13 Analytická geometrie v prostoru

Transkript

1 Anlytická geometrie v rostoru Nyní se změříme n tříimenzionální rostor využijeme vlstností, které ze ltí ozor v rovině neltí.. Poznámk: Okování u = (u,u,u ), v = (v,v,v ) - vektory sklární součin vektorů u.v uv uv uv velikost vektoru u vektorový součin x u u u,, A = [,, ], B = [,, ] - oy AB = (, -, - ) vzálenost oů AB = AB = (( ) + ( ) + ( ) ) rmetrické rovnice římky = {A, u}, u směrový vektor : x = + tu y = + tu z = + tu rmetrické rovnice roviny t R ρ = {A, u, v}, u, v změření roviny ρ: x = + r u + s v y = + r u + s v z = + r u + s v r,s R. Poznámk: Oecná rovnice římky Protože v rostoru neexistuje jenoznčně kolmý směr ke směrovému vektoru římky, neexistuje v rostoru oecná rovnice římky.. Poznámk: Oecná rovnice roviny V rostoru existuje k rovině jenoznčně kolmý směr ρ = {A,, } = {A, u } - u normálový vektor roviny X AX u AX.u = 0 A = [,, ], B = [x,y,z] u = (,,c)

2 AB = (x, y-, z- ) AX.u = 0 (x ) + (y- ) + (z- ) c = 0 x + y + cz + = 0 - oecná rovnice Oecná rovnice je jenoznčná ž n násoek. Ilustrce A = [, -, ], u = (,, ) x + y + z 4 = 0.4 Poznámk: řevoy Přecho mezi rovnicí oecnou rmetrickými ro rovinu ) : x = + t + m A = [, -, 0] y = - + t - m t = (,, -) z = - t + m m = (, -, ) u = t x m = (5, -, -4) : 5x y 4z 8 = 0 ) : x y + z = 0 rovnice ro neznámé, vě volíme (ooručuji 0 neo ) třetí vyočteme => B = [,0,0] vektory změření roviny jsou o kolmé n vektor normálový, le nesmějí ýt jeen násokem ruhého nesmějí ýt nulové = (, -, ) hleáme vektor u = (u,u,u ) musí ltit.u=0 tj. u - u + u = 0 jen rovnice ro tře neznámé, vě volím, třetí vyočtu (ooručuji střít 0 ) volím u = (,, 0) vyočtu u = (, -, 0) volím v = (,, 0) vyočtu v = (-,, 0) štně v = -u volím w = (0,, ) vyočtu w = (0,, ) ρ: x = + s y = - s + r z = r.5 Příkl: Určete vzájemnou olohu vojic rovin určete růsečnice. ) : 6x+7y+z-=0 : x+y-z=0 ) : x+y-z-=0 : x=+t+s, y=-+t-s, z=0+t-s c) : x+y-4z+6=0 : x+y-8z+=0 ) : y-z-=0 : x+y+z-=0

3 ) : 6x+7y+z-=0 = (6,7,) : x+y-z=0 = (,,-) u = x = (8,7,-) normálové vektory nejsou evientně jeen násokem ruhého, tey roviny nejsou rovnoěžné růsečnice má směrový vektor u ; ro nsání rovnic růsečnice otřeujeme ještě o = solečný o oou rovin = musí vyhovovt oěm rovnicím rovin = rovnice ro neznámé jenu volím vě vyočtu volím y = 0 6x+7y+ z = 0 x+ y- z = 0 => z = x = /7 : x = /7 8t, y = 7t, z = /7 - t ) : x+y-z-=0 = (,-,) : x=+t+s, y=-+t-s, z=0+t-s = (,,) x (,-,-) = (,,-4) ~ (,,-) = => jsou rovnoěžné neo totožné B ověříme v ruhé rovnici (B) = B => jsou různé c) : x+y-4z+6=0 jen rovnice je násokem ruhé : x+y-8z+=0 => = ) : y-z-=0 = (0,,-) : x+y+z-=0 = (,,) solečný o A = [,0,-] u = x = (4,-,-) ~ (,-,-) : x = t, y = -t, z = - - t.6 Příkl: Je án krychle. Určete ochylku tělesové úhloříčky o ) hrny krychle ) stěny krychle c) o jiné tělesové úhloříčky vezmeme jenotkovou krychli zveeme souřný systém A = [0,0,0] E = [0,0,] B = [,0,0] F = [,0,] C = [,,0] G = [,,] D = [0,,0] H = [0,,]

4 Vezmeme si tělesovou úhloříčku AG = (,,) AG = ) ochylk o hrny AB = (,0,0) AB = α = / => α = 54 o 44 ) ochylk o stěny ABCD, AC = (,,0) AC = = 6 / => = 5 o 6 c) ochylk s úhloříčkou BH = (-,,) BH = = / => = 70 o.7 Příkl: Jk volit výšku kváru čtvercové jenotkové ostvy, y tělesové úhloříčky yly n see kolmé? A = [0,0,0] B = [,0,0] G = [,,z] H = [0,,z] AG = (,,z) BH = (-,,z) AG BH AG.BH = 0 x = 0 x = 0 Žáný kvár se čtvercovou ostvou nemůže mít tělesové úhloříčky n see kolmé..8 Příkl: Boy A=[,-,], B=[4,-,-9], C=[,-,4], D=[4,,-5] jsou vrcholy čtyřstěnu. Určete ochylku hrny AD o stěny ABC. <0 o,90 o > = 90 o - (90 ) sin.

