4 Soustavy lineárních rovnic

Transkript

1 4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (1) kde a ij, b i pro i = 1,..., m, j = 1, 2,..., n jsou daná čísla. Hledáme n-tici čísel (reálných nebo komplexních) (v 1, v 2,..., v n ) takovou, že po dosazení v i za x i do 1 dostaneme identity. Označujeme-li A = pak ( 1) lze zapsat ve tvaru a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn, x = x 1 x 2... x n, b = b 1 b 2... b m, Ax = b, (2) Matice A se nazývá matice soustavy ( 1), matice b se nazývá sloupec pravých stran a matice x se nazývá matice neznámých. Matice A a b zapisujeme také společně jako jednu matici, označujeme ji A b, v níž poslední sloupec tvoří sloupec pravých stran a při jejím zápisu pomocí prvků oddělujeme poslední sloupec svislou čarou, tj. A b = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Matice A b se nazývá rozšířená matice soustavy. Je-li matice pravých stran b nulová, nazývá se taková soustava homogenní, je-li alespoň jedno z čísel b i, i = 1, 2,..., m nenulové, mluvíme o nehomogenní soustavě. Pojem řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 1

2 Na soustavě dvou rovnic se dvěma neznámými x, y a 11 x + a 12 y = b 1, a 21 x + a 22 y = b 2 si ukážeme tři možnosti pro řešitelnost soustavy lineárních rovnic. (a) Soustava má jediné řešení. Například soustava x + y = 3 x y = 1 ( 1 1 má jediné řešení x = (2, 1) T. Vidíme, že det 1 1 je regulární. ) = 2 0, tj. matice soustavy Jestliže x a y považujeme za souřadnice bodu v rovině, pak každá rovnice soustavy vyjadřuje přímku v rovině. Dvojice v 1, v 2 je řešením soustavy, právě když bod [v 1, v 2 ] leží na obou přímkách. y y x + y = 3 x y = 1 [2, 1] x x + y = 3 2x + 2y = x Obrázek 1: Obrázek 2: V našem případě mají obě přímky společný bod [2, 1] - viz obr. 1. (b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. Například soustava x + y = 3 2x + 2y = 6 obsahuje dvě rovnice, z nichž druhá je dvojnásobkem první. Druhá rovnice tedy nedává žádnou novou informaci o dvojici neznámých x, y, a proto ji můžeme vynechat. Tím se soustava redukuje na jednu rovnici se dvěma neznámými. Jejím řešením je nekonečně mnoho dvojic, pro něž platí y = 3 x, ( 1 1 např. (1, 2) T, (2, 1) T, ( 1, 4) T atd. Vidíme, že det 2 2 je singulární. Geometricky vyjadřují obě rovnice tutéž přímku (viz obr. 2). 2 ) = 0, tj. matice soustavy

3 (c) Soustava nemá řešení. Například soustava x + y = 3 2x + 2y = 4 nemá řešení, neboť levá strana 2. rovnice je dvojnásobek( levé strany ) 1. rovnice, pro 1 1 pravé strany však uvedený vztah neplatí. Vidíme, že det = 0. Geometricky 2 2 y x + y = x + 2y = 4 x Obrázek 3: vyjadřují obě rovnice dvě různé rovnoběžné přímky (nemají společný bod) viz obr.3. Poznámka Řešit soustavu znamená najít všechna její řešení, popř. zjistit, že je neřešitelná. Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, řešit soustavu znamená uvést předpis, podle něhož lze vyjádřit jednotlivé neznámé. V předchozím příkladě (b) lze tento předpis uvést ve tvaru x = t, y = 3 t, t R. Geometricky řečeno, zapsali jsme přímku x + y = 3 v parametrickém tvaru. 4.2 Metody řešení soustav lineárních rovnic Elementární úpravy matice Mějme dánu soustavu lineárních rovnic tvaru (1) s maticí soustavy A = (a ij ) typu (m, n). Elementárními úpravami matice A budeme rozumět kteroukoli z následujících úprav: přehození i-tého a j-tého řádku; vynásobení i-tého řádku nenulovým číslem; přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. 3

