Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Transkript

1 KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor (souřadnicový vektor) o, o nulový vektor E 2, E 3 eukleidovská rovina, eukleidovský rostor, B, C,... body, q,... římky ϱ, σ,... roviny α, β,..., úhel, odchylka, ϱ ϱ P q = ϱ σ q, ϱ q, ϱ XY,,,,,ϱ bod leží na římce, res. v rovině ϱ římka leží v rovině ϱ bod P je růsečík římek a q římka je růsečnice rovin ϱ a σ římka je rovnoběžná s římkou q, res. s rovinou ϱ římka je kolmá na římku q, res. na rovinu ϱ velikost úsečky XY, velikost vektoru, res. vzdálenost bodu od římky, res. od roviny ϱ Vektor Volný vektor rerezentujeme orientovanou úsečkou, jež vychází z očátečního bodu, jde do koncového bodu a může být omocí osunutí řemístěna do libovolné jiné olohy v rostoru (res. v rovině) viz obr. 1. Pokud je očáteční bod evně umístěn do očátku soustavy souřadnic, otom daný vázaný vektor nazýváme olohový vektor, res. rádiusvektor (koncového) bodu. Bod i jeho rádiusvektor mají stejné souřadnice osané (aritmetickým) souřadnicovým vektorem a = (a 1,a 2,a 3 ) (ochoitelně v rovině máme jen dvě souřadnice (a 1,a 2 )), řičemž souřadnice bodu se zravidla zaisují = [a 1,a 2,a 3 ]. Souřadnicemi volného vektoru rozumíme souřadnice říslušného rádiusvektoru, který byl získán osunutím očátečního bodu do očátku soustavy souřadnic. y B u = B br. 1: Volný vektor. br. 2: Polohový vektor bodu.

2 Uvažujme vektor u = B s očátečním bodem, koncovým bodem B a odovídajícími rádiusvektory a. Jelikož latí + B= (viz sčítání vektorů), ro souřadnice vektoru u ihned dostáváme (b 1 a 1,b 2 a 2,b 3 a 3 ). To nás oravňuje cháat vektor jako rozdíl bodů, tj. u = B= B. Nulový vektor Nulový vektor o je vektor, jehož očáteční a koncový bod slývají, tj. jakožto rádiusvektor oisuje očátek soustavy souřadnic. Jeho souřadnice jsou o = (0, 0, 0). Velikost vektoru Velikost vektoru o souřadnicích (a 1,a 2,a 3 ) lze s využitím Pythagorovy věty vyočítat odle vztahu = a a2 2 + a2 3. Vektor mající velikost rovnu jedné se nazývá jednotkový vektor; ouze nulový vektor o má velikost rovnu nule. Vzdálenost bodů,b (tj. délka úsečky B) je rovna velikosti vektoru B, tj. B = B = B = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2. y = a a 2 2 a 2 z a 3 d = a 2 = 1 + a 2 2 a a2 2 + a2 3 a 1 a 1 a 2 d br. 3: Velikost vektoru v E 2. br. 4: Velikost vektoru v E 3. Základní oerace s vektory Součtem dvou vektorů a rozumíme vektor c = +, jež sestrojíme tak, že očáteční bod druhého vektoru umístíme do koncového bodu rvního vektoru (rovnoběžníkové ravidlo) viz obr. 5. Pokud jsou dány souřadnice obou vektorů a = (a 1,a 2,a 3 ) a b = (b 1,b 2,b 3 ), otom latí c = (c 1,c 2,c 3 ) = (a 1 + b 1,a 2 + b 2,a 3 + b 3 ). Násobek vektoru reálným číslem k je vektor k, jež určíme sestrojením obrazu koncového bodu vektoru ve stejnolehlosti se středem v očátečním bodě a koeficientem k viz obr. 6. Násobení záorným číslem obrací orientaci vektoru; seciálně ro k = 1 získáváme tzv. oačný vektor, ro nějž latí + ( ) = o. S využitím souřadnic dostáváme ka = k(a 1,a 2,a 3 ) = (ka 1,ka 2,ka 3 ). Dále zřejmě latí 0 = o a 1 =. Jelikož sčítání vektorů a násobení vektoru číslem odovídá sčítání a násobení v každé souřadnici, otom latí následující vztahy: k( + ) = k + k a (k + l) = k + l. Kolineární, komlanární Dva vektory, nazýváme kolineární, okud je lze umístit na jednu římku neboli rávě když y

