3.1.7 Kyvadlo. Předpoklady: 3106

Transkript

1 37 Kyvado ředpokady: 306 edaoická poznámka: Ceý obsah hodiny není možné stihnout za 45 minut Je třeba se ozhodnout, co je podstatné: testování vzoce paktickým sestojováním kyvade, povídání o kyvadových hodinách nebo počítání sožitějších příkadů Dva posední příkady je pak možné zadat spíše na doma ř : Najdi veičiny, na kteých závisí peioda kyvada (závaží zavěšené na povázku) eioda zřejmě závisí na: déce kyvada (větší déka deší peioda), hmotnosti kyvada (větší hmotnost deší peioda jako u pužiny) edaoická poznámka: eioda kyvada na hmotnosti samozřejmě nezáeží, uvažovat o této závisosti je však zcea přiozené a fyzikáně opodstatněné Známe pohybovou ovnici hamonického kmitání F = mω y zkusíme vztah po peiodu kyvada odvodit Záeží na přesnosti pohedu: pokud zanedbáme veikost závaží a hmotnost povázku matematické kyvado (hmotný bod na nehmotném závěsu), pokud uvažujeme veikost závaží, případně i hmotnost povázku fyzické kyvado (tuhé těeso otáčivé koem osy, defomace povázku musíme zanedbat) Dáe se budeme zabývat pouze matematickými kyvady (jednodušší) Odvození patí pouze po maé úhy α (do 5 )

2 F n F p F G y Kyvado uvádí do pohybu pohybová sožka F tíhové síy F p Z vyznačených podobných pavoúhých Fp y ' y ' tojúheníků: = Fp = F F o maé úhy je vyznačená vodoovná výchyka y přibižně ovna výchyce y y m F = p F y = (patí pouze po veikosti) Sía F má po maé úhy přibižně opačný p m smě než výchyka y Fp = y Dosadíme do ovnice: F = F = mω y m = = ω ω y m y π = ω = π f = = π p řekvapivě nezáeží na hmotnosti kyvada (ae je to pochopitené, větší hmotnost sice znamená větší odpo ke zychování, ae také větší zychovací síu) Anaoie tíhového zychení, se kteým ve vzduchopázdnu padají všechny předměty ř : Uči peiodu kyvada na stoe a sovnej ji s naměřenou hodnotou Déka kyvada: = 3 cm = 0,3 m, - = 0m s, =? 0,3 = π = π =,s 0 Naměřená hodnota: 0 kmitů,5 s =,5s edaoická poznámka: ředpokádám, že učite do hodiny nějaké kyvado přinese Změření kyvada by mě v případě, že studenti budou kyvada sestavovat sami, povést sám a nemě by příiš komentovat, jak přesně měření poved ř 3: Uči déku kyvada, kteé kmitá s peiodou s Kyvado sestoj a jeho peiodu změř oovnej oba výsedky = s, = π - = 0m s, =?

3 4 = π = = = = 0 m = 0, 53m Kyvado musí mít déku závěsu 0,53 m, aby kmitao s peiodou s edaoická poznámka: 5 cm je dostatečně kátká déka, takže studenti mohou sestojit kyvado pouhým zavěšení závaží na povázek a svá kyvada zavěšovat za háčky na avicích ři poovnávání výsedků se zjistí, že nepřesnost studentů je většinou daeko větší než u kyvada z příkadu Diskuse by měa dojít k tomu, že chyby měření jsou obou případech stejné, ae eativní chyba je v duhém případě větší Daším pobémem je, že studenti většinou měří pouze déku povázku, ne déku ceého kyvada k až k těžišti závaží Jde o hezký příkad systematické chyby Jinou možností je povést pokus fontáně před ceou třídou a nechat povázek zavázet někteého ze žáků S tochou manipuace se Vám učitě podaří dotačit žáka k tomu, aby do 5,3 cm započíta pouze povázek Kyvado pak kývá ze zřeteně větší peiodou (při použití 00 závaží s háčkem děá ozdí do těžiště cca,5 cm, což vede k chybě v peiodě o cca 0,6 s na deset kmitů) Násedně se žáky ozebíáme možné zdoje chyby (odpo vzduchu, hmotnost povázku, veikost závaží, ) u jednotivých podezření se ihned snažíme odhadnout jejich možný viv (ychost utumení kmitů, hmotnost povázku, ) ř 4: o konstukci hodin byo v minuosti důežité tzv sekundové kyvado, jehož doba kyvu (doba mezi dvěma půchody ovnovážnou poohou, tedy poovina peiody) je ovna s Uči jeho déku o výpočet použij přesnější hodnotu tíhového zychení - = 9,8m s Kyvs = = s, = π = 4 π = - = 9,8m s, =? = = = 9,8m = 0,994m Sekundové kyvado musí mít déku 0,994 m 3

