Příklad 1.3: Mocnina matice
|
|
- Vlastimil Slavík
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Její řešení je sice možné získat numericky (například v Simulinku), a v případě přítomnosti i jen jednoduchých nelinearit jiná praktická možnost není, avšak vyplatí se studovat i analytické řešení. Dá nám totiž vhled do struktury řešení. Jednou z důležitých informací, které ze stavového modelu můžeme vyčíst bez nutnosti numerického řešení diferenciálních rovnic, jsou módy systému. Procvičeny budou dovednosti vedoucí k jejich získání, které jsou založené na výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matic. Další z důležitých vlastností dynamických systémů, která se projevuje i v jejich řešení, je stabilita. Volně řečeno souvisí stabilita s omezeností (konečností) řešení. Existují však i metody, které stabilitu dokáží otestovat bez nutnosti numerického hledání řešení. Tím nejsilnějším nástrojem je Ljapunovova druhá věta. Mimo jiné bude pomocí ní ukázáno, že požadavek na polohu pólů v levé komplexní polorovině není dostačující, jakmile se parametry systému mohou měnit v čase. Testy založené na zkoumání polohy pólů jsou rovněž těžko uplatnitelné v případě systémů, jejichž stavový prostor je nekonečně dimenzionální, jako jsou například systémy se zpožděním. Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 1
2 1 Řešení spojitých i diskrétních lineárních časově invariantních stavových modelů Příklad 1.1: Odvození obecného tvaru řešení pro spojitý model Řešit LTI systém popsaný stavovým modelem dx(t) = Ax(t) + Bu(t) dt y(t) = Cx(t) + Du(t) při počátečních podmínkách daných vektorem x(t 0 ) a známé vstupní proměnné u(t) znamená prostě najít (vektorovou) funkci y(t) (případně i celý stavový vektor x(t)) pro t t 0, která vyhovuje rovnicím definujícím model. Samozřejmě je možné získat takové řešení numericky, například v Simulinku, ale v případě LTI systémů to jde i bez výpočetně drahých numerických operací. Odvod te, jak vypadá obecný tvar takového řešení a komentujte jeho strukturu. (Toto asi nelze považovat za skutečný příklad, jako spíše ověření, že tento nejzákladnější teoretický výsledek znáte a rozumíte jeho důsledkům). Příklad 1.2: Odvození obecného tvaru řešení pro diskrétní model Odvození obecného tvaru odezvy spojitého LTI systému je sice jednoduché, nicméně odvození stejného výsledku pro diskrétní LTI přenos je ještě jednodušší (součty místo integrace). Nalezněte takový vztah pro systém popsaný x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k 0, x(0) = nějaký konstatní vektor 0 (1) y(k) = Cx(k) + Du(k) (2) Příklad 1.3: Mocnina matice Z analytického vztahu pro řešení diskrétního modelu lze vidět, že vztah mezi řešením v nějakém čase (pořadí) k 0 a řešením v jiném čase k je dána funkcí matice A. Tou funkcí je mocnina A (k k0). Ta se nazývá stavová matice přechodu. A my budeme potřebovat umět tuto maticovou funkci (se čtvercovými maticemi jako argumenty) počítat. Je snad jasné, že obecně nelze takovou funkci získat aplikací funkce na každý jednotlivý prvek matice! Samozřejmě, že můžeme (n 1)-krát násobit matici. V případě matice řádu několik set to však již bude nezanedbatelná výpočetní zátěž. Použijte tři lepší způsoby pro výpočet A 10 pro libovolnou matici řádu 3. Příklad 1.4: Výpočet maticové exponenciály e At Z analytického vztahu pro řešení lineárního časově invariantního systému lze vidět, že funkce e At je mimořádně důležitá, nebot slouží jako stavová matice přechodu u spojitých systémů. Proto je velmi důležité umět ji počítat. Můžeme opět použít způsoby uvedené pro výpočet mocniny matice, jen si musíme uvědomit, že jde o exponenciálu matice závislé na parametru t. Vypočítejte e At třemi různými způsoby pro libovolnou matici A řádu 3. Příklad 1.5: Výpočet analytického vztahu pro odezvu LTI systému na počáteční podmínky a vstup Uvažujte systém popsaný ẋ(t) = [ x(t) + u(t) (3) 1 2 1] Najděte analytický vztah pro odezvu na nenulové počáteční podmínky a obecný nenulový vstup. 2 Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze
