F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

Transkript

1 Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý, pak je skalární součin kladný. Pokud je úhel dvou vektorů tupý, pak je skalární součin záporný. Známe-li souřadnice vektorů F F, F, F a n n, n, n, pak F n F n + F n + F n. V našich úvahách budeme vžd předpokládat, že plocha je grafem funkce z f, na uzavřené oblasti. Připomeňme, že tečná rovina k ploše v bodě, ] má rovnici z f, + f, + f,. Protože víme, že rovina : a + b + cz + d má normálový vektor n a, b, c, vidíme, že tečná rovina má normálový vektor n f, f, nebo n f, f,. Pro velikost tohoto vektoru platí n f + f +. V případě plošných integrálů. druhu budeme hovořit o orientaci ploch. Ta je určena volbou směru vektoru normál n. Jesliže vektor n svírá ostrý úhel s kladným směrem os z ted s vektorem,,, říkáme míří vzhůru, pak n f, f,. vírá-li n tupý úhel s kladným směrem os z, ted míří dolů, pak n f, f,. Konečně pokud vektor n je kolmý na osu z, pak n f, f,. Velikost obsahu ploch budeme značit m a vpočteme ji ze vztahu m f + f + dd. Příklad : Vpočtěte obsah ploch, která je grafem funkce z, pro : + r část hperbolického paraboloidu ležícího uvnitř válcové ploch. Platí Po zavedení polárních souřadnic dostáváme m π Plošný integrál. druhu f, f, pro + r. π + + dd dϕ +r dϕ t dt π t Jedná se o integrál ze skalární funkce přes plochu. r + + t ] +r π + r. Výpočet plošného integrálu. druhu převádíme na výpočet dvojného integrálu. Je-li plocha grafem funkce z f, na uzavřené oblasti, platí F,, z d F,, f, + f + f dd.

2 Příkladem aplikace je určení hmotnosti M ploch, jestliže známe hustotu,, z v libovolném bodě,, z ploch. Protože platí dostáváme M m m,, z d ted m m,,, f, + f + f dd. Příklad : Vpočtěte hmotnost kuželové ploch : z +, z, je-li hustota ploch konstantní. Platí ted M,, z d f +, f +, dd dd π. Při výpočtu jsme užili skutečnosti, že poslední integrál vjadřuje obsah oblasti, ted kruhu o poloměru. Plošný integrál. druhu řešené příklad na procvičení. Vpočtěte integrál z d, kde je část rovin + + z v. oktantu ted pro, a z. Plochu vjádříme takto:,, z f,. Platí f,, f,, d + + dd dd. ostáváme z d. Vpočtěte integrál dd ] d d d 6 d.... d, kde je část ploch z vt até válcem +. + Plochu vjádříme takto: z f, pro bod oblasti, kterou je kruh +. Platí f,, f,, d + + dd. Plošný integrál převedeme na dvojný integrál d dd. + vojný integrál transformujeme do polárních souřadnic. Oblast je popsána nerovnicemi, ϕ ϕ dd π + dϕ π + + ln + ] + dϕ π + ln +. Přitom integrál + řešíme metodou per partes, kde volíme u + a v.

3 . Vpočtěte integrál d, kde je horní polovina kulové ploch z. Plochu vjádříme takto: z f, pro bod oblasti, kterou je kruh +. Platí f,, f,, d + + dd. Plošný integrál převedeme na dvojný integrál a vužijeme polárních souřadnic cos ϕ, sin ϕ, kde a ϕ π. Platí d π dϕ cos ϕ Tento integrál je roven nule, protože π cos ϕ dϕ. π cos ϕ dϕ.. Pomocí plošného integrálu. druhu vpočtěte obsah povrchu parabolické ploch z +, kde z 9. Obsah ploch je dán integrálem d. Máme z f, +, f,, f,, d + + dd. Použijeme polárních souřadnic π d + + dd dϕ + + t π 8 π ] 7 t π 6 7 t dt 7. Plošný integrál. druhu další příklad k procvičení. Vpočtěte integrál + + z d, kde je část rovin z v. oktantu. Výsledek 6.. Vpočtěte integrál d, kde je část rovin + + z v. oktantu. Výsledek.. Vpočtěte obsah části ploch z + ležící uvnitř válcové ploch + Výsledek π.

