7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

Transkript

1 Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná a budeme zkoumat výlučně chování rovinných monochromatických vln Získané výsledky však lze bezprostředně rozšířit i na obecná nerovinná rozhraní a na obecné nemonochromatické vlny Nejdříve si ukážeme jaké zákonitosti je možno pro odraz a lom formulovat na základě jednoduchého přístupu založeného na Huygensově principu podstatnou část kapitoly ale zaplní úvahy založené na Maxwellově teorii elektromagnetického pole V závěru se věnujeme úplnému (totálnímu) odrazu - jevu kdy světlo rozhraním dvou prostředí neprochází a zcela se od něj odráží zpět 71 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy 7 Zákon odrazu 73 Zákon lomu 74 draz a lom v Maxwellově teorii 75 Fresnellovy vzorce 751 Transverzální elektrická vlna 75 Transverzální magnetická vlna 753 Brewsterův úhel 76 Úplný odraz 71 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy V následujícím se budeme zabývat rovinnými rozhraními dvou izotropních homogenních dielektrik Bez újmy na obecnosti můžeme zvolit souřadnicovou soustavu tak že rozhraní splyne se souřadnicovou rovinou xy dielektrikum o indexu lomu n 1 zaplní horní poloprostor a druhé dielektrikum o indexu lomu n poloprostor dolní (viz obrázek) Na toto rozhraní dopadá z horního poloprostoru rovinná elektromagnetická vlna jejíž jeden paprsek (dopadající paprsek P) je rovněž zahrnut do připojeného obrázku Tento paprsek se částečně od rozhraní odráží zpět do prvního prostředí (odražený paprsek P) a částečně láme do prostředí druhého (lomený paprsek P) V průsečíku všech tří paprsků je vztyčena tzv kolmice dopadu (K) rientaci zmíněných paprsků v prostoru vztahujeme podle obecně přijaté konvence ke kolmici dopadu Úhel který svírá dopadající paprsek s kolmicí dopadu α nazýváme úhlem dopadu bdobně definujeme i úhel odrazu α a úhel lomu α jako úhly které s kolmicí dopadu svírají paprsek odražený a lomený Rovina zadaná kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem je rovinou dopadu obdobně rovina zadaná kolmicí dopadu a odraženým (lomeným) paprskem je rovinou odrazu (lomu)

2 46 draz a lom 7 Zákon odrazu Úhel odrazu je roven úhlu dopadu α = α a rovina odrazu je totožná s rovinou dopadu Zákon odrazu můžeme snadno odvodit pomocí nám již známého Huygensova principu Pro jednoduchost předpokládejme že rovina dopadu je totožná s rovinou odrazu 1 Pak můžeme vycházet z připojeného obrázku V něm úsečka AB reprezentuje průmět části vybrané vlnoplochy do roviny nákresu V jistém čase dospěje tato vybraná část do polohy A 1 B 1 a podle Huygensova principu se kolem bodu A 1 začnou šířit elementární vlnoplochy V následujících okamžicích dospívají na rozhraní i další části vlnoplochy AB a kolem bodů rozhraní se začínají šířit další a další elementární vlnoplochy Jejich společná obálka v poloprostoru zaplněném prvním prostředím (odražená vlnoplocha) je v čase kdy na rozhraní konečně dospěje i bod B reprezentována úsečkou A B Úhel který svírají paprsky odpovídající této obálce s kolmicí dopadu získáme následující úvahou Trojúhelníky A 1 B A a B A 1 B 1 jsou zřejmě shodné neboť A 1 B = B A 1 o B B 1 = A 1 A a A1BB 1 = BA A1 = 90 Pak jsou ovšem shodné i úhly BAB 1 1 a A BA 1 Vzhledem k tomu že první z nich je totožný s úhlem dopadu a druhý s úhlem odrazu platí α = α 73 Zákon lomu (Snellův) Úhel lomu a úhel dopadu splňují vztah n sin α = n sin α a rovina lomu je totožná s rovinou dopadu 1 Pro n1 > n je zřejmě α < α a hovoříme o lomu od kolmice v opačném případě ( n1 < n ) platí α > α a hovoříme o lomu ke kolmici K lomu ke kolmici dochází tedy při průchodu do opticky hustšího prostředí k lomu od kolmice při průchodu do prostředí opticky řidšího Pro n1 > n je možno navíc Snellův zákon lomu použít jen tehdy je-li n1sin α/ n 1 To znamená že k lomu může dojít pouze pro úhly dopadu menší nebo rovny než αmax arcsin( n / n1 ) Pro větší úhly dopadu dochází pouze k odrazu paprsku od rozhraní Hovoříme pak o úplném (totálním) odrazu I zákon lomu je možno bez větších nesnází odvodit z Huygensova principu přičemž opět pro jednoduchost předpokládáme totožnost rovin dopadu a lomu Také další postup se jen málo odchyluje od toho s čím jsme se setkali v předcházejícím odstavci Na připojeném obrázku jsou zachyceny dopadající vlnoplocha A 1 B 1 v čase kdy se svým levým okrajem dotkla rozhraní a lomená vlnoplocha A B v čase kdy i pravý okraj dopadající vlnoplochy dospěl na rozhraní Čas který potřebuje dopadající vlna na to aby její pravý okraj dospěl v prvním prostředí z bodu B 1 do bodu B je zřejmě stejný jako čas který potřebuje vlna lomená k průchodu 1 Totožnost rovin dopadu a odrazu je ovšem možno odvodit z Huygensova principu také Rovněž nyní by bylo možno tento fakt odvodit přímo z Huygensova principu

