GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

Transkript

1 GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. Mnohostěny mají stěny, hrany a vrcholy např. krychle, jehlan, atd. Rotační tělesa vznikají rotací rovinného útvaru, nemají stěny, hrany a vrcholy např. válec, koule, atd. Mnohostěny Mnohostěn je část prostoru, která je ohraničena několika mnohoúhelníky. Je to těleso (n-stěn), jehož hranicí je sjednocení n-mnohoúhelníků, u kterých strana každého z nich je zároveň stranou sousedního mnohoúhelníku a žádné dva sousední mnohoúhelníky neleží v téže rovině. 1 Tyto mnohoúhelníky se nazývají stěny mnohostěnu, jejich vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu a jejich strany jsou hrany mnohostěnu. Tak jako mnohoúhelníky můžeme i mnohostěny rozdělit na konvexní (Obr. 1) a nekonvexní (Obr. 2). Konvexní mnohostěn obsahuje s každými dvěma svými body X, Y i celou úsečku XY. Pro nekonvexní mnohostěny to neplatí. Obr 1 Konvexní n-úhelník Obr. 2 Nekonvexní n-úhelník Pro konvexní mnohostěny platí Eulerova věta: V konvexním mnohostěnu je součet počtu stěn a počtu vrcholů roven počtu hran zvětšeném o dvě, tj. platí: s + v = h + 2. Tento vztah mohou žáci snadno odvodit sami. Stačí si jen vypsat dostatečné množství těles a jejich stěny, vrcholy a hrany. Mnohostěny ještě můžeme rozdělit na pravidelné, polopravidelné a nepravidelné. Platónská tělesa (pravidelné mnohostěny) Obdobou pravidelných mnohoúhelníků v rovině jsou v prostoru pravidelné mnohostěny (Obr. 3). Pravidelné (platónské) těleso je konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou 1 Polák J., Středoškolská matematika v úlohách II, Prométheus, Praha 1999

2 navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky. Všechny hrany jsou stejně dlouhé a úhly stejně veliké. A v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn a hran. V rovině můžeme sestrojit mnoho pravidelných mnohoúhelníků, v prostoru je počet pravidelných mnohostěnů omezen na pět. Jsou to: Pravidelný čtyřstěn (je to těleso s nejmenším možným počtem stěn), pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Obr.3 - Pravidelná tělesa: Čtyřstěn (tetraedr), Šestistěn (hexaedr), Osmistěn (oktaedr), Dvanáctistěn (dodekaedr), Dvacetistěn (ikosaedr). Tabulka 1. Přehled pravidelných těles České označení Mezinár. označení Počet stěn Počet vrcholů Počet hran Tvar stěny Počet hran jednoho vrcholu Počet hran jedné stěny Čtyřstěn Tetraedr Rovnostranný trojúhelník 3 3 Šestistěn Hexaedr Čtverec 3 4 Osmistěn Oktaedr Rovnostranný trojúhelník 4 3 Dvanáctistěn Dodekaedr Pravidelný pětiúhelník 3 5 Dvacetistěn Ikosaedr Rovnostranný trojúhelník 5 3 To, že je těchto těles jen pět může být pro někoho udivující a někdo tomu také nemusí věřit a může mít námitku: Co když je jich více a nějaká jsme třeba ještě ani neobjevili! Dokážeme, že tomu tak není, že jich je opravdu jen pět a ani o jedno více.

