PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

2 Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr ϑ. Provedeme n pokusů (n měření). Výsledky těchto pokusů jsou popsány náhodným vektorem X X,, X ) ( 1 n Předpokládáme, že složky náhodného vektoru jsou nezávislé a mají stejné rozdělení jako náhodná proměnná X. Takto definovaný náhodný vektor se nazývá náhodný výběr. Náhodný výběr F X ( X1,, X n ) x, ) F( x1,, xn, ) F( x, ) F( xn, ) ( 1 má sdruženou distribuční funkci: podobně pro sdruženou pravděpodobnostní funkci a sdruženou hustotu pravděpodobnosti.

3 Náhodný výběr Nechť x i je výsledek i-tého pokusu popsaného náhodnou proměnnou X i (výsledek i-tého měření). x i se nazývá realizací náhodné proměnné X i. x ( x 1,, x n ) se nazývá realizací náhodného výběru X ( X1,, X n ) x ( x 1,, x n ) je statistický soubor rozsahu n.. Množina všech hodnot náhodného výběru, tj. množina všech statistických souboru, tvoří výběrový prostor. S pomocí realizace náhodného výběru chceme odhadnou parametr ε. K tomu potřebujeme najít vhodnou funkci náhodného výběru. Funkce náhodného výběru T( X1,, X n ) se nazývá výběrová charakteristika nebo statistika. Její hodnota na statistickém souboru t T( x 1,, x n ) je empirická charakteristika nebo pozorovaná hodnota statistiky T.

4 Náhodný výběr

5 Náhodný výběr

6 Náhodný výběr

7 Náhodný výběr Tedy

8 Náhodný výběr Pro výběrový rozptyl se také používá vzorec: Sˆ n S n 1 Sˆ 1 n 1 n X i X i 1 Pro takto definovaný výběrový rozptyl platí: E Sˆ D X

9 Náhodný výběr z normálního rozdělení Dále budeme předpokládat, že pozorovaná náhodná veličina X má normální rozdělení X~N(μ, σ ). Parametry μ, σ, μ, σ R, σ >0, jsou neznámé parametry. Tyto parametry bychom chtěli zjistit pomocí vhodných statistik. Nechť X, S je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Pak platí: X je nejlepší nestranný konzistentní odhad parametru E(X) = μ n n 1 S je nejlepší nestranný konzistentní odhad parametru D(X) = σ

10 Náhodný výběr z normálního rozdělení Nechť X má normální rozdělení X~N(μ, σ ). Pak platí pro výběrový průměr a výběrový rozptyl platí:

11 Náhodný výběr z normálního rozdělení Nechť náhodná proměnná X má normální rozdělení X~N(μ(X), σ (X)) a náhodná proměnná Y má normální rozdělení Y ~N(μ(Y), σ (Y)). ( X1,, X n1) je náhodný výběr a X, S X příslušné statistiky je náhodný výběr a příslušné statistiky ( Y1,, Yn ) Pak platí: Y, S Y

12 Náhodný výběr z normálního rozdělení Pro výběrový průměr platí:

13 Náhodný výběr - Gama funkce Ve výpočtech se často používá Gama funkce. Tato funkce je zobecněním pojmu faktoriálu pro komplexní čísla z (tím i pro reálná čísla). Platí:

14 Náhodný výběr - Studentovo rozdělení Náhodná proměnná X má Studentovo rozdělení X~S(k), k parametr počet stupňů volnosti. Hustota: Platí:

15 Náhodný výběr - Pearsonovo rozdělení Náhodná proměnná X má Pearsonovo rozdělení X~ k parametr počet stupňů volnosti. Hustota: k Platí:

16 Náhodný výběr - Fisherovo-Snedecorovo rozdělení Náhodná proměnná X má Fisherovo-Snedecorovo rozdělení X~ F( k1, k) k1, k parametry počet stupňů volnosti. Hustota: Platí: