MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008

2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii vpracovala samostatně pod vedením RNDr. Jana Osičk, CSc. a uvedla v seznamu literatur všechn použité zdroje. V Brně dne Veronika Kruttová 1

3 Poděkování: Ráda bch poděkovala vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi, CSc za metodické vedení, cenné rad při jejím vpracování a čas strávený při konzultacích.

4 Obsah Úvod 4 1 Teorie 5 Řešené příklad na lokální a absolutní etrém 9 3 Etrém v ekonomii 14 4 Řešené příklad na průběh funkce Polnom Racionálnílomenéfunkce Goniometrickéacklometrickéfunkce Eponenciálníalogaritmickéfunkce Mocninnéfunkce Literatura 34 3

5 Úvod Hledání etrémů a všetřování průběhu funkcí je jednou ze základních aplikací diferenciálního počtu. Proto se student matematick zaměřených oborů seznamuje s řešením úloh na etrém a průběh funkcí zpravidla již v prvním semestru. Tato oblast matematik bývá probírána i na ekonomických oborech z důvodů širokého vužití etrémů v ekonomii. Tato práce je zaměřena pouze na všetřování funkcí jedné reálné proměnné. U čtenářů se předpokládá znalost diferenciálního počtu. V první kapitole naleznete tvrzení a definice užívané při řešení úloh na etrém a průběh funkcí. Použila jsem znění ze základní literatur[1], vět jsemuvádělabezdůkazůjensodkazemnaknihu,kdemůžepřípadnýzájemce důkaz nalézt. Druhá a čtvrtá kapitola obsahují řešené příklad na lokální a absolutní etrém a průběh funkcí. Zaměřila jsem se na složitější příklad ze zadání bakalářskýchzkoušekzminulýchletadoplnilajsemjepříkladz[1]a[]. Čtvrtá kapitola je rozdělena podle tpů všetřovaných funkcí. Třetí kapitola je věnována užití etrémů v ekonomii. Graf funkcí jsou vtvořen v programu MAPLE. Celá práce je vsázena sstémeml A TEXε. 4

6 Kapitola 1 Teorie V této kapitole budou uveden základní definice a tvrzení týkající se všetřování etrémů a průběhu funkce. Věta1.NechťmáfunkcefnaotevřenémintervaluIvlastníderivaci.Pak platí: 1.FunkcefjeneklesajícínaIprávětehd,kdž f () 0naI..FunkcefjerostoucínaIprávětehd,kdž f () 0naI,přičemž rovnost f ()=0neplatínažádnémpodintervaluintervaluI. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 113. Důsledek. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakjefrostoucínaI. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakjefklesajícínaI. Definice3.Řekneme,žefunkce fmávbodě 0 : lokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), lokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 )je f() f( 0 ), ostrélokálnímaimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() < f( 0 ), ostrélokálníminimum,eistuje-li O( 0 )tak,žeprokaždé O( 0 ) \ { 0 } je f() > f( 0 ). Lokální maima a minima nazýváme souhrnně lokální etrém. 5

7 Věta4.Nechťmáfunkce fvbodě 0 lokálníetrémanechť f ( 0 )eistuje. Pak f ( 0 )=0. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 116. Věta5.Nechťjefunkce f spojitávbodě 0 amávlastníderivacivnějakémrzímokolí O( 0 ) \ { 0 }.Jestližeprovšechna O( 0 ), < 0,je f ( 0 ) > 0aprovšechna O( 0 ), > 0,je f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokálnímaimum.(obdobnétvrzeníplatíproostrélokální minimum). Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 117. Věta6.Nechť f ( 0 )=0.Je-li f ( 0 ) >0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostré lokálníminimum.je-li f ( 0 ) <0,pakmáfunkce fvbodě 0 ostrélokální maimum. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 118. Definice7.Buďfunkce fdefinovanánamnožině M.Eistuje-lina Mnejvětší(nejmenší) hodnota funkce f, nazýváme ji absolutním maimem(absolutním minimem) funkce f na M. Absolutní minima a maima souhrnně nazýváme absolutními etrém. Jestližeted 0 Maplatí f() f( 0 )provšechna M,říkáme,že funkce f mána Mabsolutnímaimumvbodě 0.Podobněproabsolutní minimum. Definice8.Řekneme,žefunkce fjekonvenínaintervalui,jestližeprolibovolnétřibod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři bod 1,, 3 Itakové,že 1 < < 3,platí f( ) f( 1 )+ f( 3) f( 1 ) 3 1 ( 1 ). Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice pojmů ostré konvenosti a ostré konkávnosti na intervalu I. 6