3 2 Módy LTI systému Příklad 2.1: Jednoduchý příklad Módy LTI systému nejsou nic jiného než sada průběhů, z jakých se lineární kombinací vždy poskládá odezva systému na různé počáteční podmínky. (Řečí matematiků: módy systému tvoří bázy vektorového prostoru řešení soustavy diferenciálních rovnic). Jak se který mód uplatní v odezvě záleží na umístění nul systému a konkrétních počátečních podmínkách. Módy LTI systému se určují z vlastních čísel a vlastních vektorů matice dynamiky A stavového modelu. Určete módy systému popsaného stavovým modelem >> A = [ 2 6 0; 6 2 0; ] ; b = [1 2 0] ; c = [1 0 0 ] ; d = 0; >> G = ss (A, b, c, d ); Příklad 2.2: Módy podélné dynamiky letounu F16 Podélná dynamika letounu F16 je v pracovním bodě daným přímým a vodorovným letem rychlostí 1500 km/h s těžištěm v 0.3 c (vzdálenost působiště aerodynamické síly) je dána maticí >> A = [ e 2, e0, e1, e 1; e 4, e0, 0.0, e 1; 0.0, 0.0, 0.0, 1.0 e0 ; e 11, e0, 0.0, e0 ] Jednotlivé stavové proměnné jsou: vzdušná rychlost v T, úhel náběhu α, úhel podélného sklonu θ a rychlost klonění (otáčení) okolo osy křídel q (pitch rate). Zjistěte módy systému, jejich koeficient relativního tlumení a periodu kmitání. Zjistěte, jak moc se který mód projevuje v jednotlivých veličinách. Příklad 2.3: Módy stranové-směrové dynamiky letounu F16 Stranová-směrová dynamika letounu F16 je za stejných podmínek jako v předchozím příkladu dána maticí >> A = [ e 1, e 2, e 2, e 1; 0.0, 0.0, 1.0 e0, e 2; e1, 0.0, e0, e 1; e0, 0.0, e 2, e 1] Jednotlivé stavové veličiny jsou: úhel vybočení β, úhel příčného náklonu φ, rychlost otáčení okolo osy letadla p (roll rate) a rychlost změny směru r (yaw rate). Opět určete módy systému, jejich koeficient relativního tlumení a periodu kmitání. Zjistěte, jak moc se který mód projevuje v jednotlivých veličinách. 3 Načrtnutí stavového portrétu Stavový portrét jsou vlastně vykreslené trajektorie z navzorkované množiny počátečních stavů. Samozřejmě čitelný je takový portrét jedině v případě systémů druhého řádu. Ale i to nám stačí k získání vhledu. V případě LTI systému můžeme hrubý náčrtek provést jen se znalostí vlastních vektorů a vlastních čísel. Načrtněte stavový portrét pro homogenní systém ẋ(t) = Ax(t) >> A1 = [ 1 0; 0 4] A1 = >> [V,D] = eig (A1) V = 1 0 D = Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 3
4 Příklad 3.1: Načrtněte stavové portréty pro systémy s maticemi 2 1 A 2 = = A 3 = = 3 2 A 4 = = A 5 = = A 6 = = A 7 = = A 8 = = A 9 = = 2 4 Tyto příklady pokrývají všechny zajímavé situace, kdy například dva vlastní vektory jsou sice nezávislé, nikoliv však ortogonální, nebo existuje pouze jediný vlastní vektor, a tím pádem invariantní směr, a nebo dokonce neexistuje žádný (v reálném oboru). Vlastní čísla můžou být i nestabilní, a trajektorie tak můžou divergovat od počátku souřadnicového systému. 4 Stabilita dynamických systémů Příklad 4.1: Rovnovážné stavy pro jednoduché systémy Najděte rovnovážné stavy pro dynamické systémy 1 3 ẋ(t) = x(t) x(k + 1) = Příklad 4.2: Asymptotická vs. BIBO stabilita Uvažujte LTI systém popsaný diferenciální rovnicí [ 0 1] u(t) (4) 2 0 x(k) (5) ẋ(t) = sin x(t) (6) ÿ(t) + ẏ(t) 2y(t) = u(t) u(t) (7) Ověřte, zda je tento systém BIBO stabilní a zda je asymptoticky stabilní. Příklad 4.3: BIBO stabilita pro nekonečně dimenzionální systém U systémů, které lze modelovat racionálními přenosovými funkcemi je jednoduchým testem BIBO stability zápornost reálné složky pólů. Jsou však systémy, kde takový test není užitečný, a musíme použít jiné, obecnější testy. Příkladem je systém, jehož vstupně výstupní chování je popsáno na obr. 1 Jaká je přenosová funkce tohoto systému? Je systém BIBO stabilní? Pro jaké hodnoty a? Umíte to určit z kořenů přenosové funkce? K testu BIBO stability použijte absolutní integrovatelnost impulsní odezvy. 4 Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze
5 Obrázek 1: Zpětnovazební zapojení se zesílením a zpožděním. Příklad 4.4: Vícenásobné póly na imaginární ose Jestliže mají póly LTI systému ẋ(t) = Ax(t) záporné reálné části, je systém Ljapunovsky stabilní (dokonce asymptoticky). Pokud má jednoduché póly na imaginární ose, pak je stále ještě zaručena Ljapunovská stabilita. V případě, že má ale násobné póly na imaginární ose, může o Ljapunovskou stabilitu přijít. Uved te příklady jednoduchého systému, který má dvojnásobný pól na imaginární ose, a je přitom Ljapunovsky stabilní, a systému, který Ljapunovsky stabilní není. Příklad 4.5: Póly vs. asymptotická stabilita časově proměnného systému Běžným testem asymptotické stability lineárního systému je zjišt ování, zda póly systému mají zápornou reálnou část, jak jsme viděli v předchozím příkladu. Toto však platí pouze za předpokladu, že parametry systému se nemění v čase. Uvažujte například systém ] [ẋ1 (t) ẋ 2 (t) [ α e 2αt = 0 α ] [ x1 (t) x 2 (t) kde α > 0. Tento systém má zřetelně v každém časovém okamžiku vlastní čísla matice A v leve komplexní polorovině. Je systém asymptoticky stabilní? (Ověřte nalezením analytického řešení). 5 Řešení lineární časově proměnných stavových modelů Příklad 5.1: Fundamentální matice a stavová matice přechodu Najděte fundamentální matici a stavovou matici přechodu pro systém ẋ(t) = x(t) (9) 0 t ] (8) Katedra řídicí techniky FEL ČVUT v Praze 5
1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
1. LNEÁNÍ APLKACE OPEAČNÍCH ZESLOVAČŮ 1.1 ÚVOD Cílem laboratorní úlohy je seznámit se se základními vlastnostmi a zapojeními operačních zesilovačů. Pro získání teoretických znalostí k úloze je možno doporučit
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceUložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí
Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
Více3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?
3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceCVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceMatematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
VíceOsvětlovací modely v počítačové grafice
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceMMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem
MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem Cíl: Stanovit množství obchodovatelného zboží (předmět směny) na energetickém trhu? Diagram odběru, zatížení spotřebitele
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
VíceMECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE
MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje
VíceKomutace a) komutace diod b) komutace tyristor Druhy polovodi ových m Usm ova dav
V- Usměrňovače 1/1 Komutace - je děj, při němž polovodičová součástka (dioda, tyristor) přechází z propustného do závěrného stavu a dochází k tzv. zotavení závěrných vlastností součástky, a) komutace diod
VíceROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy).
ROZCVIČKY Z MATEMATIKY 8. ROČ Prezentace jsou vytvořeny v MS PowerPoint 2010 (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). Anotace: Materiál slouží k procvičení základních
Více1.3 Druhy a metody měření
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 1.3 Druhy a metody měření Měření je soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu měřené fyzikální veličiny.
VíceMS měření teploty 1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové
1. METODY MĚŘENÍ TEPLOTY: Nepřímá Přímá - Termoelektrické snímače - Odporové kovové snímače - Odporové polovodičové 1.1. Nepřímá metoda měření teploty Pro nepřímé měření oteplení z přírůstků elektrických
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Více10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
VíceŘešené příklady z OPTIKY II
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Řešené příklady z OPTIKY II V následujícím článku uvádíme několik vybraných příkladů z tématu Optika i s uvedením
VíceMěření impedancí v silnoproudých instalacích
Měření impedancí v silnoproudých instalacích 1. Úvod Ing. Lubomír Harwot, CSc. Článek popisuje vybrané typy moderních měřicích přístrojů, které jsou používány k měřením impedancí v silnoproudých zařízeních.
VícePřechodové děje při startování Plazmatronu
Přechodové děje při startování Plazmatronu Ing. Milan Dedek, Ing. Rostislav Malý, Ing. Miloš Maier milan.dedek@orgrez.cz rostislav.maly@orgrez.cz milos.maier@orgrez.cz Orgrez a.s., Počáteční 19, 710 00,
VícePOČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní
VíceTel/fax: +420 545 222 581 IČO:269 64 970
PRÁŠKOVÁ NITRIDACE Pokud se chcete krátce a účinně poučit, přečtěte si stránku 6. 1. Teorie nitridace Nitridování je sycení povrchu součásti dusíkem v plynné, nebo kapalném prostředí. Výsledkem je tenká
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
VíceTlačítkový spínač s regulací svitu pro LED pásky TOL-02
Tlačítkový spínač s regulací svitu pro LED pásky TOL-02 Tlačítkový spínač slouží ke komfortnímu ovládání napěťových LED pásků. Konstrukčně je řešen pro použití v hliníkových profilech určených pro montáž
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceVYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Fakulta ekonomických studií katedra řízení podniku. Předmět: ŘÍZENÍ LIDSKÝCH ZDROJŮ (B-RLZ)
VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Fakulta ekonomických studií katedra řízení podniku Předmět: ŘÍZENÍ LIDSKÝCH ZDROJŮ (B-RLZ) Téma 7: HODNOCENÍ PRACOVNÍHO VÝKONU, ODMĚŇOVÁNÍ ŘÍZENÍ PRACOVNÍHO VÝKONU
VíceGeometrická optika 1
Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní
VíceDynamika tuhých těles
Dynamika tuhých těles V reálných technických aplikacích lze model bodového tělesa použít jen v omezené míře. Mnohem častější je použití modelu tuhého tělesa. Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož
VíceMicrosoft Office Project 2003 Úkoly projektu 1. Začátek práce na projektu 1.1 Nastavení data projektu Plánovat od Datum zahájení Datum dokončení
1. Začátek práce na projektu Nejprve je třeba pečlivě promyslet všechny detaily projektu. Pouze bezchybné zadání úkolů a ovládání aplikace nezaručuje úspěch projektu jako takového, proto je přípravná fáze,
VíceZařízení má několik částí.
Logická stavebnice, jak název napovídá je určena pro snadnou a efektivní práci s logickými obvody. Bez problémů se však dá použít i v analogové oblasti slaboproudé elektroniky. Mezi nesporné priority patří
Vícedoc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz
doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz Elias Tomeh / Snímek 1 Nevyváženost rotorů rotačních strojů je důsledkem změny polohy (posunutí, naklonění) hlavních os setrvačnosti rotorů vzhledem
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméno TUREČEK Daniel Datum měření 3..6 Stud. rok 6/7 Ročník. Datum odevzdání 3..7 Stud. skupina 3 Lab.
