( ) = Φ(). = 0.43 = (b) Odhad pomocí Čebševov nerovnosti: Použijeme vztah, který už máme, a Čebševova nerovnost nám pak dá ( norm(x) ) P(4 < X < ) = P < = 0, což je prostě maimum toho, co nám může Čebševovanerovnost v tomto případěposktnout.