8 Věta9.Nechť f mávlastníderivacinaotevřenémintervalu I.Pakje f konvení(ostřekonvení)na I právětehd,kdžjefunkce f neklesající (rostoucí) na I. Analogickétvrzeníplatípro fkonkávní(ostřekonkávní)na Ia f nerostoucí (klesající) na I. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 14. Důsledek10.Nechť Ijeotevřenýintervalafmávlastnídruhouderivaci na I. (a)je-li f () >0prokaždé I,pakje fostřekonvenína I. (b)je-li f () <0prokaždé I,pakje fostřekonkávnína I. Definice11.Nechťmáfunkce fderivacivbodě 0 R.Je-litatoderivace nevlastní,předpokládámenavíc,žeje fspojitávbodě 0. Řekneme,že 0 jeinflenímbodemfunkce f,jestližeeistujeokolí O δ ( 0 ) takové,žefunkce f jeostřekonkávnínaintervalu( 0 δ, 0 )ajeostře konvenínaintervalu( 0, 0 +δ)anebonaopak.stručněříkáme,žefunkce f mávbodě 0 inflei. Věta 1. 1.Nechť 0 jeinfleníbodanechťeistuje f ().Pak f ()=0..Nechť f () =0aeistujeokolí O δ ( 0 )takové,žeplatí f () <0 prokaždé ( 0 δ, 0 )af () >0prokaždé ( 0, 0 + δ),nebo naopak.pakje 0 inflenímbodemfunkce f. 3.Nechť f ()=0af () 0.Pakje 0 inflenímbodemfunkce f. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 17. Definice13.Buď 0 R.Přímka = 0 senazýváasmptotoubezsměrnice funkce f,jestližemá fv 0 alespoňjednujednostrannoulimitunevlastní,tj. lim f()=± nebo lim f()=± Přímka =a+b, a, b Rsenazýváasmptotousesměrnicífunkce f, jestliže platí lim (f() (a+b))=0nebo lim (f() (a+b))=0. + 7

9 Věta14.Přímka = a+bjeasmptotoufunkce fpro tehd, kdž + právě f() lim + = a a lim (f() a)=b. + Analogickétvrzeníplatípro. Důkaz. Důkaz naleznete v[1] na straně 19. Důsledek15.Přímka = bjeasmptotoufunkce fpro + právě tehd, kdž lim f()=b.analogickétvrzeníplatípro. + 8

10 Kapitola Řešené příklad na lokální a absolutní etrém Příklad.1. Najděte lokální etrém funkce f: =lncos. Řešení:Funkcejedefinovánanamnožině,kdecos ( >0.Jednáseointerval π +kπ, π+kπ) pro k Z. Prvníderivacefunkce fje = sin. cos Bod,vekterýchbmohlnastatlokálníetrém,jsou =k π,kde k Z. Všetříme monotónnost funkce f- stačí na intervalu(0, π), funkce je totiž periodická. ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π, 3π 3π,π) + + klesající klesající rostoucí rostoucí Lokálníetrémtedmohounastatvbodech =kπ, k Z.Pro klichéale není funkce definována, proto jsou lokální etrém pouze v bodech = kπ, k Z.Jdeolokálnímaimaajejichfunkčníhodnota f(kπ)=lncoskπ=0. 9