VíceKIS A JEJICH BEZPEČNOST I PŘENOS INFORMACÍ DOC. ING. BOHUMIL BRECHTA, CSC.
KIS A JEJICH BEZPEČNOST I PŘENOS INFORMACÍ DOC. ING. BOHUMIL BRECHTA, CSC. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Projekt: Vzdělávání pro bezpečnostní systém státu (reg. č.: CZ.1.01/2.2.00/15.0070)
VíceMĚŘENÍ IMPEDANCE. Ing. Leoš Koupý 2012
MĚŘENÍ IMPEDANCE PORUCHOVÉ SMYČKY Ing. Leoš Koupý 2012 Impedance poruchové smyčky Význam impedance poruchové smyčky v systému ochrany samočinným odpojením od zdroje Princip měření impedance poruchové smyčky
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceDODATEČNÉ INFORMACE Č. 4
DODATEČNÉ INFORMACE Č. 4 1.1. Název veřejné zakázky: Tělocvična, ZŠ Dolní Břežany 1.2. Evidenční číslo veřejné zakázky: VZ 512860 1.3. Identifikační údaje o zadavateli Název: Obec Dolní Břežany Sídlo:
VíceZapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III
- 1 - Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III (c) Ing. Ladislav Kopecký, srpen 2015 V p edchozí ásti tohoto lánku jsme dosp li k zapojení horního spína e se dv ma transformátory, které najdete
VíceSpoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny
cvičení Dřevěné konstrukce Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny Úvodní poznámky Styčníkové desky s prolisovanými trny se používají pro spojování dřevěných prvků stejné tloušťky v jedné rovině,
VíceŘ í j e n 2 0 1 0. 18. října (pondělí) Spotřební daň: splatnost daně za srpen (mimo spotřební daně z lihu)
D aňový kalendář Ř í j e n 2 0 1 0 8. října (pátek) Pojistné na důchodové zabezpečení a příspěvek na státní politiku zaměstnanosti a pojistné na nemocenské pojištění: záloha na pojistné osob samostatně
VíceZadání. Založení projektu
Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout symetrický dřevěný střešní vazník délky 13 m, sklon střechy 25. Materiálem je dřevo třídy C24, fošny tloušťky 40 mm. Zatížení krytinou a podhledem 0,2 kn/m, druhá
Více6. Příklady aplikací. 6.1.1. Start/stop. 6.1.2. Pulzní start/stop. Příručka projektanta VLT AQUA Drive
. Příklady aplikací. Příklady aplikací.1.1. Start/stop Svorka 18 = start/stop par. 5-10 [8] Start Svorka 27 = Bez funkce par. 5-12 [0] Bez funkce (Výchozí nastavení doběh, inverzní Par. 5-10 Digitální
VíceAntény. Zpracoval: Ing. Jiří. Sehnal. 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén
ANTÉNY Sehnal Zpracoval: Ing. Jiří Antény 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén Pod pojmem anténa rozumíme obecně prvek, který zprostředkuje přechod elektromagnetické
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
VíceMODELOVÁNÍ CENOVÉ ELASTICITY POPTÁVKY PO VJEZDU NA AUTOBUSOVÉ NÁDRAŽÍ MODELLING OF PRICE DEMAND ELASTICITY FOR ENTRY TO BUS TERMINAL
MODELOVÁNÍ CENOVÉ ELASTICITY POPTÁVKY PO VJEZDU NA AUTOBUSOVÉ NÁDRAŽÍ MODELLING OF PRICE DEMAND ELASTICITY FOR ENTRY TO BUS TERMINAL Martina Lánská 1 Anotace: Článek se zabývá modelováním cenové elasticity
Více1. Obecný přehled. Historie. Zaměření léčby. Program denního stacionáře. Terapeutický tým 18.1.2011
Model psychodynamické léčby v Denním sanatoriu Horní Palata rámec, východiska, povaha Mgr. Roman Telerovský Denní sanatorium Horní Palata - Centrum pro psychoterapii VFN a 1. LF UK v Praze Vedoucí MUDr.