3 c c c 2 ( 1) ( 2) 1 2 br. 5: Součet vektorů c = +. br. 6: Násobek vektoru. je jeden z nich násobkem druhého, tj. latí = k. Pro k > 0 hovoříme o souhlasně kolineárních vektorech, ro k < 0 o nesouhlasně kolineárních vektorech. Tři vektory,, c nazýváme komlanární, okud je lze umístit do jedné roviny neboli rávě když lze jeden z nich (nař. c) vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících dvou, tj. c = k+l. Skalární součin vektorů Skalární součin dvou vektorů a se souřadnicemi (a 1,a 2,a 3 ) a (b 1,b 2,b 3 ) je reálné číslo definované vztahem b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. S využitím maticového násobení lze b zasat b 1 b = (a 1,a 2,a 3 ) b 2 = a b, b 3 kde a, b jsou nyní (tj. ro účely maticového násobení) brány jako sloucové vektory. Pokud vektory a mají velikosti a a svírají úhel ϕ 0,180, otom ro výočet skalárního součinu dostáváme vztah b = cos ϕ. Výše uvedený vzorec se dá snadno oužít ro výočet velikosti úhlu dvou nenulových vektorů. rtogonální (kolmé) vektory, ( ) svírají úhel ϕ = 90, tj. cos ϕ = 0, a roto jejich skalární součin je roven nule. Vektorový součin vektorů Ve trojrozměrném rostoru je definován vektorový součin vektorů a se souřadnicemi (a 1,a 2,a 3 ) a (b 1,b 2,b 3 ) vztahem c = = i j k a 1 a 2 a 3 = a 2 a 3 i a 1 a 3 j + a 1 a 2 b 2 b 3 b 1 b 3 b 1 b k, neboli 2 b 1 b 2 b 3 c = (a 2 b 3 a 3 b 2,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b 2 a 2 b 1 ), kde i, j, k jsou jednotkové vektory ležící na osách,y,z, tj. vektory se souřadnicemi (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Vektor c = je kolmý na oba vektory,. Pokud jsou, kolineární, otom = o. Pro velikost vektorového součinu latí = sin ϕ.

4 ϕ < 90 ϕ = 90 c = 90 < ϕ < 180 ϕ = 180 ϕ c = br. 7: dchylka vektorů. br. 8: Vektorový součin. Přímka Přímka je jednoznačně určena dvěma různými body a B. Vektor u = B (a každý jeho nenulový násobek) nazýváme směrový vektor římky. Pokud k bodu řičteme libovolný t-násobek vektoru u = B, dostaneme koncový bod X = + t u = + t(b ), který rovněž leží na římce. Výše uvedené vyjádření se nazývá arametrická rovnice římky, kde t R je tzv. arametr. Různé hodnoty arametru dávají různé body římky; nař. ro t = 0, res. t = 1/2, res. t = 1 dostáváme bod, střed S úsečky B, bod B. Výše uvedenou rerezentaci je možné oužít jak v rovině, tak v rostoru = a 1 + tu 1, y = a 2 + tu 2, res. = a 1 + tu 1, y = a 2 + tu 2, z = a 3 + tu 3. Seciálně ro t 0, res. t 0, res. 0 t 1 oisují výše uvedené rovnice olořímku B, res. oačnou olořímku k olořímce B, res. úsečku B. V rovině(!) lze římku osat i nearametricky. Necht vektor n o souřadnicích (a, b) je vektor kolmý ke směrovému vektoru u o souřadnicích (u 1,u 2 ); takovýto vektor se nazývá normálový vektor římky nař. můžeme volit (a,b) = ( u 2,u 1 )). Je-li X libovolný a evně zvolený bod římky, otom latí n (X ) = (a,b) ( a 1,y a 2 ) = 0. Po roznásobení a řeznačení c = (aa 1 + ba 2 ) dostáváme obecnou rovnici římky v rovině ve tvaru a + by + c = 0, (a,b) (0,0). Rovina Rovina ϱ je jednoznačně určena třemi nekolineárními body, B a C, které určují dva nekolineární vektory u = B a v = C. Pokud k bodu řičteme libovolnou lineární kombinaci vektorů u, v, dostaneme koncový bod X = + t u + r v = + t(b ) + r(c ),

