Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Transkript

1 Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0

2 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel Fajn MATIKA. s.r.o. 0 Vydaní první, (reklamní vorek)

3 OBAH Test...7 Test...5 Test Testy 4 0 jsou v knie.

4

5 Milí žáci, dostává se Vám do rukou cela nová matematická sbírka, kterou Vám chceme pomoci při přípravě na důležitý krok ve Vašem životě přijímací koušky na střední školy. Ona ase tak úplně nová není. Na lovensku už bylo vytištěno celkem deset jejích vydání. Naše Fajn MATIKA obsahuje 50 řešených příkladů posledního nich. Při jejich sestavování jsem vycháela e kušeností s předchoími sbírkami. Vala jsem do úvahy i ohlasy žáků, kteří je používali při přípravě na přijímací koušky a jejich učitelů. Příklady v naší knie jsou roděleny do deseti testů, a každým testem je jeho úplné řešení. Neřešené úlohy jsme do sbírky neařadili, protože předpokládáme, že máte i jiné knihy, e kterých se připravujete. V nich jistě nalenete dostatek úloh a příkladů, které Vám snad pomůže vyřešit i naše FajnMATIKA. Přeji Vám mnoho elánu při řešení příkladů a doufám, že Vám naše kniha bude dobrým společníkem na cestě a studijním úspěchem. Mária adloňová

6

7 7 TET. Vypočtěte a vyjádřete v ákladním tvaru 7 : Roložte na součin 3xy y 3x y 3. Řešte rovnici a proveďte koušku 3x ( x ), 5 4. Určete, kolik přiroených čísel menších než 7 vyhovuje nerovnici x x 3 < 3 5. Vypočtěte 45% 900.

8 8 Test 6. Určete, pro jaké a lomek a 3 a 4 a) nemá smysl b) má hodnotu 7. Ze vorce pro obsah lichoběžníku vyjádřete a) výšku v b) ákladnu (delší) 8. Nahraďte písmena A a B číslicemi tak, aby výsledné číslo x bylo dělitelné dvanácti, je-li x A3B 9. Z 3 hracích karet náhodně vytáhněme karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě karty budou králové? 0. Z pěti druhů polévek, deseti hlavních jídel a třech druhů moučníků si můžete volit jeden kompletní oběd. Kolik růných obědů (polévka, hlavní jídlo, moučník) můžete sestavit?

9 9. Vypočtěte, o kolik procent se menší povrch krychle, menší-li se délka všech hran o 0%.. V pravoúhlých trojúhelnících ABC, A ' B' C' s pravým úhlem při vrcholech C a C ' jsou námé velikosti úhlů α 4 6 a β ' Rohodněte, da jsou tyto trojúhelníky podobné. 3. Vypočtěte poloměr kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku, jehož odvěsny jsou dlouhé 0 cm a 4 cm. 4. Vypočtěte obvod kruhu, je-li jeho obsah 9,5 cm. 5. Nádoba tvaru válce má výšku v 5 cm. Její vnitřní průměr je d 400 cm. Výška dna je 6 cm. Kolika litry vody naplníte tuto nádobu?

10 0 Test ŘEŠENÍ TETU. : xy y 3x y 3x( y ) y( y ) ( y )( 3x y) 3x,5 4x 4 3x 5 3. ( x ) kouška: P,5 L P 7x 0 x 0 / 3.0 L.(0 ) L L,5 4. x x 3 < 3 3x 3 4x 6 < 6 x < 5 / 6 x > 5 Této nerovnici vyhovuje každé přiroené číslo. Má-li být menší než 7, vyhovují x,,3,4,5,6, je jich tedy 6. { } %

11 6. a) Zlomek 4 3 a a nemá smysl, pokud je jeho jmenovatel rovný nule, tedy 0 4 a, toho a Zlomek nemá smysl pro a. b) Zlomek 4 3 a a má hodnotu, tedy platí a a a a a Zlomek má hodnotu pra a a) ( ) ( ) ( ) v v v : /. /.. b) ( ) ( ) / : / /.. v v v v v v 8. x A3B Číslo je dělitelné dvanácti, je-li dělitelné třemi a čtyřmi. Aby bylo dělitelné čtyřmi, musí mít poslední dvojčíslí 3 nebo 36, takže B může být nebo 6. Pokud B, pak A dostaneme toho, že je-li číslo dělitelné třemi, je jeho ciferný součet dělitelný třemi, takže 7 3 A A, takže A nebo 5 nebo 8. Pokud B 6, pak ciferný součet čísla x je 6 3 A A, takže A nebo 4 nebo 7. Možné dvojice číslic (A, B) jsou: (, ), (5, ), (8, ), (, 6), (4, 6) a (7, 6).