3 Trivium z optiky 47 vzdálenosti A 1 A Platí tedy nebo také BB AA = c/ n c/ n BB 1 c/ n1 n = = AA c/ n n 1 1 Trojúhelníky A 1 A B a A 1 B B 1 jsou ale pravoúhlé a navíc ABA 1 = α a BAB 1 1 = α Proto můžeme psát BB 1 A1A sin α = a sin α = A1B A1B nebo také sin α α = BB 1 = n sin A1A n1 a nakonec i n sin α = n sin α 1 74 draz a lom v Maxwellově teorii Řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním Pro jednoduchost se při použití Maxwellových rovnic během rozboru problému lomu a odrazu od rozhraní dvou dielektrik omezíme jen na rovinné monochromatické vlny těch již z kapitoly 5 víme že jsou za jistých podmínek řešeními Maxwellových rovnic v homogenním a izotropním dielektriku Jsou tedy řešeními Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním Podle zadání problému předpokládejme tedy že se nad rozhraním (v prvním prostředí) šíří dvě rovinné monochromatické vlny: vlna dopadající E( r t) = E0cos( k r ωt) H( r t) = H0cos( k r ωt) a vlna odražená E( r t) = E0cos( k r ωt + ϕ) H ( r t) = H cos k r ω t + ϕ ( ) 0 Pod rozhraním pak musíme předpokládat vlnu lomenou E ( r t) = E cos k r ω t + ϕ H ( r t) = H cos k r ω t + ϕ ( ) ( ) 0 0 Všimněte si že kromě toho že odraženou i lomenou vlnu považujeme za rovinné a monochromatické nic dalšího o nich à priori nepředpokládáme - vektorové amplitudy vlnové vektory frekvence či dokonce fázová posunutí jsou zcela obecné