3 Důkaz je velmi jednoduchý: Nejednodušší mnohostěn (čtyřstěn) má stěny tvořené třemi rovnostrannými trojúhelníky. Pravidelné mnohostěny, jejichž stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky, jsou tři. Další už nejsou. V tetraedru se stýkají ve vrcholu tři rovnostranné trojúhelníky, v oktaedru se stýkají čtyři rovnostranné trojúhelníky a v ikosaedru pět rovnostranných trojúhelníků. V dalším pravidelném mnohostěnu by se muselo stýkat v jednom vrcholu šest rovnostranných trojúhelníků. Jenže, když těchto šest rovnostranných trojúhelníků s jedním společným vrcholem poskládáme tak, aby měli jeden společný vrchol, dávají dohromady pravidelný šestiúhelník. Nemohou tak tvořit prostorový útvar. (Vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníku má 60. Tedy = 360 ) Stejné je to se čtverci. Pravidelný mnohostěn se čtvercovými stěnami je jen jeden. Je to krychle, kde se v jednom vrcholu stýkají tři čtvercové stěny. Kdyby se stýkaly jen dvě stěny, tak je to málo a čtyři stěny nám už dávají dohromady také rovinu a tvoří větší čtverec. (Vnitřní úhel čtverce má 90. Tedy = 360 ) Pravidelný mnohostěn s pravidelnými pětiúhelníkovými stěnami je také jen jeden (dodekaedr). V jednom vrcholu se zde stýkají tři stěny. Opět, kdyby byly jen dvě, je to málo a kdyby byly čtyři, je to už moc. (Vnitřní úhel pětiúhelníku má 108. Tedy = 432, 432 > 360 ) Šestiúhelníkové a další mnohoúhelníkové stěny jsou vyloučeny. Ale připusťme existenci mnohostěnu s šestiúhelníkovými stěnami. V jednom vrcholu by se stýkaly buď dvě stěny, což je málo nebo tři stěny a to je již moc. Stejné je to i pro další mnohoúhelníky. (Vnitřní úhel šestiúhelníku má 120. Tedy = 360 ) Důkaz není opravdu moc těžký a nejsou k němu potřeba žádné odborné znalosti. Může se stát vhodným doplňkem při studiu těles na základní škole. Při provádění důkazu je vhodné vystřihnout nebo si složit z papíru potřebné pravidelné mnohoúhelníky šest rovnostranných trojúhelníků, čtyři čtverce, tři pravidelné pětiúhelníky a šestiúhelníky. Tyto mnohoúhelníky pak žáci jedním vrcholem přikládají k sobě a sami objevují, že další mnohoúhelníky kromě uvedených není možné sestavit. Tento objev je pro žáky důležitější než jen vysvětlování učitele.

4 Obr. 4 - Důkaz, že pravidelných těles je právě 5. Tento důkaz může posloužit i pro další hraní s rovinnými pravidelnými útvary mozaikové dlaždice. Další vlastnosti pravidelných mnohostěnů Pro hexaedr a oktaedr a pak pro dodekaedr a ikosaedr platí, že středy stěn jednoho tělesa jsou vrcholy druhého tělesa. Takovýmto dvojicím těles se říká duální mnohostěny. Tetraedr je duální sám k sobě. Co znamená duální? Znamená to, že jedno těleso lze vepsat do druhého. Jak se dá poznat, že jsou tělesa k sobě duální? Jde to velmi snadno. Počet stěn jednoho tělesa je stejný jako počet vrcholů druhého tělesa (viz. Tabulka 1). Když najdeme v tělese středy stěn a tyto středy pospojujeme, dostaneme jiné těleso. Duální tělesa mají stejný počet hran, neboť sčítání je komutativní operace: s + v = v + s. A víme, že platí Eulerův vztah: s + v = h + 2. Pravidelným mnohoúhelníkům je možné vepsat či opsat kružnici. Stejně tak pravidelným mnohostěnům lze vepsat a opsat kulovou plochu, neboť pro všechny pravidelné mnohostěny platí: Střed pravidelného mnohostěnu má tutéž vzdálenost od jeho vrcholů (střed koule opsané) a tutéž vzdálenost od jeho stěn (střed koule vepsané). A jak najdeme tento střed? Nejednoduší je sestrojit rovinu souměrnosti těchto mnohostěnů. Řezem mnohostěnu rovinou souměrnosti je mnohoúhelník. Najít střed kružnice opsané mnohoúhelníku již není tak složité. Provedeme-li řez čtyřstěnem, dostaneme trojúhelník, šestistěnem čtyřúhelník, osmistěnem čtyřúhelník, dvanáctistěnem šestiúhelník, dvacetistěnem šestiúhelník. Trocha historie Těchto pět pravidelných těles znali starořečtí matematici na přelomu 5. a 4. století před naším letopočtem. Prvním matematikem, který se zabýval dodekaedrem a ikosaedrem, byl Theaitetos z Athén ( př. n. l.). Ovšem lze také nalézt, že to byl již Pythagoras ze Samu ( př. n. l.). Když se ale těmito tělesy zabývali již tito filosofové a matematici, proč nesou název podle Platona ( př. n. l.)? Platon dal této pětici pravidelných