12 Test 9. Dvě karty 3 je možné vybrat Dva krále e čtyř je možné vybrat pravděpodobnost 6 3 p působy, to je 496 možností. 4.3 působy, to je 6 a tedy růných obědů.. Má-li krychle délku hrany a, její povrch 6a. Pokud se každá hrana menší o 0%, 90 9 bude hrana nové krychle 90% a, tedy. a. a a její povrch a a 00, 8.6. a tedy je 8%. To namená, že původní povrch se menší o (00 8)% 9%.. Trojúhelníky ABC a A B C jsou podobné, pokud se shodují velikosti jejich dvou úhlů. V V ABC náme α 4 6, γ 90, tedy ( ) β 80. A B C náme β 47 44, γ 90, tedy ( ) α 80 Platí α α, β β, γ γ, trojúhelníky jsou si podobné.

13 3 3. b 0 C. a 4 A B c c a b c 676 c 6 Poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je r c 3 cm. 4. Ze vorce pro obsah kruhu πr, vyjádříme r tedy r, π 9,5 r 675. π 3,4 Vypočítanou hodnotu poloměru r dosadíme do vorce pro obvod kruhu o πr o.3,4. o & 63,6 675 ( cm) Obvod kruhu o je 63,6 cm.

14 4 Test 5. d 400 cm 6 cm v 5 cm r 00 cm 0 dm ( 5 6) v cm 9 cm 0,9 dm V π r v 3,4.0.0,9 30,4 (dm 3 ) V 30,4 (l) Nádobu naplníme 30,4 l vody.

15 5 TET. Vypočtěte: 6 : 4 ( 9) : 5. Vypočtěte hodnotu výrau 5x 4 3 pre x. 3. Kolik růných dvouciferných čísel můžeme napsat pomocí číslic 0,, 3 tak, aby se cifry neopakovaly? 4. Vyřešte rovnici 4 x 6 x 5 5 x 5. Vyřešte soustavu rovnic sčítací metodou: 3a b 0 a b 0

16 6 Test 6. Výpočtem určete průsečík grafu lineární funkce y x 7 s osou x a s osou y. 7. Zjednodušte výra a určete podmínky: x y x y x y : x y xy 8. Šest chlapců tvoří 40% všech žáků ve třídě. Kolik děvčat je ve třídě? 9. Z jedné třídy budou ke studiu matematiky přijati dva žáci. Mei čtyřmi přihlášenými je také Eliška. Jaká je pravděpodobnost, že bude přijatá? 0. Kolika růnými působy mohou sedět na večírku na čtyřech židlích vedle sebe dva chlapci a dvě děvčata, chtějí-li děvčata sedět na kraji?

17 7. V obdélníku ABCD náme délku strany AB 6 cm a úhlopříčky AC 0 cm. Vypočtěte jeho obvod a obsah.. Jakou výšku má sloup, jehož vrchol je vidět e vdálenosti 0 m pod úhlem 45? 3. Vypočtěte obsah kruhu, jehož průměrem je výška rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 9 cm. 4. Rodělte graficky úsečku AB délky 7 cm v poměru 3 : Kolik litrů vody se vejde do baénu ve tvaru kvádru s roměry 5 m, 7,5 m, 4,5 m?

18 8 Test ŘEŠENÍ TETU. 6 : 4 ( 9) : 5 4 : 4 (.3) : 5 ( 5) : 5. 5x ( ) Na ačátku mohou být jen cifry a 3. Pokud bude na ačátku, budou to čísla 0 a 3. Pokud bude na ačátku 3, budou to čísla 30 a 3. To namená, že hledaná čísla jsou čtyři. 4. V rovnici 4 x 6 x 5 5 x musí být jmenovatel růný od 0, takže x 5. Odstraníme lomky, vynásobíme obě strany rovnice x 5. Dostaneme ( x 5) ( 4 x) x 5 6 x 0 4 x x 4x 4 x 3x 5 x 5, ale nevyhovuje podmínce, to namená, že rovnice nemá řešení.