4 48 draz a lom Spojení řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním V kapitole 5 jsme formulovali vztahy mezi vektorovými amplitudami elektrické a magnetické intenzity a mezi vlnovým vektorem a frekvencí libovolné rovinné monochromatické vlny Ty zůstávají pochopitelně v platnosti pro každou z uvažovaných vln zvlášť Zatím ale nevíme zda Maxwellovy rovnice uvádějí do nějakého vztahu dopadající odraženou a lomenou vlnu navzájem K tomu abychom to zjistili musíme použít speciální tvar Maxwellových rovnic v jakém platí přímo na rozhraní Po poměrně komplikovaných úvahách které je možno najít v každé učebnici teorie elektromagnetického pole bychom dospěli k následujícím formulacím: normálové složky indukcí 3 (elektrické i magnetické) jsou při průchodu rozhraním spojité tečné složky intenzit (elektrické i magnetické) jsou při průchodu rozhraním spojité Přesněji označíme-li celkovou elektrickou indukci pole nad rozhraním 1 ( 1 + ) a pod rozhraním ( ) můžeme spojitost její normálové složky zapsat ve tvaru 4 [ x y] a t : 1 z( x y0 t) = z( x y0 t) bdobnou rovnost můžeme psát i pro indukci magnetickou (opět musí platit pro všechny body rozhraní a všechny časy) B ( x y0 t) = B ( x y0 t) 1z z Spojitost tečných (x-ových a y-ových) složek elektrické a magnetické intenzity vede obdobně k E1x( x y0 t) = Ex( x y0 t) E ( x y0 t) = E ( x y0 t) 1y y H1x( x y0 t) = Hx( x y0 t) H ( x y0 t) = H ( x y0 t) 1y y Pomocí podmínek spojitosti pro normálové složky indukcí a tečné složky intenzit výsledného elektromagnetického pole nad a pod rozhraním můžeme formulovat hledané vztahy mezi dopadající odraženou a lomenou vlnou 5 ( + ω ) + ( + ω +ϕ ) = ( + ω +ϕ ) ( + ω ) + ( + ω +ϕ ) = ( + ω +ϕ ) ( + ω ) + ( + ω +ϕ ) = ( + ω +ϕ ) ( + ω ) + ( + ω +ϕ ) = ( + ω +ϕ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos k x k y t cos k x k y t cos k x k y t 0z x y 0z x y 0z x y B cos k x k y t B cos k x k y t B cos k x k y t 0z x y 0z x y 0z x y E cos k x k y t E cos k x k y t E cos k x k y t 0x x y 0x x y 0x x y E cos k x k y t E cos k x k y t E cos k x k y t 0 y x y 0 y x y 0 y x y H cos k x + k y ω t + H cos k x + k y ω t +ϕ = H cos k x + k y ω t +ϕ 0x x y 0x x y 0x x y H cos k x + k y ω t + H cos k x + k y ω t +ϕ = H cos k x + k y ω t +ϕ 0 y x y 0 y x y 0 y x y 3 Normálové vzhledem k rozhraní Analogicky v další odrážce znamená slovo tečné tečné vzhledem k rozhraní 4 Především uvedená rovnost musí platit pro všechny body rozhraní tj pro naši volbu souřadnicové soustavy pro libovolný bod o souřadnicích [xy0] a pro všechny časy t ále vzhledem k tomu že rozhraní splývá se souřadnicovou rovinou xy má normála k rozhraní směr osy z Tedy normálové složky indukcí jsou nutně jejich složkami z- tovými 5 Protože tyto podmínky spojují (sešívají) nezávislá řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním nazývají se obvykle podmínkami sešívacími

5 Trivium z optiky 49 Tyto vztahy musí ovšem platit pro libovolné x y a t a jedná se tedy o nekonečně mnoho rovnic pro neznámé parametry odražené ( E 0 H 0 k ω a ϕ ) a lomené vlny ( E 0 H 0 k ω a ϕ ) 6 Jejich řešením získáme hledané informace o odrazu a lomu rovinné monochromatické vlny na rovinném rozhraní dvou dielektrik Závěry plynoucí ze sešívacích podmínek Řešení rovnic reprezentovaných výše formulovanými sešívacími podmínkami je obtížné a pracné Proto si zde shrňme jen základní závěry které z něj plynou pro odraženou a lomenou vlnu Část těchto závěrů je nezávislá na polarizaci dopadající vlny: frekvence odražené a lomené vlny je stejná jako frekvence vlny dopadající ( ω =ω =ω ) roviny dopadu odrazu a lomu jsou totožné (existuje taková souřadnicová soustava v níž je kx = kx = kx = 0 ) úhel dopadu je roven úhlu odrazu platí Snellův zákon lomu fázový posun odražené vlny vůči vlně dopadající může být roven pouze nule nebo π ( ϕ = 0 π) fázový posun lomené vlny vůči vlně dopadající je vždy roven nule ( ϕ = 0 ) alší závěry již závisejí na polarizaci dopadající vlny Jejich shrnutí vyžaduje poněkud větší prostor proto jim věnujeme následující samostatný odstavec 75 Fresnelovy vzorce Vztahy mezi vektorovými amplitudami dopadající odražené a lomené vlny tzv Fresnelovy vzorce závisejí na polarizaci dopadající vlny Musíme proto rozebrat odděleně následující dva případy: dopadající vlna má polarizaci (vektor elektrické intenzity) kolmou k rovině dopadu - transverzální elektrická vlna polarizace dopadající vlny (vektor elektrické intenzity) leží v rovině dopadu (k rovině dopadu je kolmá tedy magnetická intenzita) - transverzální magnetická vlna Při formulaci Fresnelových vzorců se obvykle používají speciální souřadnicové soustavy pro dopadající odraženou a lomenou vlnu Jednotkové vektory zadávající kladné směry souřadnicových os v těchto souřadnicových soustavách jsou pro transverzální elektrickou vlnu zakresleny v připojeném obrázku Transverzální elektrická () vlna Transverzální elektrická vlna je dána vztahem E 0 = E 0n kladné číslo y kde E 0 můžeme pokládat za 6 Vektorové amplitudy indukcí můžeme získat pomocí amplitud intenzit prostřednictvím materiálových rovnic 0 = εe0 = n ε0e0 a B0 = µ 0H0 7 Symbolem označujeme vektor mířící za rovinu nákresu