4 Plošný integrál. druhu Protože nejdůležitější aplikací plošného integrálu. druhu je výpočet toku vektorového pole orientovanou plochou, provedeme výklad tohoto integrálu na výpočtu této veličin. Přitom si představíme, že část prostoru je vplněna nestlačitelnou proudící kapalinou, přičemž rchlost každé částice je určena jen její polohou a nezávisí na čase. Pole rchlosti tohoto proudění je popsáno vektorovou funkcí F,, z P,, z, Q,, z, R,, z. Ve zkoumané části prostoru se nachází orientovaná plocha. Chceme zjistit, jaké množství tekutin proteče plochou za jednotku času ve směru její orientace, tj. na tu stranu ploch, kam směřují její normálové vektor určující orientaci. I v tomto případě budeme uvažovat plochu, která je grafem funkce z f, na nějaké oblasti. Je-li plocha orientovaná tak, že normálové vektor směřují nahoru, tj. svírají s kladným směrem os z ostrý úhel, pak F,, d F,, z n,, z d, kde n je jednotkový normálový vektor ploch n f f,, + f + f + f + f + f + f Máme ted F,, z d P,, z, Q,, z, R,, z f f,, d + f + f + f + f + f + f P,, f,, Q,, f,, R,, f, f, f, + f + f + f + f dd P,, f,, Q,, f,, R,, f, f, f, dd. Ted F,, z d P,, f, f, Q,, f, f, + R,, f, ] dd. V případě, že je plocha orientovaná tak, že normálové vektor směřují dolů, tj. svírají s kladným směrem os z tupý úhel, pak normálový vektor ploch vezmeme n f, f, + f + f + f + f + f + f Ve výsledném vzorci ted dostaneme opačné znaménko, ale tvar zůstává nezměněn. peciální případ plošného integrálu. druhu jsou: a Vektorové pole F,, R, a : z f,, pro,. Pro tok T platí T Ted F,, z d ±,, R,, f, f,, f,, dd. T R,, f, dd, jestliže normála ploch míří nahoru svírá ostrý úhel s kladným směrem os z, nebo T R,, f, dd, jestliže normála ploch míří dolů svírá tupý úhel s kladným směrem os z.

5 b Vektorové pole F P,, z, Q,, z, a z konst. V tomto případě n,, ± a F,, z d P,, z, Q,, z,,, ± dd. Poznámka: Ve většině tetů se pro plošný integrál. druhu používá následující smbolika F,, z d P,, z dd + Q,, z dzd + R,, z dd. Příklad : Vpočtěte tok vektorového pole F,, z,, plochou, která je orientovaná tak, že normálové vektor svírají s kladným směrem os z ostrý úhel nebo pravý úhel. a : z, kde, a z. Platí n f, f,,,. ostáváme T F d,,,, dd dd 6. Výsledek dvojného integrálu jsme získali úvahou, protože se jedná o obsah ploch, kterou je obdélník o stranách a délkové jednotk. Tok plochou je ted 6 jednotek toku. b : z,,, z. I zde svírají normálové vektor ploch ostrý úhel s kladným směrem os z a platí n f, f,,,. ostáváme T F d,,,, dd dd 6. Také tad je oblast stejný obdélník jako v části a. Tok plochou je ted opět 6 jednotek toku. c je válcová plocha +,, z. V tomto případě jsou normálové vektor kolmé na kladný směr os z, a ted také na vektor F,, V každém bodě válcové ploch platí F n. Tok vektorového pole plochou je ted v tomto případě roven nule. Příklad : Vpočtěte tok vektorového pole F,, kuželovou plochou z +, z, která je orientovaná tak, že její normálové vektor svírají s kladným směrem os z tupý úhel. Platí f +, +, ted n +, +,. Pro tok T pak dostáváme T F d,, + + dd +, +, dd + dd dd. 5

6 Získaný dvojný integrál jsme rozdělili na dva integrál pouze z důvodu výpočtu. První integrál vpočteme transformací do polárních souřadnic, ve kterých je oblast určena nerovnicemi a ϕ π. ostáváme + dd π cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ dϕ π ] cos ϕ sin ϕ dϕ sin ϕ + cos ϕ] π. ruhý integrál, pokud neuvažujeme znaménko, vjadřuje obsah kruhu, jehož poloměr je. Máme ted dd π. Celkový tok T přes plochu je roven π jednotek toku. Integrální věta Gaussova-Ostrogradského Necht F P, Q, R je vektorová funkce definovaná na oblasti Ω R a G Ω je uzavřená ohraničená oblast, jejíž hranicí je uzavřená plocha orientovaná podle vnějších normál. Necht P, Q, R, P, Q a R z jsou na Ω spojité. Pak platí F d div F dddz P + Q + R z dddz. G Výpočet toku vektoru přes uzavřenou plochu ted převádíme na trojný integrál přes vnitřek této ploch. Interpretujeme-li plošný integrál jako tok T vektorového pole uzavřenou plochou, pak T T T, kde T je množství tekutin, které z G vteče za jednotku času, a T je množství tekutin, které do G za stejný čas přiteče. Je-li T, pak z oblasti vtéká právě tolik tekutin, kolik do ní vtéká. Je-li T >, pak z oblasti vtéká za jednotku času více tekutin, než kolik do ní vtéká. á se to vsvětlit tak, že uvnitř oblasti G se nacházejí tzv. zřídla, tj. bod, ve kterých nějakým způsobem přibývá tekutin. Kdž T <, pak z oblasti vtéká méně tekutin, než kolik do ní vtéká. To se dá vsvětlit tím, že v oblasti se nachází tzv. nor, ve kterých se tekutina ztrácí. Příklad 5: Vpočtete tok T F d, kde F P, Q, R, z,, přes povrch krchle, a z orientovaný tak, že normála míří zvnitřku ven. Jsou splněn předpoklad Gaussov-Ostrogradského vět. Přitom G div F P + Q + R z. Platí ted T F d div F dddz. G 6