19 9 5. V soustavě rovnic 3a b 0 a b 0 obě rovnice sečteme, dostaneme 5a 0 a, dosadíme do kterékoliv rovnic a dostaneme, např. po dosaení do první rovnice, 3. b 0 6 b 0 b 4 b 4 Provedeme koušku: L 3. ( 4) P L. ( 4) P Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [, b] [, 4] a. 6. Průsečík X grafu funkce y x 7 s osou x dostaneme tak, že a y dosadíme 0 a x vypočítáme: 0 x 7 7 x x 3,5, tedy X [ 3,5;0]. Průsečík Y grafu funkce s osou y dostaneme tak, že a x dosadíme 0 a y vypočítáme y.0 7 y 7, tedy [ 0; 7] Y.

20 0 Test x y x y x y : x y xy y( x y) x( x y) xy xy y y x x y Podmínky: x 0 y 0 6 x x xy, x y x y L L 40% 00% xy xy ( x y)( x y) xy ( x y)( x y) x : 6 00 : 40 40x x x Ve třídě je 5 žáků, tedy děvčat je 9. Jiný působ: Je-li 40% chlapců, potom děvčat je 60%, odtud 6 x L L 40% 60% x : 6 60 : 40 40x x x Děvčat je

21 Všech dvojic, které můžeme vytvořit e čtyř žáků je 6. Počet dvojic, v nichž je Eliška, je 3, protože k Elišce můžeme přidat kteréhokoliv e bylých tří žáků. Pravděpodobnost tedy bude Onačme děvčata D a D a chlapce C a C. Možnosti rosaení jsou D D D D C C C C C C C C D D D D Jsou čtyři možnosti rosaení.. V obdélníku ABCD náme stranu AB a úhlopříčku AC. Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem ve vrcholu B. Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme délku odvěsny BC. BC BC BC BC AC AB ( a ) ( 6) 56 o b cm. ab 6. 9 cm.. V P 45 0 m v Trojúhelník PV je pravoúhlý s pravým úhlem ve vrcholu a ároveň je rovnoramenný, protože úhel ve vrcholu V je 45. Výška sloupu je tedy 0 m.

22 Test 3. C A v. B Vypočítáme výšku v c rovnostranného trojúhelníku ABC v v CB 9 B ( 4,5) 8 0,5 60,75 v 60,75 7,79 & 7,8 cm Délka výšky je průměr kruhu, to namená, že poloměr kruhu je 3,9 cm. ( 3,9) 47, 76 πr 3,4. cm Obsah kruhu je 47,76 cm 4. A R B 3d P p 5d Q X estrojíme libovolnou polopřímku AX, na kterou naneseme 3 a 5 dílů pomocí dělících bodů P a Q. pojíme body Q, B a sestrojíme přímku p rovnoběžnou s přímkou QB. Její průsečík s úsečkou AB bude bod R a bude ji rodělovat v poměru 3 : Vypočítáme objem baénu V abc 5.7,5.4,5 506, 5 (m 3 ) 506,5 m 3 506, dm l Do baénu se vejde l vody.

23 3 TET 3. Vypočtěte: 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( 3) ( ) 3. Zapište jako výra a) číslo o 0 menší než x. b) číslo o x větší než třínásobek čísla y. 3. Které přiroené číslo obsahuje tisícovek, 5 stovek, desítek a jednotek? 4. Původní cena auta byla Kč. Po levnění stálo Kč. O kolik procent bylo levněno? 5. Číslo 345 roložte na dva sčítance tak, aby jeden sčítanec byl 4 krát větší než druhý. Určete větší e sčítanců.

24 4 Test 3 6. Kdyby na koncert přišlo o 53 účastníků více, chybělo by jen 7 lidí do desetitisíc. Kolik lidí bylo na koncertě? 7. V košíku je 6 jablek. Kolik hrušek musíme do košíku přidat, aby pravděpodobnost vybrání hrušky byla 3? 8. Tereka sáí na ahradě květy. Kdyby každou hodinu namísto 9 květů asadila, byla by s prací hotová o hodinu dříve. Kolik květů má vysáet? 9. Dva přátelé se roešli na křižovatce dvou na sebe kolmých cest. První jel rychlostí 4 km/h, druhý 8 km/h. Jak jsou od sebe vdáleni po půl hodině? 0. V pravoúhlém lichoběžníku mají ákladny délky 8 cm a 0 cm. Délka kratšího ramene je 6 cm. Vypočtěte jeho obsah a obvod.

25 5. Dvě kružnice s poloměry 3 cm a 5 cm se protínají v bodech A, B tak, že délka úsečky AB je 4 cm. Vypočtěte vdálenost středů těchto kružnic.. Do krychle s hranou 0 cm je vepsaný válec. Vypočtěte jeho povrch. 3. Je dán čtverec ABCD s délkou strany AB 6 cm. Znáorněte všechny body X v rovině, pro které platí, že AX 6 cm a současně CX 6 cm. 4. Je daná kružnice k ( ; 6 cm) dlouhé 0 cm.. Vypočtěte velikost středového úhlu, který patří tětivě 5. Kosočtverec má obsah 5,5 cm a výšku 4, cm. Vypočtěte jeho obvod.