4 Elementárními úpravami matice A vznikne matice B. O maticích A a B říkáme, že jsou ekvivalentní. Značíme A B. Lze dokázat, že elementárními úpravami matice soustavy získáme soustavu rovnic, která má stejné řešení. Elementární úpravy aplikované na matici soustavy jsou tedy takové úpravy, které nemění řešení soustavy. Poznámka Někdy se za elementární úpravy považuje i vyškrtnutí nulového řádku. Tato úprava však mění typ matice, a proto ji za elementární úpravu nebudeme považovat. Další pojem, který zavedeme je matice ve stupňovitém tvaru. Řekneme, že matice A je ve stupňovitém tvaru, jestliže platí: Je-li v některém řádku prvek na i-tém místě první nenulový, potom ve všech dalších řádcích jsou všechny prvky až do i-tého včetně rovny nule Gaussova eliminační metoda Proces Gaussovy eliminace budeme při řešení soustavy lineárních rovnic realizovat na prvky rozšířené matice soustavy. Uvedeme paralelně dva způsoby vylučování neznámých, jednak přímo v soustavě, jednak s prvky rozšířené matice soustavy. Cílem úprav je převést rozšířenou matici soustavy do stupňovitého tvaru. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 2x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 1 +x 2 +5x 3 = krok Ze všech rovnic, kromě první, vyloučíme neznámou x 1. U rozšířené matice soustavy to znamená, že chceme, aby v pozicích (2, 1) a (3, 1) byly nulové prvky. První řádek opíšeme a postupně jej násobíme číslem 2 a přičteme ke druhému řádku, číslem 1 a přičteme ke třetímu řádku. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 5x 2 x 3 = 8 2x 2 +4x 3 = krok Vyloučíme x 2 ze třetí rovnice. U rozšířené matice soustavy násobíme druhý řádek číslem 2 5 a přičteme ke třetímu řádku. Tím dostaneme v pozici (3, 2) nulový prvek. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 5x 2 x 3 = 8 22 x 5 3 = (3) Rozšířená matice soustavy ( 3) je již ve stupňovitém tvaru. Proces Gaussovy eliminace je u konce. Soustavu ( 3) již snadno vyřešíme zpětným dosazením: 22 5 x 3 = 44 5 x 3 = 2 5x 2 x 3 = 8 x 2 = 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 x 1 = 1. 4

5 Řešením je trojice čísel (1, 2, 2) T. O správnosti řešení se můžeme přesvědčit dosazením trojice do dané soustavy. Dalšími dvěma příklady budeme ilustrovat použití Gaussovy eliminace pro případ soustavy, která má nekonečně mnoho řešení, a pro případ neřešitelné soustavy. Řešme soustavu x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 +x 4 = 3 x 1 +3x 2 3x 4 = 1 7x 2 +3x 3 +x 4 = 3. V tomto příkladě již budeme vylučovat neznámé Gaussovou eliminací pouze v rozšířené matici soustavy. Rozšířenou matici soustavy A b = převedeme Gaussovou eliminací na matici Rozšířená matice soustavy má po eliminaci jeden řádek nulový a ten odpovídá rovnici 0 x x x x 4 = 0, která je splněna identicky, tj. platí pro libovolnou čtveřici čísel, a proto ji můžeme vynechat. Ekvivalentní soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 +x 4 = 3 x 3 2x 4 = 6. (4) Chceme zjistit výsledný tvar řešení. Převedeme soustavu ( 4) na tvar x 1 2x 2 +3x 3 = 4 +4x 4, x 2 x 3 = 3 x 4, x 3 = 6 +2x 4. Jestliže do této soustavy dosadíme x 4 = t, t R, dostaneme soustavu, kterou již umíme řešit zpětným dosazením. 5