11 Příklad.. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,3], f: =( )e. Řešení:Funkcejedefinovánanacelém R,jeteddefinovánainazkoumaném intervalu. Prvníderivacefunkceje = e (+1)( ).Nulovébodderivace jsou = 1a=.Všetřímeznaménkaderivacenazadanémintervalu: ( 3, 1) ( 1,) (,3) + klesající rostoucí klesající Lokálníetrémnastávajívbodech = 1a=.Jejichfunkčníhodnot jsou f( 1)= e. = 7,389(lokálníminimum)af()=e 4. =0,037 (lokální maimum). Abchom nalezli absolutní etrém, musíme vpočítat funkční hodnot v krajních bodech intervalu a porovnat je s nalezenými funkčními hodnotami lokálních etrémů. f( 3)=7e 6. =84 a f(3)=7e 6. =0,017 Absolutnímaimumfunkce fjevbodě = 3aabsolutníminimumfunkce fjevbodě = 1. Příklad.3.Najděteabsolutníetrémfunkce fnaintervalu[1,e], f: = ln. Řešení:Definičnímoboremfunkce fjemnožina D(f)=(0, ). Prvníderivacefunkce fje = (ln+1).nulovébodderivacejsou =0 a =e 1.Prvníztěchtobodůneležívdefiničnímoborufunkce fadruhý není ve zkoumaném intervalu. Funkčníhodnotvkrajníchbodechjsou f(1)=0af(e)=e.absolutní minimumnastávávbodě =1aabsolutnímaimumvbodě =e. 10

12 Příklad.4. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [0,5], f: = Řešení: Funkce je definována v každém bodě intervalu. Prvníderivacefunkce fje =5 ( 1)( 3).Bod,vekterých =0, jsou =0, =1a=3.Nnívšetřímemonotónnostfunkce f : (0,1) (1,3) (3,5) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě = 1jelokálnímaimum, jehožfunkční hodnota f(1) =,a vbodě =3jelokálníminimum,jehožfunkčníhodnota f(3)= 6.Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech: f(0)=1 a f(5)=66. Absolutnímaimumnastávávbodě =5aabsolutníminimumvbodě =3. Příklad.5. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 1,6], 3 f: = +. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ { }. První derivace funkce f je rovna = (4 ) 3 3 (+). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou =0 a = 4. Všetříme znaménka derivace: ( 1,0) (0,4) (4,6) + klesající rostoucí klesající Vbodě =0jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f(0)=0.vbodě =4jelokálnímaimum,jehofunkčníhodnotaje f(4). =0,4. V krajních bodech intervalu nabývá funkce hodnot: f( 1)=1 a f(6). =0,41. 11

13 Absolutnímmaimemfunkcenazadanémintervalujebod[, ]=[ 1,1] aabsolutnímminimemjebod[0,0]. Příklad.6. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [,], f: =(+1) 3 +( 1) 3. Řešení: Definičním oborem funkce f je celá množina R. Funkce je sudá, protože f( )=( +1) 3+( 1) 3=( 1) 3( 1) 3+( 1) 3(+1) 3= =( 1) 3+(+1) 3= f(). První derivace funkce je rovna = 3 (+1) ( 1)+ 3 ( 1) (+1). 3 (+1)( 1) Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebonenídefinovaná,jsou = 1, =0a=1.Všetřímeznaménkaderivace: (, 1) ( 1,0) (0,1) (1,) + + klesající rostoucí klesající rostoucí Vbodech = 1a=1jsoulokálníminimaseshodnýmifunkčnímihodnotami f( 1)=f(1)= 3 4. =1,59.Vbodě =0jelokálnímaimum,jehož funkčníhodnotajerovna f(0)=. Zbývá vpočítat funkční hodnot v krajních bodech zadaného intervalu. Protože je funkce sudá, budou obě hodnot stejné. f( )=f(). =3,08. Funkcemáabsolutnímaimavbodech = a=aabsolutníminima vbodech = 1a=1. Příklad.7. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 3,4], f: = Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {1}. První derivace funkce f je rovna = ( )( +1) ( 1). Nulovýmbodempředchozírovnicejenazadanémintervalupouzebod =. 1

14 Všetříme znaménka derivace: ( 3,) (,4) + klesající rostoucí Bod =jelokálnímminimemfunkce f.jehofunkčníhodnotajerovna f()=3. Nní vpočítáme hodnot funkce v krajních bodech intervalu: f( 3 )=4,5 a f(4). =9,67. Z vpočítaných hodnot snadno určíme, že absolutní minimum funkce f na intervalu[ 3,4]jevbodě =aabsolutnímaimumjevbodě =4. Příklad.8. Najděte lokální a absolutní etrém funkce f na intervalu [ 5, 1], f: = 1 3. Řešení: Definičním oborem funkce je množina R \ {0}. První derivace funkce f je rovna = 3 3. Nulovým bodem předchozí rovnice je na zadaném intervalu pouze bod = 3. = 1,6.Všetřímeznaménkaderivace: ( 5, 3 ) ( 3, 1) + klesající rostoucí Vbodě = 3 jelokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3 ). =1,89. Zbývá vpočítat hodnot funkce v krajních bodech: f( 5)=5,04 a f( 1)=. Lokálníminimumvbodě = 3 jezároveňabsolutnímminimem.absolutnímaimumnastávávbodě = 5. 13

