Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Transkript

1 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou hodnotu. U výrazů udejte, kdy mají smysl n ( n )( n 4 ). (( ) ) a 4a ax + x x 4. x y : xy. 6. ax x x x 7. m [6m (n + 4m)] + 4n. x 4y ( y 6x) (7x + y) 9. (x + ) x (x + x + 4) 0. 4n (n ) ( x + 4y y x ) : (. (p + q) : p + ) ( x 4. q x x ) ( x x ) x x + 6x yz xz 7. y Výsledky kapitoly I n 9 0x 4 y a a, axy 0. a, x 0, a 0 6. x, x 0, x 7. 6m + 6n. x 7y 9. x 4 0. n 9.. x, 0, ±,. pq, p 0, q 0, p + q z, xyz 0 7. x 6 x, x ±, x 4,,, 6. 0, (zkouška z př. ) II. Rovnice lineární, kvadratické, kuické, s asolutní hodnotou Řešte dané rovnice a proved te zkoušku. 9. (4 x) 6( x) = x 7 0. y +. 0 y 4 =.. + u = u u 4 Řešte dané rovnice a proved te zkoušku: t t + = t t x + 6 (x ) = x x 7 + x =. x + x = 0 6. (x + )(x ) = 0 7. ( λ) + 4 = 0. x 4x + x = 0 9. x x (x + 6) = 0 0. ( λ)( + λ) 4 = 0. ( λ)( λ) + = 0. (x + )x (x + x + 9) = 0 Výsledky kapitoly II 9. x = 0. Nemá řešení. y = 0. x R. Nemá řešení, neot 4 / D 4. x =, x = 4. x = 0, x = 6. x =, x = 7. λ, = ± i. x = 0, x, = ± i 9. x = 0. λ, = ±. λ, = ±i. x, = ±

2 III. Funkce Předpokládá se znalost definičních oorů, grafů a základních vlastností elementárních funkcí ( funkce mocninná, lineární, kvadratická, asolutní hodnota, lineární lomená, odmocnina, exponenciální, logaritmická, goniometrické) Určete definiční oor dané funkce y = f(x):. y = x 4. y = 4x 7 x + x. y = x x 7. y = x x + x 6. y = x 4 x + 4 x x. y = x 9. y = x x y = 4. y = e 00x 7 4. y = (x + ) e /x 4. y = x 44. y = sin x 4. y = ln (x ) 46. y = ln (x + x + ) 47. y = x ln x Určete hodnoty logaritmické funkce: 4. ln 49. ln 0 0. ln e. ln e. ln. ln( ) Určete logaritmus daného výrazu při daném základu z 4. V = π r v, z =. y =, z = 4 6. T = π 4 Určete výraz V, je-li dán jeho logaritmus e l g, z = e 7. y =. ln V = ln 4 ln + ln π + ln r 9. log V = log x + (n + ) log y a x y, z = a 60. log a V = 4 log a(x + ) log a y 6. log V = log (x ) + log (x + ) log (x 4) Výsledky kapitoly III. x R 4. x R. x R {0} 6. x R 7. x R {, }. x (, / 9. x (, + ) 40. x (, + ) 4. x R 4. x R {0} 4. x, 44. sjednocení intervalů kπ, π + kπ, k Z 4. x (, ) (, + ) 46. x R 47. x (0, ) (, + ) není definován 0.. /.. není definován 4. log V = log π + log r + log v log. log 4 y = log 4 6. ln T = ln + ln π + (ln l ln ln g) 7. log a y = log a x log a y. V = 4 πr 9. V = x y n+ 60. V = 4 (x + ) /y 6. V = (x ) (x + ) (x 4) = x + IV. Rovnice exponenciální, logaritmické, s odmocninami Řešte dané rovnice a proved te zkoušku. x 6. x = 6. = x = 6. 0 x = 66. e x = 4 e x 67. = x 6. = x x+4 = 70. x e x + x e x 4 e x = 0 7. (x ) e x + e x = 0 7. e x + x e x ( x ) = 0 7. ln x = ln x = 7. ln x = 76. ln x + = ln( x) = 7. ln(x + ) = ln x = 0 0. x + x ln x = 0. ln(x ) = 0. x = 0. x x + 4 = x 4. x = 0. x x x + + x x + = 0

3 Výsledky kapitoly IV 6. x = 4 6. x = 64. nemá řešení 6. x = x = 67. x = 7/6 6. x = 69. x =, x = 70. x =, x = 4 7. x = 4 7. x = 7. x = 74. x = e 7. x = e 76. x = e = /e 77. x = e 4 7. x = x = e 0. x =. x = ±. x = 4. x = 4, (x = nevyhovuje) e 4. x = 0, x, = ±. x = 0, x = / V. Nerovnice lineární, kvadratické, s asolutní hodnotou Řešte dané nerovnice: 6. x x < x 4 x. x > 0 9. x x + 7 x 0 9. x + x < 0 9. x x + < 0 9. x + > x < 9. x < x x < x 9. x + x 99. x < x + x Výsledky kapitoly V 6. x (, / 7. x (, + ). x (, + ) 9. x (,, + ) 90. x (, 4 /, + ) 9. x ( /, 0) x R 94. x (, ) x, / 97. x (, ) 9. x (, x (, ) 00. x (, /), + ) VI. Nerovnice exponenciální a logaritmické Řešte dané nerovnice: 0. x 6 0. x < 7 0. x 04. e x + x e x > 0 0. ln x < ln x 07. ln(x + 4) 0 0. x ln x + x 0 Výsledky kapitoly VI 0. x (, 4 0. x (, + ) 0. x (, 04. x (, + ) 0. x (0, ) 06. x e, + ) 07. x ( 4, 0. x /e, + ) VII. Goniometrické funkce Upravte (zjednodušte) dané výrazy. Určete, pro jaká x mají smysl. cos x cotg x + sin x. + sin x + cos x Najděte řešení daných goniometrických rovnic: + tg x + + cotg x. sin x sin x = 0. cos x sin x = 4. sin x = cotg x Výsledky kapitoly VII 09. sin x, x π + kπ, k Z 0. sin x, x kπ, k Z., x k π, k Z. x = kπ, x = π + kπ, k Z. x = kπ, k Z 4. x = π + kπ, x = π 4 + k π, k Z

