LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

Transkript

1 Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce nabývá vzhledem k jejímu okolí největší nebo nejmenší hodnoty. V těchto bodech se funkce mění z rostoucí na klesající či naopak z klesající na rostoucí. ) y lokální maimum t E ma k t = tg o = = f ( ) y = f() E min k t = tg o = = f ( ) t lokální minimum Důležité je nyní to, že v bodech E ma a E min lze ke grafu funkce sestrojit tečny (t) rovnoběžné s osou. Směrové úhly těchto tečen jsou nulové směrnice těchto tečen jsou také nulové první derivace funkce v takovýchto bodech jsou rovněž nulové (f ( ) = ). SHRNUTÍ!!! ) f ( ) má v bodě etrém (maimum nebo minimum). ) V bodě derivace funkce f ( ) mění znaménko (z + na, nebo z na +). f ( )

2 ) y toto nejsou tečny (u špic nehovoříme o tečnách) E ma y = f() E min toto nejsou tečny (u špic nehovoříme o tečnách) SHRNUTÍ!!! f () má v bodě etrém (maimum nebo minimum). f ( ) neeistuje ) y konkávní (vydutá) inflení bod y = f() I inflee = ohnutí, ohyb konvení (vypuklá)

3 SHRNUTÍ!!! Inflení body jsou takové body, ve kterých funkce mění křivost z vyduté na vypuklou, nebo naopak. Inflení body určíme pomocí druhé derivace. ) V bodě ) f () nemá v bodě etrém. derivace funkce f ( ) f ( ) nemění znaménko. Závěr: Funkce může mít lokální etrém jen v bodě neeistuje., v němž je ( ) f nebo v němž derivace Derivace v bodě, v němž má funkce etrém mění znaménko; mění-li se znaménko z + (funkce roste) na (funkce klesá), pak má funkce v tomto bodě lokální maimum; mění-li se znaménko z (funkce klesá) na + (funkce roste), pak má funkce v tomto bodě lokální minimum. Inflení body jsou body, ve kterých funkce mění křivost z vyduté na vypuklou, či naopak. Nyní si uveďme přehled nejdůležitějších tvrzení: Je-li ( ) f je funkce f () rostoucí pro daná. je funkce f () rostoucí ( a; Je-li f ( ) ( a; Je-li ( ) f je funkce f () klesající pro daná. Je-li f ( ) ( a;. je funkce f () klesající ( a; f ( má funkce () Je-li ) f ( ). f v bodě lokální maimum. Je-li f ( ) f ( ) má funkce f () v bodě lokální minimum. Je-li f ( ) má funkce f () v bodě inflení bod. je funkce f () ryze konvení ( a; Je-li f ( ) ( a; Je-li f ( ) ( a;. je funkce f () ryze konkávní ( a;.

4 Řešené příklady: Příklad Najděte lokální etrémy funkce f : y. ) Určíme definiční obor funkce. D( f ) R ) Vypočteme první derivaci funkce - použijeme základní vzorce pro derivování mnohočlenu. y ( ) ( )( ) ) Vypočteme nulové body první derivace (tj. první derivaci položíme rovnu nule). Získáme body, v nichž může mít daná funkce etrém. y ( )( ) nulové body (v těchto bodech může být etrém) Dále můžeme postupovat dvěma různými způsoby:. způsob: je y (funkce roste) a pro která je y ) Určíme, pro která D( f ) (funkce klesá). Použijeme metody nulových bodů na číselné ose. Určíme intervaly monotónnosti a v podstatě na základě změny znaménka první derivace, zjistíme, zda má funkce v příslušném nulovém bodě etrém. y : funkce: klesá roste klesá roste minimum maimum minimum 5) Vyslovíme závěr: Funkce f má lokální minimum v bodech () a. Funkce f má lokální maimum v bodě.