15 Kapitola 3 Etrém v ekonomii Modelovým příkladem užití etrémů v ekonomii může být problém maimalizace užitku spotřebitele. Každého spotřebitele lze podle jeho preferencí charakterizovat nějakou užitkovou funkcí, která vjadřuje, jaký užitek mu přináší různé kombinace spotřebních statků. Jeho cílem je tento užitek maimalizovat. Ale spotřeba statkůjespojenaisurčitouújmou(obětí)veforměplatbzatentostatek. Množství peněžních prostředků spotřebitele je přitom omezené. Formální zápis této úloh b mohl vpadat například takto: ma[u( 1,..., n ); n p i i M, i 0], i=1 1,..., n množstvíjednotlivýchspotřebníchstatků u( 1,..., n ) užitkováfunkcespotřebitele p i jednotkovácenai téhostatku M množství peněžních prostředků spotřebitele Řešenímtétoúlohbblakombinacestatků 1,..., n,kterábudespotřebiteli při daném rozpočtovém omezení přinášet největší užitek. Eistuje mnoho dalších problémů k řešení- např. minimalizace nákladů firm, maimalizace zisku společnosti atd. V těchto úlohách jsou vesměs všetřován funkce více reálných proměnných, navíc s určitými podmínkami, tzn. jde o vázané etrém. Tto úloh se řeší jinými metodami, které přesahují rámec mé bakalářské práce, jež je primárně zaměřena na hledání etrémů a průběhu funkcí jedné reálné proměnné. Proto zde nebudu uvádět konktrétní řešené příklad. 14

16 Kapitola 4 Řešené příklad na průběh funkce V této kapitole budou řešen některé obtížnější úloh na průběh funkce. Pro přehlednost budou dělen podle tpu funkce. 4.1 Polnom Příklad 4.1. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ( 4) 3. 1.Definičníobordanéfunkceje D(f)=R.Snadnourčímeprůsečíkgrafu funkcesosami a.jezřejmé,žefunkceprocházípočátkem[0,0]a bodem[4,0].protože f( )= ( 4) 3 = (+4) 3,funkcenení ani sudá ani lichá.. Pro počítání derivací je vhodné zadanou funkci upravit = ( 4) 3 = První derivace funkce potom bude = =4( 1)( 4), odtudplne =0pro =1a=4.Všetřímeznaménkoderivace: (,1) (1,4) (4, ) + + klesající rostoucí rostoucí 15

17 Lokálníetrémnastávápouzevbodě =1,jdeolokálníminimuma jehofunkčníhodnota f(1)= Dále budeme všetřovat konvenost, konkávnost a hledat inflení bod. K tomu je potřeba vpočítat druhou derivaci. =1 7+96=1( 6+8)=1( )( 4). Všetříme znaménka derivace: (,) (,4) (4, ) + + konvení konkávní konvení Infleníbodjsouvbodech =a=4,jejichfunkčníhodnotjsou f()= 16af(4)=0. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5.Graffunkceje:

18 4. Racionální lomené funkce Příklad 4.. Všetřete průběh funkce f: = (+1)(4 3) + 3. Řešení: 1.Definičním oboremfunkce jemnožina R \ { 1,1} = (, 1) ( 1,1) (1, ).Průsečíksosou jsou [ 1,0] a [ 3,0] aprůsečík 4 sosou jebod[0,1].. V zadání funkce se vsktuje absolutní hodnota, proto je nutné funkcivšetřovatsohledemnato,zdaje 0nebo 0. (a)pro 0a 1mámefunkci Její derivace f 1 : = (+1)(4 3). + 3 = 6(3 7+) ( + 3). Bod,vekterýchjeprvníderivacerovnanule,jsou = 1 3 a =. Všetříme znaménka derivace: (0, 1) 3 (1,) (, ) rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožfunkční 3 hodnota f( 1)= 5,avbodě =nastáválokálníminimum,jehož 3 4 funkčníhodnotaje f()=5. (b)pro 0, 1mámefunkci Její derivace f : = (+1)(4 3). 3 = 14(+3) ( 3). Bod,vekterýchmůženastatlokálníetrém,jsou = 3a=0. 17