7 Plošný integrál. druhu příklad do cvičení. Vpočtěte tok vektorového pole F,, z plochou, kterou je horní polovina kulové ploch + + z, která je orientovaná tak, že normálové vektor svírají s kladným směrem os z ostrý úhel. Platí z f,, pro,, kde je kruh +. Máme f,, f,. Vzhledem k orientaci ploch dostáváme T F d,,,, dd + dd. Transformujeme do polárních souřadnic a rozdělíme na dva integrál T π První integrál je roven nule, platí totiž Pro druhý integrál dostáváme cos ϕ sin ϕ dϕ + π π π cos ϕ sin ϕ dϕ. dϕ t π Celkový tok T přes plochu je roven 6π jednotek toku. dϕ. ] 6π.. Vpočtěte tok vektorového pole F,, orientovanou plochou, kterou je kuželová plocha z +, z, jejíž normálové vektor svírají s osou z ostrý úhel. Pro z f, + platí f +, f +. Funkce z f, je definována na oblasti, kterou je kruh + 6. ostáváme T F d,, +, +, dd dd. Výpočet tohoto integrálu rozdělíme na dvě části a použijeme polární souřadnice + + dd + π π vužitím faktu, že R π sin k ϕ dϕ R π cos k ϕ dϕ, je-li k liché přirozené číslo. 7 cos ϕ + sin ϕ dϕ cos ϕ + sin ϕ dϕ.

8 dd π dϕ Celkový tok T přes plochu je roven 8π jednotek toku. π dϕ 6π ] 8π.. Vpočtěte tok vektorového pole F z, z, orientovanou plochou, kterou je parabolická plocha z +, z 9, jejíž normálové vektor svírají s osou z tupý úhel. Pro z f, + platí f, f. Funkce z f, je definována na oblasti, kterou je kruh +. Použijeme ted polární souřadnice. ostáváme T F d +, +,,, dd + dd π Výpočet tohoto integrálu rozdělíme na tři části π 5 cos ϕ sin ϕ dϕ 5 π cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ. sin ϕ cos ϕ dϕ cos ϕ t 6 6 ] ] π cos ϕ. π 5 cos ϕ sin ϕ dϕ 5 π cos ϕ sin ϕ dϕ sin ϕ t 6 6 ] sin ϕ ] π. π sin ϕ cos ϕ dϕ π Celkový tok T přes plochu je roven nule. sin ϕ cos ϕ dϕ sin ϕ t ] sin ϕ. Vpočtěte tok vektorového pole F,, z orientovanou plochou, kterou je část rovin + v. oktantu, jejíž normálové vektor svírají s osou z ostrý úhel. + z Pro z f, platí f, f. ] π. Funkce z f, je definována na oblasti, kterou je trojúhelník popsaný nerovnicemi,. ostáváme T F d,,,, dd + + dd dd d Celkový tok T přes plochu je roven jednotek toku. d d ]. 5. Vpočtěte tok vektorového pole F,, z orientovanou plochou, kterou je válcová plocha + z, z,, jejíž normálové vektor svírají s osou z ostrý úhel. Pro z f, platí f, f. 8

9 Funkce z f, je definována na oblasti, kterou je obdélník popsaný nerovnicemi,. ostáváme T,,, F d d + d d Celkový tok T přes plochu je roven π jednotek toku., dd + dd d ] arcsin ] π + π π. 6. Vpočtěte tok vektorového pole F,, z orientovanou plochou, kterou je kulová plocha + + z 9, z, jejíž normálové vektor svírají s osou z ostrý úhel. Pro z f, 9 platí f 9, f 9. Funkce z f, je definována na oblasti, kterou je kruh + 9. Použijeme proto polární souřadnice a dostáváme T F d,, 9 9, 9, 9 dd 9 dd π 9 dϕ 8π 9 Celkový tok T přes plochu je roven 5π jednotek toku. 9 9 t 8π 9 dt t 9π t ] 9 5π. 9