5 . způsob: ) Využijeme věty: f ( má funkce () Je-li ) f ( ) f v bodě lokální maimum. Je-li f ( ) f ( ) má funkce f () v bodě lokální minimum y ( ) ( )( ) výsledek první derivace z kroku obecně y... výsledek druhé derivace obecně (získáme jej dalším derivováním vhodného výsledku první derivace) Vypočteme druhou derivaci v bodech, v nichž může být etrém (v nulových bodech první derivace). Do obecného výsledku druhé derivace dosadíme nulové body první derivace a zjistíme, zda výsledek druhé derivace je kladný nebo záporný. Podle toho pak určíme minimum (kladná druhá derivace) nebo maimum (záporná druhá derivace). y () lokální maimum v bodě y () 8 lokální minimum v bodě y ( ) ( ) 8 lokální minimum v bodě ( ) Příklad Určete inflení body funkce z předchozího příkladu. ) Původní funkční předpis: f : y ) Výsledek první derivace: y ) Výsledek druhé derivace: y ) Využijeme věty: Je-li f ( ) má funkce f () v bodě inflení bod

6 y, funkce má inflení body pro, Příklad Určete lokální etrémy, intervaly monotónnosti a inflení body funkce f : y. ) Určíme definiční obor funkce. D( f ) R ) Vypočteme první derivaci funkce - použijeme základní vzorce pro derivování mnohočlenu. y ( )( ) ) Určím nulové body první derivace. y y ( )( ) nulové body (body, v nichž může být etrém) ) Na číselné ose vyznačíme nulové body první derivace a metodou nulových bodů určíme intervaly monotónnosti funkce. y : funkce: roste klesá roste maimum minimum 6

7 Funkce f roste pro ( ; ) (; ) Funkce f klesá pro (; ).. 5) Vypočteme druhou derivaci funkce (derivováním vhodného obecného výsledku první derivace). y y ( ) 6) Vypočteme druhou derivaci v bodech podezřelých z etrémů (tj. v nulových bodech první derivace). y ( ) ( ) lokální maimum v bodě ( ) y ( ) lokální minimum v bodě 7) Inflení body funkce určíme pomocí druhé derivace funkce, kterou položíme rovnu nule a rovnici vypočteme. y funkce má inflení bod pro Příklad Určete lokální etrémy funkce f : y 6 8. ) Určíme definiční obor funkce. D( f ) R ) Vypočteme první derivaci funkce - použijeme základní vzorce pro derivování mnohočlenu. y ( ) ) Určím nulové body první derivace. Abychom je vypočetli, pokusíme se odhadnout některý kořen trojčlenu tj. kořen rovnice. Jedním z kořenů rovnice je číslo, proto budeme trojčlen dělit výrazem. Zopakujeme si tak, jak probíhá dělení mnohočlenu mnohočlenem (učivo. ročníku SŠ). 7

8 ( ) : ( ) zbytek (dělení beze zbytku) lze rozložit trojčlen na součin kořenových činitelů takto ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) výsledek první derivace lze celkově zapsat: y 6 ( ) ( ) y 8 y ( ) ( ) ( nulové body (body, v nichž může být etrém) ) ) Vypočteme druhou derivaci funkce (derivováním vhodného obecného výsledku první derivace). y 8 y ( 8) 5) Vypočteme druhou derivaci v bodech podezřelých z etrémů (tj. v nulových bodech první derivace). y y () není etrém v bodě (je tam inflení bod) y ( ) ( ) 8 6 lokální minimum pro 8

9 Příklad 5 Najděte inflení body funkce f : y 6 8 z předchozího příkladu.. Inflení body funkce určíme pomocí druhé derivace funkce, kterou položíme rovnu nule a rovnici vypočteme. Využijeme již známých výpočtů v předchozím příkladě. y funkce má dva inflení body, a to pro a, Úlohy k procvičování ) Určete lokální etrémy a inflení body funkce f : y 9 5. ) Vyšetřete lokální etrémy a inflení body funkce f : y 7. ) Určete lokální etrémy funkce f : y. ) Určete lokální etrémy funkce f : y 8. 5) Určete lokální etrémy a inflení body funkce f : y 6) Určete lokální etrémy funkce f : y. 7) Určete lokální etrémy funkce f : 8) Určete lokální etrémy a inflení body funkce y. f : y.. Použitá literatura: Výukové materiály a úlohy a cvičení jsou autorsky vytvořeny pro učební materiál. M. Dostálová, D. Pešatová: Matematika 7. část - učební materiály SPŠ Ostrava Vítkovice D. Hrubý, J. Kubát: Matematika pro gymnázia - Diferenciální a integrální počet, Prometheus 997 I. Dušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, SPN 988 9