5 y t 0 u 0 t 1 B t 1 X br. 9: Směrový vektor římky. n = u v X u v C ϱ B br. 10: Normálový vektor roviny. který rovněž leží v rovině ϱ. Výše uvedené vyjádření se nazývá arametrická rovnice roviny ϱ s arametry t,r R. Různé dvojice hodnot arametrů (t,r) dávají různé body roviny; nař. ro (0,0), res. (1,0, res. (0,1) dostáváme bod, res. bod B, res. bod C. Rozesáním do souřadnic dostáváme = a 1 + tu 1 + rv 1, y = a 2 + tu 2 + rv 2, z = a 3 + tu 3 + rv 3. Normálový vektor roviny, tj. vektor kolmý ke všem vektorům roviny ϱ, sočítáme jakožto vektorový součin n = u v. Každá římka se směrovým vektorem k n, k 0 (tj. kolmá na rovinu) se nazývá normála roviny ϱ. Je-li X libovolný a evně zvolený bod roviny ϱ, otom latí n (X ) = (a,b,c) ( a 1,y a 2,z a 3 ) = 0. Po roznásobení a řeznačení d = (aa 1 +ba 2 +ca 3 ) dostáváme obecnou rovnici roviny v rostoru ve tvaru a + by + cz + d = 0, (a,b,c) (0,0,0). Vzájemná oloha římek a rovin V rovině mohou být římky bud to rovnoběžné (různé, oř. slývající), anebo různoběžné (rotínající se ve solečném bodě, tzv. růsečíku). V trojrozměrném rostoru navíc řibývá situace, kdy jsou římky mimoběžné nemají žádný solečný bod a neleží v jedné rovině. Přímka a rovina v rostoru mohou být incidentní (římka leží v rovině), rovnoběžné, oř. různoběžné (rotínající se ve solečném bodě, tzv. růsečíku). Dvě roviny v rostoru jsou bud to rovnoběžné (různé, oř. slývající), anebo různoběžné (rotínající se ve solečné římce, tzv. růsečnici). Vzájemnou olohu dvou (nebo více) geometrických útvarů určujeme řešením soustavy jejich rovnic ro římky a roviny jde o rovnice lineární. Kolmost římek a rovin Dvě římky, q jsou kolmé (ortogonální), okud jsou jejich směrové vektory (v rovině i normálové vektory) ortogonální. V trojrozměrném rostoru je tedy definována i kolmost dvou mimoběžek! Přímka a rovina ϱ jsou kolmé, jsou-li směrový vektor římky a normálový vektor roviny kolineární. Přímka se otom nazývá normála roviny a rovina se nazývá normálová rovina římky. Dvě roviny ϱ,σ jsou kolmé (ortogonální), okud jsou jejich normálové vektory ortogonální.

6 q k P br. 11: Vzdálenost dvou mimoběžek. ϱ br. 12: Vzdálenost bodu od roviny. Vzdálenosti Vzdálenost dvou libovolných geometrických útvarů U, V definujeme U, V = min { XY : X U,Y V }. Pokud mají geometrické útvary nerázdný růnik, je tedy jejich vzdálenost 0. Je-li jedním z útvarů bod a druhým římka, res. rovina ϱ, otom se úloha řevádí na vzdálenost daného bodu a jeho ortogonálního růmětu do římky, oř. do roviny ϱ, jenž se určí omocí normálové roviny σ římky ( σ, σ ), res. omocí normály k roviny ϱ ( k, k ϱ). dchylky Narozdíl od odchylky dvou vektorů ϕ 0,180, je odchylka dvou geometrických útvarů definovaná α 0,90. Při využití odchylky vektorů tedy musíme vždy uvažovat α = min { ϕ,180 ϕ }. Počítáme-li odchylku římek, q, určíme ϕ jakožto odchylku jejich směrových vektorů. V trojrozměrném rostoru je tedy definována odchylka i ro dvě mimoběžky! dchylka dvou rovin ϱ,σ je rovna odchylce jejich normál. dchylku římky od roviny ϱ určíme jakožto dolněk (do ravého úhlu) odchylky dané římky a normály dané roviny. v q n 90 α u α = ϕ v ϕ α u q ϱ α br. 13: dchylka dvou římek. br. 14: dchylka římky a roviny.