M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

Transkript

1 Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice. Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně. Ekvivalentní úpravy rovnic. ekvivalentní úprava Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: x + = 7 - x /+x 5x + = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 4 /:8 x = Pozn.: Pokud se o u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti. Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad : VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na z 7

2 Příklad : Jednoduché lineární rovnice. 80 Příklad : Příklad 4: x = 9/7 Příklad 5: 5 z 7 z 7

3 , , , ,5 -,5 4 z 7 5 z 7

4 ,5 Všechna reálná čísla , ,5-6 z 7 7 z 7

5 , , z 7 9 z 7

6 Složitější lineární rovnice Nemá řešení z 7 z 7

7 Nekonečně mnoho řešení. ( + ) ( x + ) x = x x x -0, Nemá řešení , ( x ) ( x ) = 0x ( x + ) 760 Nemá smysl Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou je taková rovnice, která ve svém zadání obsahuje jednu nebo více absolutních hodnot. I v tomto případě se může jednat jak o rovnici lineární, tak o rovnici kvadratickou. Připomeňme si: Nemá řešení Absolutní hodnota kladného čísla je kladné číslo. - př. 5 = 5 Absolutní hodnota nuly je nula. - př.: 0 = 0 Absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo. - př.: -6 =+6 Dále platí: a = a... pro a > 0 a = -a... pro a < 0 a = 0... pro a = 0 Postup při řešení lineárních rovnic s absolutní hodnotou: z 7 z 7

8 . Stanovíme tzv. nulové body, tj. určíme čísla, pro něž jsou zadané absolutní hodnoty nulové.. Nulové body znázorníme na číselné ose.. Z číselné osy vytvoříme - za pomoci zakreslených nulových bodů - intervaly, které užijeme v dalším řešení; mezní bod je výhodnější vztahovat do "vyššího" intervalu. 4. Vytvoříme si tabulku, kde sloupečky představují jednotlivé intervaly a řádky zadané absolutní hodnoty; do tabulky vyznačíme, zda příslušná hodnota nabývá v daném intervalu kladné hodnoty nebo záporné hodnoty. 5. Řešíme rovnici pro jednotlivé typy intervalů, absolutní hodnoty odstraňujeme tak, že pokud nabývá v zadaném intervalu kladné hodnoty, přeměníme ji na závorku a pokud nabývá záporné hodnoty, též ji přeměníme na závorku, avšak změníme znaménka všech členů v závorce na opačná. Kořen rovnice vždy konzultujeme, zda vyhovuje zadanému intervalu; pokud ne, kořen je v tomto případě neplatný. Pokud v některém intervalu vyjde závěr "nekonečně mnoho řešení", pak řešením této části rovnice je zadaný interval, v němž jsme řešili. 6. Všechna vzniklá řešení sloučíme do množiny, případně intervalů. x + - x + x - = x x + 0 = 0... řešení x <; + ) Celkový závěr: x {-} <; + ) Příklad : Ukázkové příklady: Příklad : Nulovým bodem je číslo. Nulové body: -; 0; ; x (- ; -) x <-; 0) x <0; ) x <; ) x <; + ) x x x x Řešení pro x (- ; -) (-x - ) - (-x) +.(-x + ) =.(-x + ) + x + -x - + x - x + = -x x + -x = 4 x = -... zadanému intervalu vyhovuje. Řešení pro x <-; 0) (x + ) - (-x) +.(-x + ) =.(-x + ) + x + x + + x - x + = -x x + 0 =... nemá řešení. Řešení pro x (- ; ) ( 4a) 4a = - 4a = - 4a 0 = 0... řešením je x (- ; ). Řešení pro x (; + ) (Interval je otevřený vzhledem k podmínce řešitelnosti) ( + 4a) 4a = - + 4a = - 4a 8a = 4 a =... nevyhovuje zadanému intervalu Celkový závěr: x (- ; ) Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady. Řešení pro x <0; ) (x + ) - (x) +.(-x + ) =.(-x + ) + x + x + - x - x + = -x x + -x = x = -... zadanému intervalu nevyhovuje 4. Řešení pro x <; ) (x + ) - (x) +.(x - ) =.(-x + ) + x + x + - x + x - = -x x + 4x = 8 x =... zadanému intervalu nevyhovuje 5. Řešení pro x <; + ) (x + ) - (x) +.(x - ) =.(x - ) + x z 7 5 z 7

9 Nemá řešení Nemá řešení , z 7 7 z 7

10 Obsah Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Jednoduché lineární rovnice Složitější lineární rovnice 0 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady :9:5 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (