9.5. Kolmost přímek a rovin

Transkript

1 9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této roviny. Pro zjištění, zda je přímka kolmá k rovině, používáme tzv.kritérium kolmosti přímky k rovině: přímka je k rovině kolmá, je-li kolmá ke dvěma různoběžkám této roviny. V dané krychli je přímka kolmá k přímkám AB, BC, je tedy kolmá k rovině ABCD. Daným bodem lze sestrojit jedinou rovinu kolmou k dané přímce. Rovina, vedená bodem Q kolmo k přímce BF v dané krychli, je rovina EFGH. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Kolmice k rovině ABCD jdoucí bodem Q je přímka QS. Všechny přímky kolmé k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné. Hrany krychle AE, BF, CG, DH jsou kolmé k rovině ABCD a jsou navzájem rovnoběžné. Všechny roviny kolmé k téže přímce jsou navzájem rovnoběžné. Roviny ABCD, EFGH jsou kolmé k přímce BF a jsou navzájem rovnoběžné. Obsahuje-li jedna rovina kolmici k druhé rovině, pak jsou tyto roviny navzájem kolmé. Rovina ACGE obsahuje přímku kolmou k rovině ABCD, jsou tedy roviny ABCD, ACGE navzájem kolmé. Jsou-li dvě různoběžné roviny kolmé k třetí rovině, je jejich průsečnice rovněž kolmá k této rovině. 387

2 Různoběžné roviny ACGE, BDHF jsou kolmé na rovinu ABCD, jejich průsečnice QS je také kolmá k rovině ABCD. Přímkou různoběžnou s danou rovinou lze vést jedinou rovinu kolmou k dané rovině. Přímka EC je různoběžná s rovinou ABCD a jediná rovina, která prochází touto přímkou kolmo k rovině ABCD, je rovina ACGE. Řešený příklad Je dána krychle ABCDEFGH. Dokažte, že platí: a) AE FH b) FH ACG c) CE FH d) EC AFH. Řešení a) Přímky FH, BF jsou navzájem kolmé, přímka AE je s přímkou BF rovnoběžná, je tedy rovněž kolmá k přímce FH. b) Přímka FH je kolmá ke dvěma různoběžkám EG (úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé) a přímce AE roviny ACG, je tedy kolmá k této rovině. c) Přímka FH kolmá k rovině ACG je kolmá ke všem přímkám této roviny, tady i k přímce EC. d) Přímka EC leží v rovině ACGE, která protíná rovinu AFH v přímce AS, kde S je střed horní podstavy. Přímky AS, EC se protínají v bodě R.Označíme-li délku hrany krychle a, pak úsečka ES má velikost ES = a. V pravoúhlém trojúhelníku AES pro úhel α = EAS a platí tan α = =. V pravoúhlém trojúhelníku CGE má úhel GEC velikost α, a a protože tan α = =. Trojúhelníky AES a CGE jsou navzájem podobné a pro úhel a β = ASE = ECG platí: α + β = 90. Trojúhelník ERS má vnitřní úhly β = ESR, α = RES, takže třetí úhel ERS je pravý a přímky EC, AS jsou navzájem kolmé. 388

3 Dokažte, že přímka p = MN spojující středy M, N hran AB a VC pravidelného čtyřstěnu ABCV je k přímkám AB a VC kolmá. Řešení Stěny pravidelného čtyřstěnu jsou rovnostranné trojúhelníky, ve kterých je spojnice vrcholu se středem protější strany osa této strany, nebo-li CM AB a VM AB. Přímka AB je tedy kolmá k rovině MCV a je kolmá ke všem přímkám této roviny tedy i k přímce p = MN. Podobně platí BN VC, AN VC, přímka VC je kolmá k rovině BNA a tedy i k přímce p = MN. Zobrazte krychli ABCDEFGH o hraně délky a a sestrojte přímku C kolmou k rovině ABG procházející středem M hrany EF. Určete vzdálenost bodu M od roviny ABG. Řešení Rovina ABG je v krychli dána obdélníkem ABGH. Vyznačíme rovinu MPNQ, kde body M, P, N, Q jsou středy hran AB, CD, GH, EF. Rovina ABG obsahuje přímku AB kolmou k rovině MPNQ, jsou tedy roviny ABG, MPNQ navzájem kolmé, jejich průsečnice je přímka PQ. Úsečky PQ MN jsou úhlopříčky čtverce, je tedy přímka k = MN kolmá k rovině ABG.Vzdálenost bodu 389

4 M od této roviny je určena úsečkou MR, kde čtverce, což je a. R = MN PQ. Její velikost je polovina úhlopříčky 390

5 Úlohy k řešení Úloha 9.6. V krychli ABCDEFGH se středem dolní podstavy S přímka HS kolmo protíná mimoběžky AC a DF. Dokažte. Úloha 9.7. Dokažte, že v pravidelném čtyřstěnu ABCD jsou přímky AB, CD navzájem kolmé. Úloha 9.8. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy délky a a výšce v. Určete vzdálenost středu podstavy S od jeho boční stěny. 391

6 Výsledky 9.6. Přímky HS, DF leží v rovině DBFH. Přímka AC je kolmá k přímkám BD a BF, je tedy kolmá k rovině DBFH i k přímce HS. Trojúhelníky DHF, DPH, SPD, kde P = DF HS, jsou navzájem podobné a pravoúhlé (viz první řešený příklad). Přímky HS, DF jsou kolmé Sestrojíme střed P hrany AB. Úsečky PD, PC jsou výšky v rovnostranných trojúhelnících ABD, ABC. Přímka AB je kolmá k přímkám PD, PC, je tedy kolmá na rovinu PDC, kterou určují, a je tedy kolmá k přímce CD Vzdálenost bodu S je od všech stěn jehlanu stejná. V obraze jehlanu ve volném rovnoběžném promítání vyznačíme vzdálenost bodu S od stěny BCV. Tato vzdálenost je určena úsečkou SP kolmou na spojnici vrcholu V se středem M hrany BC.Trojúhelník SMV je v průčelní poloze, 39

7 pravý úhel SPM se zobrazí ve skutečné velikosti. Velikost d úsečky SP vypočteme ze vzorce pro obsah trojúhelníka, který lze určit dvojím způsobem: SM.SV MV.SP P = =, kde av platí d =. 4v + a a SM =, SV = v, MV 4v + a =, SP = d. Z tohoto vztahu 393