4 VIII. Komplexní čísla (imaginární jednotka, algeraický tvar, goniometrický tvar, aritmetické operace, číslo komplexně sdružené, asolutní hodnota, Moivreova věta) Upravte, případně určete hodnotu:. i 6. i 4 7. i i 6. ( + 7i) i 9. ( + i)( 4i) 0. ( i). ( + i)( i). ( i)( + 4i) ( + i)( 4i) Určete asolutní hodnotu (velikost) komplexního čísla:. z = + 4i 4. z = 4 i. z = i 6. z = + i 7. z = i. z = i 9. z = cos x + i sin x, x R 4 4 Výsledky kapitoly VIII. i i +. i i 0. i.. 0i. z = 4. z =. z = 6. z = 7. z =. z = 9. z = IX. Analytická geometrie v rovině (ody, vektory, hlavně však přímky, kuželosečky a množiny v rovině ohraničené těmito křivkami) 0. Napište parametrický, oecný a směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází ody A = [, ], B = [9, 4]. Načrtněte si orázek. Určete a načrtněte kuželosečky, které jsou dány následujícími rovnicemi.. x = y. x + y 4x + 4y + = 0. x + y + 6y = 0 4. x 4y 6x + y = 0 Načrtněte rovinný orazec D, který je omezen danými křivkami neo je zadán nerovnicemi:. x + y, x + y 0 6. y 0, y x, x y 7. x + y =, xy =. x + y 4x, y 0 Výsledky kapitoly IX 0. x = + 4t, y = + t, t R; x y = 0; y = x. paraola, osa v ose x, vrchol V = [, 0], otevřená doprava. elipsa S = [, ], a =, =. kružnice S = [0, ], r = 4. hyperola S = [, ], a = 4, =. rovnoramenný trojúhelník nad osou x, souměrný podle osy y 6. křivočarý trojúhelník v prvním kvadrantu ohraničený dvěma úsečkami a částí paraoly 7. orazec ohraničen v prvním kvadrantu úsečkou a rovnoosou hyperolou. posunutý půlkruh v prvním kvadrantu, S = [, 0] Literatura: [] J. Černý a kolektiv: Matematika - přijímací zkoušky na ČVUT. Nakladatelství ČVUT Praha, 007 [] F.Jirásek a kol.: Sírka úloh z matematiky pro SOŠ. SPN, Praha 96 [] J.Neustupa: Matematika I. Skriptum Strojní fakulty. Nakladatelství ČVUT, Praha 04 (též starší vydání...) [4] L.Samková: Sírka příkladů z matematiky. Fak. architektury, Nakladatelství ČVUT, Praha 00 [] F.Vejsada, F.Talafous: Sírka úloh z matematiky pro SVVŠ. SPN, Praha 969

5 Základní vzorce pro úpravy algeraických výrazů a ( + c) = a c, a ( ± c) = a ± ac (a + ) = a + a +, (a ) = a a + (a + ) = a + a + a +, (a ) = a a + a a = (a )(a + ), a = (a )(a + a + ) Vzorce pro počítání s mocninami a odmocninami (pokud mají uvedené výrazy smysl) a r a s = a r+s, ( a ) r = a r a r a s = ar s, (a r ) s = a rs, (a) r = a r r, r, a r = /a r, a r/s = s a r r a = r a r Kvadratická rovnice ax + x + c = 0, a 0 má řešení x, = ± D, kde D = 4ac a Základní vlastnosti logaritmů (x > 0, y > 0, základ a > 0, a ) log a xy = log a x + log a y, x log a = log y a x log a y, log a x r = r log a x log a = 0, log a = log x a log a x = log a x, log a a = Goniometrické funkce, základní vzorce tg x = sin x cos x, x π + k π, cotg x = cos x sin x, x k π Pro každé α R platí: sin α + cos α =, sin α = sin α cos α, cos α = cos α sin α Aritmetická posloupnost je zadána rekurentním vztahem a n+ = a n + d, kde d je diference, n N, t.j. přirozené číslo n- tý člen: a n = a + (n ) d, součet prvních n členů: s n = n (a + a n ) Geometrická posloupnost je zadána rekurentním vztahem a n+ = a n q, kde q je kvocient, n N, n- tý člen: a n = a q n, součet prvních n členů: s n = a q n q Komplexní čísla Imaginární jednotka i : z = a + i z = a i z = a + z = z (cos α + i sin α) Moivreův vzorec: i = algeraický tvar komplexního čísla z číslo komplexně sdružené s číslem z = a + i asolutní hodnota (velikost) komplexního čísla z = a + i goniometrický tvar komplexního čísla z (cos α + i sin α) n = cos nα + i sin nα