[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

Transkript

1 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic a povídání. Už třetí hodinu se snažíme, co nejlépe popsat graf funkce. Pokud známe předpis funkce a umíme ji zderivovat, dokážeme zjistit: definiční obor funkční hodnot (dosazením, už od malička monotónnost (podle znaménka první derivace lokální etrém (podle znaménka první a druhé derivace limit v nevlastních bodech a v nevlastní limit ve vlastních bodech asmptot Stačí to k tomu, abchom nakreslili přibližně graf funkce? Př. 1: Funkce = f ( má lokální minimum v bodě [ 1,1 ] a lokální maimum v bodě [ 5; ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu kladná. Nakresli různé možnosti, jak může vpadat graf této funkce pro 1; Možností je nekonečně mnoho. Z obrázku je vidět, že je můžeme rozdělit do několika skupin: černá, přímá čára modrá čára, která je vžd na černou čarou, vpadá jako část kopečku zelená čára, která je vžd pod černou čarou, vpadá jako část ďolíku červená čára, která se skládá ze dvou částí, jedna část se chová jako modrá čára, druhá část se chová jako zelená čára (je samozřejmé, že b červená čára mohla mít více částí, každá z nich b se však podobala jednomu ze tří předchozích druhů Musíme se naučit jednotlivé druh funkcí rozeznávat. Jak poznáme (porovnáváním, že má křivka tvar ďolíku? 1

2 f( P f( 1 f( P 1 P 1 Pokud libovolně zvolíme na ose tří bod 1 < <, získáme na grafu funkce tři bod ; (, P ( ; f a P ( ; f P1 1 f 1. Z obrázku je vidět, že bod P vžd leží pod přímkou PP 1 to už b blo možné vjádřit početně: rovnice přímk PP 1 (dosazujeme do směrnicového tvaru ( = k ( : =, = = f (, k = ( ( 1 ( ( = + f ( ( 1 1 zkoumáme hodnotu v bodě dosadíme: ( ( ( 1 ( ( f = + f ( ( ( 1 ( f = =, = = f ( pokud bod leží na přímce nebo pod ní, změníme rovnost na nerovnost: f ( f ( 1 f ( ( 1 + f ( 1 - to je pro definici přímo ideální 1 Funkce f se nazývá konvení (má tvar ďolíku v intervalu I, právě kdž pro libovolná čísla f ( f ( 1 1,, I splňující nerovnost 1 < <, platí f ( ( 1 + f ( 1 (bod P ; f ( Pokud platí ostrá nerovnost ( 1 leží pod přímkou PP 1 nebo na ní. f < + f v intervalu I rze konvení. ( ( 1 ( ( říkáme, že funkce je

3 Př. : Analogick podle předchozího postupu odvoď a vslov definici funkce, která je v intervalu I konkávní (má tvar kopečku. f( f( P P f( 1 P 1 1 Velmi podobný obrázek jako u konvení funkce, bod P leží vžd nad přímkou PP 1 je f + f. splněna nerovnost ( ( ( 1 ( ( Funkce f se nazývá konkávní (má tvar kopce v intervalu I, právě kdž pro libovolná čísla f ( f ( 1 1,, I splňující nerovnost 1 < <, platí f ( ( 1 + f ( 1 (bod P ; f ( leží nad přímkou PP 1 nebo na ní. Pokud platí ostrá nerovnost ( v intervalu I rze konkávní. 1 ( ( 1 ( ( f > + f říkáme, že funkce je Př. : Nakresli obrázek zadané funkce a rozhodni zda jsou v daném intervalu konvení, rze konvení, konkávní, rze konkávní nebo zda nemají žádnou z těchto vlastností. a = v intervalu ; b = v intervalu ; c = v intervalu 1;5 d = v intervalu ; Z obrázku je zřejmé, že funkce v intervalu ; rze konvení. = je Z obrázku je zřejmé, že funkce = je v intervalu ; konvení (podmínku pro rzí konvenost splňuje pouze při speciální

4 volbě bodů Z obrázku je zřejmé, že funkce = je v intervalu 1;5 konvení i konkávní. Z obrázku je zřejmé, že funkce = není v intervalu ; ani konvení ani konkávní. (v intervalu ; b bla rze konkávní a v intervalu ; rze konvení. Problém jsme vřešili pouze částečně. Na to, abchom poznali, že funkce je v bodě konvení (nebo konkávní potřebujeme celý interval. Nedokázali bchom to poznat z chování funkce přímo ve zkoumaném bodu (a jeho libovolně malém okolí? Zkusíme na obrázku přibližovat bod 1,, blíže k sobě. V limitním případě, se z přímk 1 PP stane tečna v bodě ; f (. a všechn bod grafu v okolí bodu leží nad tečnou.