6 Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru x 1 = 8, x 2 = 3 + t, x 3 = 6 + 2t, x 4 = t, t R, např. [ 8, 4, 8, 1], [ 8, 3, 6, 0], apod. Řešme soustavu Rozšířenou matici soustavy upravíme eliminací na tvar x 1 +2x 2 +3x 3 = 4 2x 1 +x 2 x 3 = 3 3x 1 +3x 2 +2x 3 = 10 A b = Ekvivalentní soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x 1 +2x 2 +3x 3 = 4 3x 2 +7x 3 = 5 0 x 3 = 3. Neexistuje x 3 takové, aby byla splněna poslední rovnice vzniklé soustavy. Daná soustava je tudíž také neřešitelná Podmínky řešitelnosti soustavy lineárních rovnic Při realizaci Gaussovy eliminace lze zároveň rozhodnout o řešitelnosti a jednoznačnosti řešení soustavy. Pomocí matice a rozšířené matice soustavy můžeme vyslovit obecné podmínky řešitelnosti a jednoznačnosti řešení. Každé matici A přiřadíme celé nezáporné číslo h(a), které nazýváme hodnost matice a definujeme jako počet nenulových řádků v matici, kterou dostaneme převedením matice A do stupňovitého tvaru. Vraťme se nyní k příkladům z předcházejícího odstavce a zkusme formulovat podmínky řešitelnosti uvedených soustav pomocí hodnosti matice soustavy a hodnosti matice rozšířené. 6

7 1. V příkladě 3.2, kde soustava měla jediné řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru A b = Matice soustavy i rozšířená matice mají 3 nenulové řádky, a proto mají obě hodnost 3, tj. h(a) = h(a b) = V příkladě 3.3, kde soustava měla nekonečně mnoho řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru Zde je h(a) = h(a b) = 3. Připomeňme, že šlo o soustavu, která má čtyři neznámé. 3. V příkladě 3.4, kde soustava neměla řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru V tomto případě je h(a) = 2, h(a b) = 3. V uvedených příkladech je zajímavé si všimnout vztahu mezi hodností matice soustavy a hodností matice rozšířené. U řešitelné soustavy (případ 1. a 2.) platí h(a) = h(a b), u neřešitelné (případ 3.) je h(a) h(a b). Tyto vlastnosti platí obecně a lze je shrnout do následující tabulky (n v tabulce značí počet neznámých dané soustavy lineárních rovnic). Tvar soustavy Podmínky h(a) = h(a) = h(a) < h(a b) = h(a b) = n = h(a b) < n Řešitelnost Existuje jediné Existuje nekonečně Neexistuje řešení mnoho řešení řešení 7

8 Tab Cramerovo pravidlo Pro ilustraci Cramerova pravidla vyřešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. Vynásobíme první rovnici číslem a 22, druhou rovnici číslem a 12 a obě rovnice sečteme. Vyloučíme tak proměnnou x 2 a dostaneme jednu rovnici pro neznámou x 1 Je-li pak (a 11 a 22 a 12 a 21 )x 1 = a 22 b 1 a 12 b 2. a 11 a 22 a 12 a 21 0, x 1 = a 22b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21. Obdobně dostaneme (vyloučením proměnné x 1 ) x 2 = a 11b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21. Vzorce pro x 1 a x 2 můžeme přepsat pomocí determinantů na tvar b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 = a 11 a 12, x 2 = a 21 a 22 a 11 a 12. a 21 a 22 Uvedené vzorce jsou speciálním případem tzv. Cramerova pravidla. Uvažujme soustavu n rovnic o n neznámých Ax = b (matice soustavy A je čtvercová) s regulární maticí soustavy A (tj. det A 0). Potom řešení soustavy můžeme vyjádřit pomocí determinantů ve tvaru x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A,..., x n = det A n det A, (5) kde A k, k = 1, 2,..., n, je matice, která vznikne z matice A nahrazením jejího k-tého sloupce sloupcem pravých stran. Vzorce ( 5) se nazývají Cramerovo pravidlo. Ve srovnání s ostatními metodami řešení soustav lineárních rovnic (v numerické matematice) je Cramerovo pravidlo pro n > 3 mnohem pracnější a časově náročnější. 8