19 Opět všetříme znaménka derivace: (, 3) ( 3,0) + klesající rostoucí Vbodě = 3tednastáválokálníminimumsfunkčníhodnotou f( 3)= Pro všetřování infleních bodů, konvenosti a konkávnosti je rovněž potřeba rozlišovat, zda jsme na intervalu(, 0] nebo[0, ). (a)pro 0jedruháderivace = ( + 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou =1a = 1 6 ( ). =3,08.Znaménkaderivace: (0,1) (1, 1 6 ( )) ( 1 6 ( ), ) + konkávní konvení konkávní (b)pro 0jedruháderivace = 14( ) ( 3) 3. Bod,vekterýchmůženastatinflee,jsou = 1a = 1 ( ). = 4,7.Znaménkaderivace: (, 1 ( )) ( 1 ( ), 1) ( 1,0) + konkávní konvení konkávní 18

20 4.Vzhledemkdefiničnímuoborufunkce,kterýje(, 1) ( 1,1) (1, ), je jasné, že funkce bude mít dvě asmptot bez směrnice ato = 1, =1.Průběhfunkcevokolítěchtoasmptotvšetříme pomocí limit: lim f()=, 1 lim f()=, 1 + lim f()=, 1 lim f()=. 1 + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b: lim ± f() lim ± Asmptotasesměrnicíjeted =8. 5. Nní můžeme sestrojit graf: =0=a, [ f() a]= lim f()=8=b. ±

21 Příklad 4.3. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = 3 (+). 1. Definičním oborem funkce je množina R \ { }, funkce prochází počátkem.. Ve funkci se vsktuje absolutní hodnota, proto ji musíme všetřovat naintervalech(,0]a(0, )zvlášť. (a)pro >0mámefunkci Její první derivace je f 1 : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.protože anijedenztěchtobodůnesplňujepodmínku >0,budederivace na celém intervalu(0, ) buď pouze záporná nebo pouze kladná. Dosazenímlibovolnéhočíslaztohotointervaluzjistíme,že >0, zčehožplne,žefunkce fbudenaintervalu(0, )rostoucí. (b)pro 0mámefunkci Její první derivace je f : 3 (+). = (+6) (+) 3. Bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0nebobod,vekterých prvníderivaceneeistuje,jsou = 6, = a=0.všetříme znaménka derivace: (, 6) ( 6, ) (,0] + klesající rostoucí klesající 0

22 Lokálníetrémnastávávbodě = 6.Jetolokálníminimum, jehožfunkčníhodnotaje f( 6)= 16 =13,5.Vbodě = 16 lokální etrém nastat nemůže, protože funkce f není v tomto bodě definovaná.vbodě = 0nastáválokálníminimumsfunkční hodnotou f(0)=0. 3. Nní budeme všetřovat konvenost, konkávnost a inflení bod. (a)pro >0jedruháderivacefunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterých druháderivaceneeistuje,jsou = a=0.protožetto bodnespadajídointervalu(0, ),budefunkce fnacelémtomto intervalu buď pouze konkávní nebo pouze konvení. To zjistíme dosazením libovolného čísla z tohoto intervalu do druhé derivace funkce.jelikož >0,budefunkce fnaintervalu(0, )konvení. (b)pro 0mámedruhouderivacifunkce = 4 (+) 4. Bod,vekterýchjedruháderivacerovna0nebobod,vekterýchdruháderivaceneeistuje,jsou = a=0.všetříme znaménka derivace: (, ) (,0) + + konvení konvení 4. Asmptotou bez směrnice bude vzhledem k definičnímu oboru funkce přímka =. Všetříme chování funkce v okolí této přímk: lim f()=, lim f()=. + Zbývázjistit,zdamáfunkceasmptotsesměrnicí =a+b. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]= 4=b. 1