VíceMěření prostorové průchodnosti tratí
Štefan Mayerberger, Vít Bureš Klíčové slovo: průchodnost tratí. Cíl projektu Měření prostorové průchodnosti tratí Ve firmě ROT-HSware spol. s r.o. ve spolupráci s Výzkumným ústavem železničním, pracoviště
VíceKOREKCE MAXIMÁLNÍ DOSAHOVANÉ RYCHLOSTI NÁKLADNÍCH VLAKŮ CORRECTIONS OF MAXIMUM SPEED ACHIEVED BY FREIGHT TRAINS
KOREKCE MAXIMÁLNÍ DOSAHOVANÉ RYCHLOSTI NÁKLADNÍCH VLAKŮ CORRECTIONS OF MAXIMUM SPEED ACHIEVED BY FREIGHT TRAINS Tomáš Vicherek 1 Anotace: Článek pojednává o metodě průběžných korekcí maximální dosahované
VíceNovinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25
Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní
VíceRegresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
VíceMETODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA
METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA Získávání tepla ze vzduchu Tepelná čerpadla odebírající teplo ze vzduchu jsou označovaná jako vzduch-voda" případně vzduch-vzduch". Teplo obsažené
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceStatistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceMetoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka
Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný
VíceNabídka seminářů Finanční gramotnost
Nabídka seminářů Finanční gramotnost Seminář 45 minut Čas (min.) Aktivita 0-2 Přivítání, představení. Poznámky 3-5 Poznání účastníků: aktivita 4 rohy Všem se položí otázka, na kterou jsou 4 možné odpovědi.
VíceMagnetic Levitation Control
Magnetic Levitation Control Magnetic Levitation Control (MagLev) je specializovaný software pro řízení procesu magnetické levitace na zařízení Magnetic Levitation Model CE152 vytvořeném společností HUMUSOFT.
VíceÚŘAD PRO CIVILNÍ LETECTVÍ
ÚŘAD PRO CIVILNÍ LETECTVÍ Letiště Ruzyně 160 08 PRAHA 6 Sp. zn.: 11/730/0051/LKKU/03/16 Č. j.: 1391-16-701 V Praze dne 18. 2. 2016 VEŘEJNÁ VYHLÁŠKA OPATŘENÍ OBECNÉ POVAHY Úřad pro civilní letectví jako
VíceAnalýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
VíceUživatelská dokumentace
Uživatelská dokumentace k projektu Czech POINT Provozní řád Konverze dokumentů z elektronické do listinné podoby (z moci úřední) Vytvořeno dne: 29.11.2011 Verze: 2.0 2011 MVČR Obsah 1. Přihlášení do centrály
VícePříloha č. 3 VÝKONOVÉ UKAZATELE
Příloha č. 3 VÝKONOVÉ UKAZATELE OBSAH 0. ÚVODNÍ USTANOVENÍ... 3 0.1. Vymezení obsahu přílohy... 3 0.2. Způsob vedení evidencí... 3 0.3. Hodnocené období... 4 1. VÝKONOVÉ UKAZATELE ODPADNÍ VODA... 5 1.1.
VíceI. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
VíceMetodika kontroly naplněnosti pracovních míst
Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...