6 50 draz a lom Ze sešívacích podmínek plyne že je-li dopadající vlna transverzální elektrická jsou takové i vlna odražená a lomená Platí tedy E = E n 0 0 y a E0 = E0ny E0 může být kladné i záporné jeho znaménkem odlišujeme fázový posun odražené vlny vůči vlně dopadající pro E 0 > 0 není odražená vlna fázově posunuta vůči vlně dopadající pro E < je odpovídající fázový posun roven π značíme-li dále r E E 0 0 resp t E 0 E 0 koeficienty amplitudové reflexe resp amplitudové transmise můžeme pro ně jak plyne ze sešívacích podmínek psát Fresnelovy vzorce pro vlnu r sin( α α) = sin( α + α ) cosα sinα t = sin( α + α) kde α resp α je úhel dopadu resp úhel lomu Z Fresnelových vzorců pro vlnu plyne okamžitě α > α r < 0 při odrazu na opticky hustším prostředí je tedy odražená vlna fázově posunuta vůči vlně dopadající o úhel π α < α r > 0 při odrazu na opticky řidším prostředí k fázovému posunu mezi dopadající a odraženou vlnou nedochází t je vždy kladné lomená vlna tedy není vůči vlně dopadající fázově posunuta a to bez ohledu na indexy lomu prvního a druhého prostředí Závislost r na úhlu dopadu je schématicky znázorněna na připojeném obrázku Všimněte si zejména otazníku v levé části obrázku Má upozornit na to že pro úhly dopadu větší než α max naše teorie selhává K problému se ještě vrátíme v odstavci 78 Pomocí koeficientů amplitudové reflexe a amplitudové transmise je možno vyjádřit koeficienty energetické reflexe resp energetické transmise R n cosα = r resp T = t n1 cos α které jsou definovány jako poměr zářivých toků odraženého a dopadajícího na jednotku plochy rozhraní resp poměr zářivých toků prošlého jednotkou plochy rozhraní a toku na jednotku plochy rozhraní dopadajícího Fresnelových vzorců je tedy možno užít k určení poměrného množství elektromagnetické energie odražené od rozhraní a rozhraním prošlé 8 E 0 bude naopak vždy kladné fázový posun lomené vlny vůči vlně dopadající je jak víme z předcházejícího odstavce vždy nulový

7 Trivium z optiky Transverzální magnetická (TM) vlna Transverzální magnetická vlna odpovídá elektrické intenzitě ležící v rovině dopadu platí tedy E0 = E0nz kde opět E 0 můžeme pokládat za kladné číslo Také nyní vyplývá ze sešívacích podmínek že je-li dopadající vlna transverzální magnetická jsou takové i vlna odražená a lomená Platí tedy E = E n 0 0 z a E0 = E0nz Znaménkem E 0 odlišujeme podobně jako pro vlnu fázový posun odražené vlny vůči vlně dopadající - pro E 0 > 0 není odražená vlna fázově posunuta pro E 0 < 0 je odpovídající fázový posun roven π 9 Podobně jako pro vlnu definujeme rtm E 0/ E 0 resp t TM E 0 / E 0 koeficienty amplitudové reflexe resp amplitudové transmise i pro vlnu transverzální magnetickou Fresnelovy vzorce pro TM vlnu pak nabývají tvaru t TM r TM tg( α α) = tg( α + α ) cosαsinα = sin( α + α )cos( α + α ) kde α a α jsou stejně jako výše úhel dopadu a úhel lomu Závislosti r TM na úhlu dopadu jsou schématicky znázorněny na připojeném obrázku Kladné hodnoty r TM odpovídají nulovému fázovému posunu mezi dopadající a odraženou vlnou záporné hodnoty pak fázovému posunu π 10 Zajímavá je existence úhlu dopadu pro nějž je koeficient r TM nulový Tento úhel se nazývá úhlem Brewsterovým 753 Brewsterův úhel Je-li součet úhlu dopadu a lomu roven π/ ( α + α = π/) 11 diverguje tg( α + α) ve jmenovateli vzorce pro r TM do nekonečna a koeficient amplitudové transmise se stává nulovým Transverzální magnetická vlna se v takovém případě od rozhraní vůbec neodráží opadá-li na rozhraní čistě TM vlna neodráží se od něj vůbec nic Pokud na rozhraní dopadá obecně polarizované světlo (včetně světla nepolarizovaného) odráží se od něj jen složka - tedy světlo 9 E 0 bude opět vždy kladné 10 Porovnejte s obrázky pro vlnu 11 Snadno se dá ukázat že v tomto případě jsou odražený a lomený paprsek navzájem kolmé