5 mnohostěnů zvláštní filosofický význam. Předpokládal totiž, že atomy, nedělitelné částice živlů, z nichž je tvořen svět, mají tvar pravidelných mnohostěnů. Tedy, že pravidelný čtyřstěn představuje oheň, pravidelný šestistěn zemi, pravidelný osmistěn vzduch a dvacetistěn vodu. Dvanáctistěn považoval za představitele jsoucna, všeho co existuje. Platon říká, že ho Bůh určil pro Vesmír. Polopravidelné mnohostěny Polopravidelné mnohostěny jsou také konvexní a jejich stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky, které se v každém vrcholu stýkají stejným způsobem. Rozdíl od pravidelných je v tom, že všechny stěny nejsou shodné. Polopravidelných mnohostěnů je mnoho. My se budeme zabývat menší skupinkou a to tělesy, které nesou zvláštní označení Archimédovská. Archimédovská tělesa Takto říkáme mnohostěnům, které vzniknou ořezáním hran či vrcholů pravidelných mnohostěnů a jejich řezy jsou pravidelné mnohoúhelníky. Archimédes ( př. n. l) objevil těchto těles třináct. Čtrnácté objevil teprve Aškinuze (1957), který jej získal ořezáním krychle. Toto těleso proto bývá v některých knihách a článcích označováno jako Aškinuzeho. Stejně ho budu označovat i já. Přesný překlad z angličtiny totiž neexistuje rhombicuboctahedron. Obr. 5. Aškinuzeho těleso Nejznámějším Archimédovským mnohostěnem je kubooktaedr (obr. 6), který vznikne ořezáním krychle nebo osmistěnu. Stěny tohoto mnohostěnu tvoří čtverce a rovnostranné trojúhelníky. Velmi používaným Archimédovských tělesem, i když si to většina neuvědomuje, je komolý dvacetistěn. Tento komolý dvacetistěn znázorňuje fotbalový míč (Obr. 7). Je tvořen z dvanácti pravidelných pětiúhelníků a z dvaceti pravidelných šestiúhelníků. Vznikl ořezáním pravidelného dvacetistěnu.

6 Obr. 6 Kubooktaedr Obr. 7 Komolý dvacetistěn Mezi polopravidelné mnohostěny řadíme také kolmé n-boké hranoly (Obr. 8), jejichž podstavou je pravidelný mnohoúhelník a výška je rovna délce straně tohoto mnohoúhelníku. Těchto mnohostěnů je nekonečně mnoho. Dále sem také patří n-boké hranolce (Obr. 9), kterých je také nekonečně mnoho. Podstavou je opět pravidelný mnohoúhelník a výška je též rovna délce strany mnohoúhelníku. Plášť je však tvořen rovnostrannými trojúhelníky. Obr. 8 Polopravidelný n-boký hranol Obr. 9 Polopravidelný n-boký hranolec Deltastěny Deltastěny jsou takové mnohoúhelníky, jejichž stěny mají tvar rovnostranných trojúhelníků (Obr. 10). Odtud název deltastěn neboť řecké tiskací písmeno delta připomíná trojúhelník. Můžeme je také dělit na konvexní a nekonvexní. Nekonvexních deltastěnů je nekonečně mnoho. Konvexních deltastěnů je pouze osm. Dokázal to v roce 1947 matematik Freudenthal. Jsou to: delta-čtyřstěn (tetraedr), delta-šestistěn, delta-osmistěn (oktaedr), delta-desetistěn (pětiboká dvojpyramida), delta-dvanáctistěn, delta-čtrnáctistěn, delta-šestnáctistěn a deltadvacetistěn.

7 Obr. 10 Delta čtrnáctistěn, Delta dvacetistěn Velmi snadné je například proměnit krychli v deltastěn nad každou její stěnu doplníme čtyřboký jehlan, jehož strany jsou rovnostranné trojúhelníky. Takto získáme nekonvexní delta-dvacetičtyřstěn. Hvězdicové mnohostěny Hvězdicové mnohostěny jsou velmi dekorativní a vznikají z mnohostěnů tak, že se stěny mnohostěnu protahují do té doby, dokud se neprotnou.