9 Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu Matice soustavy je čtvercová a det A = 4x 1 +x 2 x 3 = 2, x 2 +x 3 = 10, 2x 1 +3x 2 2x 3 = = 4 0, proto můžeme Cramerovo pravidlo použít. Vypočteme tedy postupně determinanty det A 1, det A 2, a det A det A 1 = = 8, det A = = 32, det A 3 = = 8. Podle ( 5) je tedy x 1 = 8 4 = 2, x 2 = 32 4 = 8 x 3 = 8 4 = 2. Poznámka Ze vzorců ( 5) můžeme také odvodit jeden výsledek týkající se řešení homogenní soustavy s regulární maticí soustavy. U homogenní soustavy jsou det A k = 0 pro k = 1, 2,..., n a soustava má tedy vždy jen nulové (tzv. triviální) řešení. 4.3 Soustavy lineárních rovnic s parametrem Budeme se zabývat soustavou lineárních algebraických rovnic Ax = b (homogenní i nehomogenní), v níž některé z prvků a ij, b i nejsou udána jako čísla, ale jako parametry, které mohou nabývat libovolných hodnot z dané číselné množiny. Hodnost matice i rozšířené matice takové soustavy závisí obecně na hodnotách parametru, a proto na hodnotách parametru závisí i existence či neexistence řešení. U soustav s parametrem je třeba nejdříve provést rozbor a teprve pak hledat příslušná řešení soustavy, pokud existují. 9

10 Proveďte rozbor existence řešení soustavy lineárních rovnic x 1 +px 2 +3x 3 = 1 2x 1 +x 2 +px 3 = 3 x 1 5x 2 7x 3 = 0 (6) v závislosti na parametru p R a najděte všechna její řešení. Řešení: Nejprve zjistíme, pro které hodnoty parametru p je matice soustavy regulární. Stanovíme proto det A: det A = 1 p p = (p 2)(p 17). Matice A je regulární, právě když det A 0, tj. když p 2 a p 17. Musíme tedy vyšetřit zvlášť tři případy. 1. Pro hodnoty parametru p 2 a p 17 můžeme hledat řešení soustavy např. pomocí Cramerova pravidla: 1 p 3 det A 1 = 3 1 p = 26(2 p), det A 2 = 2 3 p = 2 p, 1 p 1 det A 3 = = 3(2 p) Odtud x 1 = 26(2 p) (p 2)(p 17) = p, x 2 = (2 p) (p 2)(p 17) = 1 17 p, pro p 2 a p 17. x 3 = 3(2 p) (p 2)(p 17) = 3 17 p 2. Pro hodnotu parametru p = 2 je det A = 0 a Cramerovo pravidlo tedy nelze použít. Gaussovou eliminací dostaneme, že rozšířená matice soustavy ( 6) má tvar

11 a soustava tedy má nekonečně mnoho řešení ve tvaru x 1 = t, x 2 = t, x 3 = t, t R. 3. Pro hodnotu parametru p = 17 má rozšířená matice soustavy ( 6) tvar Vidíme, že hodnost matice soustavy je menší než hodnost rozšířené matice soustavy, a tedy soustava nemá řešení. Proveďte rozbor existence řešení soustavy lineárních rovnic x +y +2z +2t = 2 x +2y +3z +t = 3 x +z +3t = a (7) v závislosti na parametru a R a najděte všechna její řešení. Řešení: Tuto soustavu nelze řešit postupem z předchozího příkladu, protože matice soustavy není čtvercová. Použijeme tedy Gaussovu eliminaci. Po úpravě dostaneme rozšířenou matici soustavy ve tvaru a 1 1. Pro a = 1 je hodnost matice soustavy stejná jako hodnost matice rozšířené a je rovna 2. Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru x = 1 3p q, y = 1 + p q, z = q, t = p, p, q R. 2. Pro a 1 nemá soustava řešení, protože hodnost matice soustavy je 2, kdežto hodnost matice rozšířené je 3. 11