8 5 draz a lom lineárně polarizované jehož polarizační směr je kolmý k rovině dopadu Při odrazu pod tímto speciálním úhlem se tedy libovolně polarizované světlo mění na světlo lineárně polarizované! 1 bvykle úhel dopadu splňující α + α = π/ nazýváme úhlem Brewsterovým a označujeme jej symbolem α B Číselná hodnota Brewsterova úhlu je pro zadané rozhraní charakteristická a snadno ji získáme ze Snellova zákona lomu osadíme-li totiž do tohoto zákona z definiční podmínky pro Brewsterův úhel α = π/ αb obdržíme n sin α = n sin( π/ α ) neboli tg α B = n/ n1 1 B B 76 Úplný odraz opadá-li světlo na opticky řidší prostředí ( n < n1) pod úhlem dopadu větším nebo rovným αmax arcsin n n 1 nedochází k jeho lomu do tohoto prostředí a světlo se zcela odráží 13 Tento jev se nazývá úplným (totálním) odrazem Pro úhly dopadu větší než α max pozbývají také platnosti Fresnelovy vzorce uvedené v odstavci 77 a to proto že v nich se vyskytující úhel lomu α není v takové situaci prostě definován Neznamená to však že by pro úplný odraz přestaly platit Maxwellovy rovnice pouze předpoklad současné existence tří rovinných monochromatických vln (dopadající odražené a lomené) je nyní příliš silný a nelze jej splnit Zatímco dopadající a odražená vlna mohou být i nadále považovány za rovinné monochromatické vlnu lomenou je třeba uvažovat v poněkud odlišném tvaru Podrobnější analýza která však přesahuje úroveň tohoto textu vede k závěru že pro lomenou vlnu musíme v případě úplného odrazu použít tvaru δz E ( r t) = E e cos k x + k y ω t + ϕ ( x y ) 0 Jedná se tedy o vlnu nehomogenní která se šíří podél rozhraní xy a rychle ubývá směrem do druhého prostředí (z < 0) Kromě této změny zůstává v platnosti téměř vše co jsme uvedli v odstavci 77 Kromě jiného i naprostá většina závěrů tam učiněných (rovnost frekvencí dopadající a odražené vlny zákon odrazu totožnost rovin dopadu a odrazu) dlišné jsou jen Fresnelovy vzorce R RTM 1 = = 14 T = TTM = 0 15 a fázová posunutí mezi dopadající a odraženou vlnou Fázové posunutí odražené vlny vůči vlně dopadající je pro a TM vlnu ϕ n ( n ) sin α () 1 = arctg cosα ϕ n ( n ) sin α (TM) 1 = arctg n ( n ) cosα 1 1 Pro lomenou vlnu to ovšem neplatí i když i v ní převažuje (ne však výlučně) jedna složka lineární polarizace tentokrát složka rovnoběžná s rovinou dopadu Při dopadu pod Brewsterovým úhlem hovoříme proto někdy o částečné polarizaci lomené vlny 13 Viz odstavec Všechno světlo se od rozhraní odráží 15 a žádné neprochází do druhého prostředí

9 Trivium z optiky 53 a TM vlna jsou tedy po úplném odrazu vůči sobě vzájemně fázově posunuty o úhel Typické závislosti () ϕ = ϕ ϕ () (TM) (TM) ϕ a na úhlu dopadu jsou uvedeny v připojeném obrázku Fresnelův hranol Vzájemného fázového posunutí mezi a TM vlnou po úplném odrazu se využívá k transformaci lineárně polarizovaného světla na světlo polarizované kruhově opadá-li totiž na rozhraní lineárně polarizovaná vlna jejíž polarizační směr je zvolen tak aby a TM složka měly stejnou amplitudu změní se polarizace této vlny po úplném odrazu obecně na eliptickou Pokud bychom byli sto dosáhnout vzájemného fázového posunu π/ získali bychom dokonce polarizaci kruhovou Podle výše uvedeného obrázku jsou však maximální dosažitelné fázové posuny rovny zhruba polovině této hodnoty Ke změně lineární polarizace na kruhovou musí proto dopadající vlna prodělat úplné odrazy dva Toho lze dosáhnout např pomocí tzv Fresnelova hranolu (viz obrázek) Jedná se o kosý skleněný hranol jehož úhel β je volen tak aby se při úplném odrazu v místech A a B dosáhlo fázového posunutí mezi a TM složkou π/4 a dohromady kýžených π/ Světlo vstupující do Fresnelova hranolu jako lineárně polarizované je na výstupu polarizováno kruhově!

10

11