VíceMECHANIKA HORNIN A ZEMIN
MECHANIKA HORNIN A ZEMIN podklady k přednáškám doc. Ing. Kořínek Robert, CSc. Místnost: C 314 Telefon: 597 321 942 E-mail: robert.korinek@vsb.cz Internetové stránky: fast10.vsb.cz/korinek Mechanické vlastnosti
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceMANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA)
PH-M5MBCINT MANUÁL PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH TESTOVÝCH ÚLOH MATEMATIKA SADA B (TEST PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO 8LETÉHO GYMNÁZIA) 1. TYPY TESTOVÝCH ÚLOH V TESTU První dvě úlohy (1 2) jsou tzv. úzce otevřené
VíceKritická síla imperfektovaných systémů
Kritická síla imperfektovaných systémů Petr Frantík 1, Jiří Macur 2 Úvod V minulém století nově vzniklé obory, opírající se o studium silně nelineárních systémů, jako jsou teorie katastrof, teorie bifurkací
VícePARAMETRICKÁ STUDIE PRŮBĚHU RYCHLOSTI PROUDĚNÍ V PULTOVÉ DVOUPLÁŠŤOVÉ PROVĚTRÁVANÉ STŘEŠE NA VSTUPNÍ RYCHLOSTI
PARAMETRICKÁ STUDIE PRŮBĚHU RYCHLOSTI PROUDĚNÍ V PULTOVÉ DVOUPLÁŠŤOVÉ PROVĚTRÁVANÉ STŘEŠE NA VSTUPNÍ RYCHLOSTI TOMÁŠ BARTOŠ, JAN PĚNČÍK Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, 602
Vícetéma: Formuláře v MS Access
DUM 06 téma: Formuláře v MS Access ze sady: 3 tematický okruh sady: Databáze ze šablony: 07 - Kancelářský software určeno pro: 2. ročník vzdělávací obor: vzdělávací oblast: číslo projektu: anotace: metodika:
Více1.9.5 Středově souměrné útvary
1.9.5 Středově souměrné útvary Předpoklady: 010904 Př. 1: V obdélníkových rámech jsou nakresleny tři obrázky. Každý je sestaven z jedné přímky a jednoho obdélníku. Jeden z obrázků je středově souměrný.
VícePokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.
Pro 2 až 6 hráčů od 10 let Určitě víte, kde leží Sněžka, Snad také víte, kde pramení Vltava, kde leží Pravčická brána, Černé jezero nebo Prachovské skály. Ale co třeba Nesyt, jeskyně Šipka, Pokličky nebo
Víceo ceně nemovité věci jednotka č.345/2 v bytovém domě čp. 344, 345 a 346 v kat. území Veleslavín, m.č. Praha 6
Znalecký posudek č.8428/2016 o ceně nemovité věci jednotka č.345/2 v bytovém domě čp. 344, 345 a 346 v kat. území Veleslavín, m.č. Praha 6 - 2/9 - Vlastník nemovitosti: Slivka Pert Šumberova 345/6, Praha
VíceKdy (ne)testovat web oční kamerou
Kdy (ne)testovat web oční kamerou VYDÁNO DNE: 8. 6. 2010 Propracované moderní technické zařízení a úžasně vypadající výstupy to jsou, dle mého názoru, dva nejčastější důvody, proč se firmy rozhodnou do
VícePříručka k používání vizualizace
Příručka k používání vizualizace Obsah 1 Spuštění vizualizace a přihlášení uživatele...2 2 Hlavní menu a sledování vizualizace...3 2.1 Archivovaná data zobrazená v grafech...3 2.2 Alarmy a jejich historie...4
VíceZŘÍZENÍ SAMOSTATNÉ METEOROLOGICKÉ STANICE
T E C H N I C K É S L U Ž B Y H R A D E C K R Á L O V É Vyřizuje: Jindrová Tel.: 495 402 648 Fax: 495 402 655 e-mail: jindrova@tshk.cz IČ: 64809447 DIČ: CZ64809447 Naše značka: 115066 V Hradci Králové
VíceAkce GS SROP. Rady pro žadatele pro 4. kolo výzvy
EVROPSKÁ UNIE Akce GS SROP Rady pro žadatele pro 4. kolo výzvy 6/2006 Oddělení řízení grantových schémat, odbor regionálního a ekonomického rozvoje Moravskoslezský kraj Krajský úřad OBECNÉ RADY A PŘIPOMENUTÍ
VíceAktivity s GPS 3. Měření některých fyzikálních veličin