4 oznámka: Déka sekundového kyvada bya před zavedením metické soustavy navhována jako zákadní déková jednotka ř 5: omocí obázku se pokus vysvětit, jakým způsobem řídí kyvado chod kyvadových hodin kok kyvado čočka havní ozubené koo Gavitace táhne závaží doů závěs se snaží otáčet havním ozubeným koem Kok se kývá spou s kyvadem a pouští při každém kyvu ozubené koo o jeden zub ři dotyku ozubené koo do koku pokaždé šťouchne a tím udžuje kyvado v neustáém pohybu (jinak by se kývání po učité době zastavio) závaží edaoická poznámka: Většina studentů nepřijde na to, že je důežité kyvadu neustáe dodávat eneii, aby se nezastavio řitom jde o zajímavý pobém, potože když jsme zkusii původní kyvado nahadit závažím na povázku (o spočtené déce), kývání závaží se poměně yche ukidniy ř 6: Závaží umístěné na kyvade (čočka) je možné po kyvade posunovat Kam je nutné závaží po kyvade posunout, pokud se hodiny zpožďují? Hodiny se zpožďují zkacujeme peiodu kyvada pode vzoce = π musíme zkátit jeho déku musíme čočku posunout nahou ř 7: Kyvadové hodiny jsou nařízeny tak, že jdou přesně při pokojové tepotě 0 C Jak se změní jejich chod, pokud tepota v místnosti kesne na 0 C? Jakým způsobem je možné chybu napavit? V místnosti se sníží tepota všechny předměty zmenší svoje ozměy zkátí se déka kyvada zkátí se peioda kyvu hodiny se začnou předbíhat Musíme čočku posunout doů, aby se peioda vátia na původní hodnotu 4

5 ř 8: Konstukce kyvadových hodin je jedním z máa případů, kdy se i v běžném použití pojeví ozdíná veikost tíhového zychení na ůzných místech Země Budou na - ovníku ( = 9,78m s ) kyvadového hodiny s kyvadem nastaveným v aze - ( = 9,8m s ) předcházet nebo zpožďovat? Kam bude třeba posunout čočku, aby se hodiny přestay ozcházet? Vzoec po peiodu kyvada = π pokud zůstane déka kyvada stejná a tíhové zychení se přemístěním z ahy na ovník zmenší, zmenší se číso ve jmenovatei a tím se výsedná peioda podouží hodiny budou kývat pomaeji odměří více kyvů a budou se zpomaovat Čočku bude třeba posunout nahou, aby zkátia déka kyvada i peioda jeho kmitů Dodatek: íhové zychení je v podstatě zbytek avitačního zychení, kteý se nespotřebuje na udžování předmětu na kuhové dáze, na kteé se pohybuje při otáčení s povchem Země ředmět na póu se neotáčí, předmět na ovníku se naopak otáčí s největší obvodovou ychostí oto tíhové zychení na póu největší - ( = 9,83m s, nic se nespotřebovává na dostřeďování) a jeho hodnota směem - k ovníku postupně kesá (na = 9,78m s, s tím, jak je se čím dá více spotřebovává na dostřeďování) Více v hodinách 00404, a ř 9: V kteých místech České epubiky musí mít kyvadové hodiny katší kyvado, aby kývay se spávnou peiodou? Hodnota tíhového zychení kesá od póu k ovníku pokud má zůstat zachována veikost podíu ve vzoci = π musí se s tíhovým zychením zmenšovat i déka kyvada v jižních obastech České epubiky mají kyvadové hodiny katší kyvado Ve všech násedujících příkadech o kyvadových hodinách budeme předpokádat, že jsou vybaveny sekundovým kyvadem s peiodou = s ř 0: Mají kyvadové hodiny stejnou déku kyvada ve stejné zeměpisné šířce v nížinách i v hoách? Když stoupáme do výšky, zvětšuje se naše vzdáenost od středu Země zmenšuje se avitační přitahování zmenšuje se tíhové zychení podužuje se peioda kyvada kyvadové hodiny v hoách mají katší kyvado než kyvadové hodiny v nížinách - ř : Uči, jak se budou ozcházet na ovníku ( = 9,78m s ) kyvadové hodiny - s kyvadem nastaveným v aze ( = 9,8m s ) - = 9,78m s, - = 9,8m s, p s = =, =? Déka sekundového kyvada v aze (doba kmitu ): 5