12 4.4 Výpočet inverzní matice Výpočet inverzní matice eliminací Na obecné regulární matici A třetího řádu ukážeme, že prvky inverzní matice lze určit modifikovanou Gaussovou eliminací. Označíme prvky matice A a A 1 : A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, A 1 = Naším úkolem je najít matici A 1 takovou, aby x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 (8) AA 1 = A 1 A = I, (9) kde I je jednotková matice. Rovnost AA 1 = I lze rozepsat pomocí tří rovností takto: a 11 a 12 a 13 x 11 1 a 21 a 22 a 23 x 21 = 0, a 31 a 32 a 33 x 31 0 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 12 x 22 x 32 x 13 x 23 x 33 = = Máme tedy tři soustavy rovnic se stejnou maticí soustavy A. O matici A víme, že je regulární, všechny tři soustavy mají tedy jediné řešení. Neznámé v soustavách jsou prvky inverzní matice A 1. Řešením první soustavy dostaneme prvky x 11, x 21, x 31, řešením druhé soustavy prvky x 12, x 22, x 32 a řešením třetí soustavy prvky x 13, x 23, x 33. Použijeme-li pro řešení všech tří soustav (se stejnou maticí soustavy) Gaussovu eliminační metodu, můžeme eliminaci provádět současně tak, že vytvoříme modifikovanou rozšířenou matici soustavy ve tvaru a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 } {{ } (1) } {{ } (2) , (10). (11) Gaussovu eliminační metodu můžeme modifikovat tak, aby v rozšířené matici soustavy ( 11) na místě matice A (v ( 11) je toto místo označeno (1)) vznikla jednotková matice. Na místě jednotkové matice (označeno (2)) pak vznikne matice inverzní. Tato modifikace Gaussovy eliminace se nazývá Jordanova metoda, jejíž princip se dá charakterizovat v několika krocích: 12

13 1. Vytvoříme rozšířenou matici ( 11). 2. V ní eliminujeme známým postupem prvky pod diagonálou (GEM). Analogickým postupem eliminujeme i prvky nad diagonálou. 3. Dělíme řádek, pomocí něhož jsme provedli eliminaci, jeho diagonálním prvkem. Tímto algoritmem dostaneme a) na místě původní matice A matici jednotkovou, b) na místě jednotkové matice matici inverzní A 1. Jordanovou metodou určete inverzní matici k matici A = Řešení: Vytvoříme rozšířenou matici A I = krok Známým postupem dostaneme v pozicích (2, 1) a (3, 1) nulové prvky krok Stejným postupem eliminujeme prvek v pozici (3, 2) a dostaneme matici K dokončení úpravy druhého sloupce k prvnímu řádku přičteme druhý řádek a tím eliminujeme prvek v pozici (1, 2):

14 Pomocí násobků třetího řádku eliminujeme dva prvky třetího sloupce v pozicích (1, 3) a (2, 3): krok Poslední krok spočívá v převedení matice, která je na místě původní matice A, na jednotkovou. První a třetí řádek vydělíme 4, druhý řádek 4: Hledaná inverzní matice má tedy tvar A 1 = Tím jsme vyřešili současně všechny tři soustavy rovnic ( 10). Správnost výsledku můžeme ověřit platností rovností AA 1 = I, A 1 A = I Výpočet inverzní matice pomocí determinantu Věta Nechť A = (a ij ), i, j = 1,..., n, je regulární matice řádu n. Pak A 1 = 1 det A D 11, D 21,..., D n1 D 12, D 22,..., D n2... D 1n, D 2n,..., D nn, (12) kde D ij je algebraický doplněk prvku a ij (viz (??). Důkaz Označme AA 1 = C = (c ij ). Ověříme, že matice C je jednotková. Podle definice součinu matic je c ij = 1 det A (a i1d j1 + a i2 D j2 + + a in D jn ). Je-li i = j, pak podle (??) je a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in = det A, 14

15 a tedy c ii = 1 pro i = 1, 2,..., n. Je-li i j, pak součet a i1 D j1 + a i2 D j2 + + a in D jn představuje rozvoj determinantu (podle i-tého řádku) matice, která vznikla z matice A nahrazením j-tého řádkového vektoru i-tým řádkovým vektorem. Jde tedy o determinant matice, která má dva řádky stejné a to znamená, že determinant je roven nule, takže c ij = 0 pro i j. Matice C je tedy jednotková. Analogicky se dokáže, že také BA je jednotková matice. Pro matici druhého řádu je podle (??) a tedy podle (12) ( ) a11, a A = 12 a 21, a 22 D 11 = a 22, D 12 = a 21, D 21 = a 12, D 22 = a 11, A 1 = 1 ( a22, a 12 det A a 21, a 11 ). Poznámka Vzorec ( 12) je pro praktický výpočet inverzní matice vhodný pouze u matic nejvýše třetího řádu. Pro matice čtvrtého řádu vyžaduje výpočet jednoho determinantu čtvrtého řádu a šestnácti determinantů třetího řádu. 15