23 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = 4. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]=4=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = Nní můžeme sestrojit graf:

24 4.3 Goniometrické a cklometrické funkce Příklad 4.4. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =sin3 3sin. 1. Definičním oborem funkce je R, funkce je periodická s periodou π, protože f(+π)=sin(3+6π) 3sin(+π)=sin3 3sin=f(). Funkce je lichá, protože f( )=sin( 3) 3sin( )= sin3+3sin= f(). Průsečíksosou jsouvbodech =kπpro k Z.. První derivace funkce je =3cos3 3cos. Nulovébodtétorovnicejsou =k π derivace(stačí na intervalu(0, π)): pro k Z.Všetřímeznaménka ( ( 0, π π ), π) ( ) ( π,3 π 3 π,π) + + klesající rostoucí rostoucí klesající Takželokálníminimanastanouvbodech = π +kπ, k Z,jejich funkčníhodnota f( π +kπ)= 4alokálnímaimanastanouvbodech = 3π+kπ, k Z,jejichfunkčníhodnota f(3π+kπ)=4. 3. Druhá derivace funkce je = 9sin3+3sin. Nulovébodtétorovnicejsou =kπpro k Zabod,prokteréplatí sin =± 3,cožjsounaintervalu(0,360 )bod =55., =15., =35., =

25 Všetříme znaménka derivace: (0,55 ) (55,15 ) (15,180 ) (180,35 ) (35,305 ) (305,360 ) konkávní konvení konkávní konvení konkávní konvení Funkčníhodnotinfleníchbodůjsou f(k180 )=0,kde k Z, f(55 )=f(15 ). =,0, f(35 )=f(305 ). =,0. 4. Funkce f nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf: 6 4 π π π π 4 6 4

26 Příklad 4.5. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = +arccotg. 1.Definičnímoboremfunkceje R,průsečíksosou jebod[0, π].. První derivace funkce je =1 +1, bod,vekterýchjeprvníderivacerovna0,jsou = 1a = 1. Všetříme znaménka derivace: (, 1) ( 1,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vidíme,ževbodě =1nastáválokálníminimum,jehožhodnotaje f(1)=1+ π,avbodě = 1nastáválokálnímaimum,jehožhodnota je f( 1)= 1+ 3π. 3. Druhá derivace funkce je = 4 ( +1), rovnicejerovnanulepouzevbodě =0. (,0) (0, ) + konkávní konvení Bod =0jeinflenímbodem,zároveňiprůsečíkemsosou,jeho funkční hodnotu jsme spočítali výše. 4.Nníbudemezjišťovat,zdamáfunkceasmptot.Pro vpočítáme limit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=0=b. 5

27 Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka =. Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=π= b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = +π. 5. Nní sestrojme graf:

28 4.4 Eponenciální a logaritmické funkce Příklad 4.6. Všetřete průběh funkce Řešení: f: = ln. 1. Definičním oborem funkce je množina(0, ), funkce prochází bodem [1,0].. První derivace funkce je =ln +ln =ln (ln +). Jejínulovébodjsou =e. =0,14a=1.Všetřímeznaménka derivace na definičním oboru funkce: (0,e ) (e,1) (1, ) + + rostoucí klesající rostoucí Vbodě =e. =0,14nastáválokálnímaimum,jehofunkčníhodnota je f(e )=4e.Vbodě =1jelokálníminimum,jehožfunkční hodnotajerovna f(1)=0. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 1 (ln +1). Předchozírovnicenabývánulvbodě = e 1. = 0,37.Všetříme konvenost a konkávnost: (0,e 1 ) (e 1, ) + konkávní konvení 4. Funkce nemá žádné asmptot. K sestrojení funkce je vhodné všetřit její chování v krajním bodě definičního oboru. Vpočteme proto limitu funkcepro 0zprava: lim ln =

29 5. Nní můžeme sestrojit graf: Příklad 4.7. Všetřete průběh funkce Řešení: f: =( )e 1. 1.Definičnímoboremfunkcemnožina R\{0}.Průsečíksosou jevbodě =.. První derivace funkce je rovna =e 1 +. Nulovébodjsou = a = 1.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: (, ) (,0) (0,1) (1, ) + + rostoucí klesající klesající rostoucí 8