5 vlastní derivaci f ( δ >, že pro každé ( δ ; ( ; + δ platí: ( > '( ( + ( (všechn bod grafu leží nad tečnou. Funkce f je rze konvení v bodě, jestliže má v bodě eistuje-li takové číslo f a Př. : Nakresli analogický obrázek, najdi kritérium a sestav definici pro funkci, která je v bodě rze konkávní. Všechn bod grafu v okolí bodu leží pod tečnou. vlastní derivaci f ( δ >, že pro každé ( δ ; ( ; + δ platí: ( < '( ( + ( (všechn bod grafu leží pod tečnou. Funkce f je rze konkávní v bodě, jestliže má v bodě eistuje-li takové číslo f a Je-li funkce konvení v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvení v intervalu I. Je-li funkce konkávní v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konkávní v intervalu I. Jak zjistíme tvar křivk pomocí derivací? Podíváme se na obrázek s tečnou konvení funkce: Pokud má tečna ležet pod grafem funkce musí se: napravo od bodu strmost grafu zvětšovat funkce musí růst čím dál rchleji derivace funkce se musí zvětšovat druhá derivace funkce musí být kladná. Stejný výsledek získáme, kdž prostudujeme graf funkce derivace = : = (rze konvení v R a její 5

6 Celou dobu první derivace funkce ( = a poté zvětšuje její stoupání. = = roste (nejprve zmenšuje klesání funkce Analogickou zákonitost najdeme u grafu funkce ' = : = (rze konkávní v R a její derivace Celou dobu první derivace funkce ( = a poté zvětšuje její klesání. Je-li f ( >, pak je funkce f v bodě konvení. Je-li f ( <, pak je funkce f v bodě konkávní. = = klesá (nejprve zmenšuje růst funkce Př. 5: Urči interval konvenosti a konkávnosti funkce =. Výsledek už známe, protože víme, jak vpadá graf funkce, ale teď si to spočítáme: ' = = ( ( = = 6 zjišťujeme kd je druhá derivace kladná: 6 > > ; platí > funkce je konvení pro ( 6

7 pro ( ; platí < funkce je konkávní Je to tak. Zastavíme se ještě u bodu =. V tomto bodě se mění u tvar funkce = z konkávní funkce se stává funkce konvení. Takovému bodu se říká inflení bod funkce f. Inflení bod mají vzhledem k druhé derivaci podobné postavení jako bod stacionární vzhledem k derivaci první: Je-li bod inflením bodem funkce f a má-li funkce f v tomto bodě druhou derivaci pak f ( =. Nulová druhá derivace není postačující podmínka pro eistenci infleního bodu obrácená věta neplatí. Pokud chceme mít jistotu, že bod s nulovou druhou derivací je inflení, musíme se přesvědčit, že se v něm mění znaménko druhé derivace. Př. 6: Najdi inflení bod funkce =. Urči, kd je funkce konvení a konkávní. ( ( ' = = 1 1 = 1 1 = 6 V inflením bodě musí být druhá derivace nulová: = 6 = 1 = 1 = ( ( dva bod podezřelé z inflee: 1 =, = musíme zjistit znaménka druhé derivace řešíme nerovnici: 6 >, >, před je kladné číslo ďolík pro ( ; platí > funkce je konvení pro ; platí < funkce je konkávní 7

8 pro ( ; platí > funkce je konvení oba podezřelé bod jsou inflení, v obou se měnilo znaménko druhé derivace Výsledek zkontrolujeme pohledem na graf: Př. 7: Urči inflení bod funkce = + 1 ( ( 1 ( ( ( ( ' = = = = ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( + 1 ( + 1 ( ( ( ( ( ( + 1 ( = = = = = = + 6 = = ( + 1 ( + 1 V inflením bodě musí být druhá derivace nulová ( ( ( 6 = = + = tři bod podezřelé z inflee: 1 =, =, = musíme zjistit znaménka druhé derivace (naštěstí záleží pouze na čitateli, jmenovatel je pořád kladn 8

9 řešíme nerovnici: ( ( ( 6 = = + > nerovnice je v součinovém tvaru, řešíme ji nad osou: = = = - = pro ( ; platí < funkce je konkávní pro ( ; platí > funkce je konvení pro ( ; platí < funkce je konkávní pro ( ; platí > funkce je konvení všechn tří podezřelé bod jsou inflení, vžd se měnilo znaménko druhé derivace Výsledek zkontrolujeme pohledem na graf: Shrnutí: Konvenost a konkávnost funkce můžeme zjistit pomocí druhé derivace. 9