26 6 Test 3 ŘEŠENÍ TETU 3. 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( 3) ( ) a) x-0 b) 3yx % K x% K x x x x (%) 00 % 88% % Auto bylo levněno o %.

27 7 5.. sčítanec x. sčítanec 4x estavíme rovnici: x 4x 345 5x 345 x 69 4x Větší e sčítanců je Na koncert přišlo x lidí. x x x x Na koncert přišlo lidí. 7. Přidáme x hrušek, v košíku je tedy dohromady ( x 6) kusů ovoce. Pravděpodobnost, že vybereme hrušku je x x 6 3 3x x 6 x 6 x 3 Do košíku musíme přidat tři hrušky. x x 6 a ta je rovná 3, tedy sestavíme rovnici:

28 8 Test 3 8. Počet hodin, a které by Tereka vysáela všechny květy rychlostí 9 květů a hodinu, onačíme x. Pokud bude sáet květů a hodinu, potřebuje na tuto práci o hodinu méně, tedy x hodin. estavíme rovnici: 9x 3x 4 x ( x ) 9x x Tereka potřebuje 4 hodiny, tedy má 4. 9 květů, takže 36. Zkouška: Bude-li sáet 9 květů a hodinu, pak 36 květů vysáí a 4 hodiny. Bude-li sáet květů a hodinu, potom 36 květů vysáí a 3 hodiny, což je o hodinu méně. 9. Jede-li první rychlostí 4 km a hodinu, a půl hodiny přejede km. Pojede-li druhý rychlostí 8 km a hodinu, a půl hodiny přejede 9 km. Jejich vdálenost po půl hodině vypočítáme jako přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami km a 9 km. ( ) ( 9) v 44 8 v 5 v v 5 Po půl hodině budou přátelé od sebe vdáleni 5 km.

29 9 0. D 0 cm C 6 cm E A 8 cm B Délka kratšího ramene pravoúhlého lichoběžníku je vlastně jeho výška, tedy ( a c). v ( 8 0 ).6 84cm Na výpočet obvodu potřebujeme CB. Budeme pracovat v pravoúhlém trojúhelníku CEB. CE 6 cm a EB AB DC 8 0 8cm CB 6 8 CE EB CB 0cm o a b c d cm

30 30 Test 3. A B E A B E Tětiva AB obou kružnic protíná spojnici středů, těchto kružnic v bodě E a je na ni kolmá. Pracovat budeme se dvěma pravoúhlými trojúhelníky EA a EA. A r A r EA cm 3cm, 5cm, E E 3 A E 5 cm AE E E A 5 E 9 cm AE E E Vdálenost středů kružnic je 4 cm.. Daná je krychle s hranou 0 cm. Vepíšeme-li do ní válec, jeho poloměr bude rovný poloměru kružnice vepsané do čtverce o straně 0 cm, to je 5 cm. Výška válce je vlastně délka hrany krychle. ( r v) πr ( 5 0) ,4 47( cm ) π 5 π Povrch válce je 47 cm.

31 3 3. D C A B Všechny body X, jejichž vdálenost od bodu A je menší nebo rovná 6 cm, leží v kruhu, jehož střed je bod A a poloměr je 6 cm. tejně tak všechny body X, jejichž vdálenost od bodu C je menší nebo rovná 6 cm, leží v kruhu, jehož střed je C a poloměr je 6 cm. Hledaná množina bodů je tedy průnik dvou kruhů. (vi množina vyšrafovaná na obráku). 4. A α/ X B Když sestrojíme kolmici bodu na tětivu, přetne ji v bodě X. Trojúhelník AB je rovnoramenný, proto X roděluje úsečku AB na poloviny a ároveň půlí úhel AB. α 5 V pravoúhlém trojúhelníku XB použijeme goniometrickou funkci sin 0,8333, 6 α použijeme tabulky, nebo kalkulačku, 56 6 Velikost středového úhlu α je 5.

32 3 Test 3 5. D a C a v a A a B Ze vorce pro výpočet obsahu kosočtverce a. v vyjádříme délku strany a a v dostaneme 5,5 a,5 4, o 4 a 4.,5 50 ( cm) Obvod kosočtverce je 50 cm. Testy 4 0 jsou v knie.