Aktivity s GPS 3 Měření některých fyzikálních veličin Autor: L. Dvořák Cílem materiálu je pomoci vyučujícím s přípravou a následně i s provedením terénního cvičení s využitím GPS přijímačů se žáky II.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_2_20 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
VíceVěc: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce s názvem: VÚ a ŠJ PŠOV, Nákup nového osmimístného vozidla
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA PŠOV PŠOV 1 Podbořany 441 01 Tel. ředit: 415 211 297, Mobil ředit.: 736 633 595, Tel. ústředna: 415 214 615, e - mail: a.sava@seznam.cz, Fax: 415 211529, www.vupsov.cz Věc:
VíceReference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému
Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)
VíceUkázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Mgr. Jitka Hůsková, Mgr. Petra Kašná OŠETŘOVATELSTVÍ OŠETŘOVATELSKÉ POSTUPY PRO ZDRAVOTNICKÉ ASISTENTY Pracovní sešit II/2. díl Recenze: Mgr. Taťána
VíceVYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička
VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou
VíceTermostatický směšovací ventil 2005. 04. Technický popis. Max. pracovní tlak: 1 MPa = 10 bar
TA MATIC 3400 11 5 15 CZ Termostatický směšovací ventil 2005. 04 Technický popis Oblast použití: Ventil je určen především jako centrální směšovač pro přípravu teplé užitkové vody (TUV) ve větších obytných
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceMĚŘENÍ PŘENOSOVÉ RYCHLOSTI PAMĚTÍ FLASH
MĚŘENÍ PŘENOSOVÉ RYCHLOSTI PAMĚTÍ FLASH Lukáš Pelant ČVUT FEL v Praze, katedra radioelektroniky Abstrakt Paměti Flash jsou poměrně novým záznamovým zařízením. V příspěvku je uvedena problematika pamětí
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
VíceLABORATORNÍ ÚLOHA č.1
Vyodnocení odebíranýc proudů spotřebičů používanýc v domácnostec a kanceláříc LABORATORNÍ ÚLOHA č Vyodnocení odebíranýc proudů spotřebičů používanýc v domácnostec a kanceláříc Cíl úloy: Seznámit se s analyzátorem
VíceStabilita skalního svahu rovinná smyková plocha
Inženýrský manuál č. 29 Aktualizace: 03/2016 Stabilita skalního svahu rovinná smyková plocha Program: Skalní svah Soubor: Demo_manual_29.gsk Tento inženýrský manuál popisuje určení stability skalní stěny,
VíceVzdělávací program pro obchodní partnery společnosti ROCKWOOL průvodce školením
Vzdělávací program pro obchodní partnery společnosti ROCKWOOL průvodce školením RockExpert školení přímo pro Vás RockExpert je internetový vzdělávací nástroj (přístupný online), určený pro zaměstance obchodních
VíceEvropská agentura pro bezpečnost letectví Výkonný ředitel
Rozhodnutí výkonného ředitele 2003/18/RM Konečná verze 14/11/2003 Evropská agentura pro bezpečnost letectví Výkonný ředitel ROZHODNUTÍ Č. 2003/18/RM VÝKONNÉHO ŘEDITELE AGENTURY ze dne 14. listopadu 2003
VíceModul Řízení objednávek. www.money.cz
Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
VíceTALISMAN. (dále také jen TAL 5.0 )
ZVLÁŠTNÍ POJISTNÉ PODMÍNKY PRO INVESTIČNÍ ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ AVIVA ŽIVOTNÍ POJIŠŤOVNY, A.S. TALISMAN (dále také jen TAL 5.0 ) Článek 1 Úvodní ustanovení 1. Tyto Zvláštní pojistné podmínky (dále také jen
Vícena tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:
Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace
Více