5 AD = (,,-6) ~ (,,-) = = AB = (,-,-0) ~ (,-,-5) AC = (,-, ) ~ (,-, ) AB x AC = (-8,-8,0) ~ (,,0) = = 4 sin 70 '.9 Příkl: ochylk stěn Určete ochylku stěn ABC, ABD ve čtyřstěnu z říklu.8. <0 o,90 o > = 90 o -. = (,,0) normálový vektor stěny ABC AD ~ (,,-) AB ~ (,-,-5) c = AB x AD = (-,9,-4) c = ( ) = ' Poznámk: Vzálenost ou o roviny = = AX = AX = AX.AX : x + y + cz + = 0, A je liovolný o roviny, tře A = [,, ] => + +c = - ný o X = [x o,y o,z o ] => AX = (x 0 -,y 0 -,z 0 - ) osíme urvíme, ostneme

6 . Příkl: Určete vzálenost ou M = [,,-] o roviny : 5x + 4y - 7z - =0 o roviny : x = r + s, y = r + s, z = - + s x 0 y 0 cz 0 c M, ( ) = {[0,,-], (,-,0), (,,)} => x + y z = 0 M,...( ) Poznámk: Vzálenost ou o římky = (90 o - ) = ( -90 o )=sin = AX = AX sin AX sin x AX. Příkl: Určete vzálenost vrcholu A o roviny BDE o úhloříčky v jenotkové krychli ABCDEFGH. BD = (-,,0) BE = (-,0,) BD x BE = (,,) normálový vektor BDE : x + y + z = 0 A,BDE = / = / BH = {B=[,0,0], BH} BH = (-,,) AB = (,0,0) BH x AB = (0,,-) A,BH = / = 6 /

7 .4 Příkl: vzálenost rovnoěžných rovin Ovoďte vzorec ro vzálenost vou rovnoěžných rovin : x + y + cz + = 0 : x + y + cz + = 0 A = [,, ] => + + c + = 0 B = [,, ] => + + c + = 0 u = (,,c) normálový vektor oou rovin, A, u.ab u u AB = (, -, - ) AB.u = ( ) + ( - ) + c( - ) = neo oszením o vzorce ro vzálenost ou A o roviny, A, c c c.5 Příkl: Vyočtěte ojem krychle, jejíž vě stěny leží v rovinách x y + 6z 0 = 0, x y + 6z + 4 = 0 rovnice jsou rovnoěžné => = -0-4 / ( ) = 4/7 = => V = = 8.6 Poznámk: Vzálenost vou mimoěžek = {A, u}, q = {B, v}, = {A, u, v} rovin oshuje římku, roto vzálenost mimoěžek je rovn vzálenosti ou B o roviny normálový vektor roviny je u x v osíme o vzorce., q AB.( u x v) u x v.7 Příkl: Určete vzálenost DF BG v krychli ABCDEFGH DF = = {D = [0,,0], DF = (,-,)}

8 BG = q = {B = [,0,0], BG = (0,,)} DF x BG = (-,-,) DF x BG = 6,q = + 0 / 6 = 6 / 6.8 Příkl: Je án rovin : x 4y + 8z 4 = 0 ) Určete osh trojúhelník, jehož vrcholy jsou A = o x, B = o y, D = o z ) Určete ojem čtyřstěnu ABDE, jehož tři vrcholy jsou A,B,D T = [,,-] je jeho těžiště. o x : y = 0, z = 0 A = [8,0,0] o y : x = 0, z = 0 B = [0,-6,0] o z : x = 0, y = 0 D = [0,0,] AD = (-8, 0, ) AB = (-8, -6, 0) AD x AB = (8,-4,48) S ABD = ½ AD x AB = 89 E = [t,u,v] T = [,,-] = ¼ ([8,0,0] + [0,-6,0] + [0,0,] + [t,u,v]) => E = [4,4,-7] ojem čtyřstěnu ABDE je roven /6 ojemu rovnoěžnostěnu ABCDEFGH V ABDE = /6 (AB x AD).AE = /6 (-8,4,-48),(-4,4,-7) = = ( -,4,-8).(-4,4,-7) = = 4 KONEC