30 Lokálnímaimumnastávávbodě =,jehofunkčníhodnotaje f( )= 4e 1. = 6,6.Vbodě =1jelokálníminimumsfunkční hodnotou f(1)= e 1. = 0,4. 3.Druháderivacefunkce fje = 1 4e 1 (5 ). Nulovýboddruhéderivaceje = 5.Všetřímeznáménkaderivace nadefiničnímoborufunkce f: Vbodě = 5 nastáváinflee. (,0) (0, 5 ) ( 5, ) + konkávní konkávní konvení 4.Budemehledatasmptotsesměrnicívetvaru = a+b: lim ± f() lim ± =1=a, [ f() ]= 3=b. Asmptotasesměrnicífunkce fje = 3.Zbývávšetřitchování funkcevbodě =0,vekterémnenífunkce fdefinovaná. lim f()=0, 0 + lim f()=. 0 9

31 5. Nní můžeme sestrojit graf: Mocninné funkce Příklad4.8.Všetřeteprůběhfunkce fnaintervalu[0,3], Řešení: f: =(3 ). 1.Funkcemádvaprůsečíksosou atobod =0a=3.Funkceje spojitávkaždémboděintervalu[0,3].. První derivace funkce je tvaru = 3(1 ). Bod,vekterémmůženastatnazadanémintervaluetrém,je =1. 30

32 Všetříme monotónnost funkce: (0,1) (1,3) + rostoucí klesající Vbodě =1jelokálnímaimumsfunkčníhodnotou f(1)=. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 4 (+1). Předchozí rovnice nemá na všetřovaném intervalu žádné nulové bod. Dosazenímlibovolnéhočíslazintervalu[0,3]zjistíme,že <0.To znamená,žefunkce fbudenacelémintervalu[0,3]konkávní. 4. Funkce nemá žádné asmptot. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

33 Příklad 4.9. Všetřete průběh funkce 3 f: =. Řešení: 1.Vpočítámedefiničníoborfunkce f.vjdemeztoho,ževýrazpododmocninou musí být nezáporný a jmenovatel ve zlomku se nesmí rovnat nule.definičníoborbudemnožina(,0] (, ).. První derivace funkce je tvaru = ( 3) ( ) ( ). Bod, ve kterých je první derivace nulová nebo ve kterých není definovaná,jsoukrajníboddefiničníhooboru =0a=abod =3. Všetříme monotónnost funkce na D(f): (,0) (,3) (3, ) + klesající klesající rostoucí V bodě = 3 nastává lokální minimum. Jeho funkční hodnota je. f(3) = 5,. 3. Druhá derivace funkce je rovna = 3 ( ) 5. Druhá derivace není definovaná v krajních bodech definičního oboru. Všetříme znaménka derivace na D(f): (,0) (, ) + + konvení konvení 3

34 4.Budemehledatasmptotsesměrnicífunkce fvetvaru = a+b: Pro vpočítámelimit: lim f() lim =1=a, [ f() ]=1=b. Takžeasmptotasesměrnicípro jepřímka = +1. Pro vpočítámelimit: f() lim = 1=a, lim [ f()+]= 1=b. Asmptotasesměrnicípro jepřímka = 1. Nní všetříme, jak se bude funkce f chovat v krajních bodech definičníhooboru D(f): lim f()=0, 0 lim f()=. + Z poslední počítané limit plne, že funkce f bude mít asmptotu bezsměrnicevetvaru =. 5. Nní můžeme sestrojit graf:

35 Literatura [1] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarkova univerzita, Brno 004 [] Jirásek F., Kriegelstein E., Tichý Z.: Sbírka řešených příkladů z matematik, 3.vdání, SNTL, Praha 1987, s [3] Studijní materiál předmětu Kvantitativní ekonomie vučovaného na Přírodovědecké fakultě pod kódem E5340. [4]RbičkaJ.:L A TEXprozačátečník,3.vdání,KONVOJ,Brno003 [5]LomtatidzeL.,PlchR.:SázímevL A TEXudiplomovouprácizmatematik, 1.vdání, Masarkova univerzita, Brno