6 = π = π 4 Doba jednoho kmitu na ovníku: = = π = = = 4 π π π π 9,8 Změna doby kmitu: = = = = = 9,78 3 Odchyka za sekundu (peioda kyvada jsou sekundy):,53 0 s 3 3,07 0 s 3 Odchyka za ceý den: t = ,53 0 s = 3s Hodiny nastavené v aze se na ovníku opozdí o více než dvě minuty za den edaoická poznámka: V předchozím příkadu a v příkadu 0 je epší nechat sabší žáky 9,8 počítat konkétně ostupné výsedky: = = 0,99396, 9,8 = = s =, 003s 9,78 ř : Uči, o koik se za týden ozejdou kyvadového hodiny, pokud se tepota v místnosti změní z 0 C na 5 C ředpokádej, že kyvado je vyobeno ze žeeza se 3 - součiniteem tepotní oztažnosti α = 0,0 0 K ředpokádej, že při tepotě 0 C šy hodiny přesně 3 - t = 0 C, t = 5 C, α = 0,0 0 K, = s, t =? Změna tepoty t t t 5 C = + α t = =, změněná déka ( ) ůvodní doba kmitu: = π Doba kmitu po ochazení místnosti: Změna doby kmitu: ( + α t ) = π = π ( + α ) ( ) t = = = + t π π π α = π + α t = π + α t = + α t ( ) ( ) ( ) ( ) ( α ) ( ) = + t = + = 3 4 0, s,8 0 s ,8 0 4 s 54s Odchyka za týden: t = = = Hodiny se za týden předběhnou o neceou minutu 6

7 edaoická poznámka: ( ) 3 ( + α t ) 0, , 0 0 ( 5) = = = 9,8 π π s,9998 s ř 3: Odvoď vztah po koekci déky kyvado v závisosti na nadmořské výšce ředpokádej, že jsi na póu Během kmitání se mění ychost i výška kyvada dochází k přeměnám mechanické eneie (kinetické a potenciání) ř 4: Rozdě kmitavý pohyb kyvada na čtyři části a posuď se během nich mění kinetická a potenciání eneie kyvada Kyvado se pohybuje z ovnovážné poohy do maximání kadné výchyky: veikost ychosti kyvada se zmenšuje kinetická eneie kyvada se zmenšuje, veikost výchyky kyvada se zvětšuje zvětšuje se i výška kyvada zvětšuje se potenciání eneie kyvada Kyvado se pohybuje z maximání kadné výchyky do ovnovážné poohy: veikost ychosti kyvada se zvětšuje kinetická eneie kyvada se zvětšuje, veikost výchyky kyvada se zmenšuje zmenšuje se i výška kyvada zmenšuje se potenciání eneie kyvada Kyvado se pohybuje z ovnovážné poohy do maximání záponé výchyky: veikost ychosti kyvada se zmenšuje kinetická eneie kyvada se zmenšuje, veikost výchyky kyvada se zvětšuje zvětšuje se i výška kyvada zvětšuje se potenciání eneie kyvada Kyvado se pohybuje z maximání záponé výchyky do ovnovážné poohy: veikost ychosti kyvada se zvětšuje kinetická eneie kyvada se zvětšuje, veikost výchyky kyvada se zmenšuje zmenšuje se i výška kyvada zmenšuje se potenciání eneie kyvada Vemi podobná situace jako u kamene vženého vzhůu: zmenšování jednoho typu eneie povází zvětšování duhého duhu zdá se, že patí zákon zachování mechanické eneie Zřejmě to tak musí být, pokud zanedbáme odpo vzduchu a tření, kyvado se kývá se stejnou výchykou potenciání eneie kyvada se musí přeměnit na jiný duh eneie, aby kyvado při daší maximání pooze dosáho stejné maximání výchyky ř 5: Matematické kyvado o déce m a hmotnosti 0,5k kývá s maximání výchykou 5 cm oovnej jeho kinetickou eneii v ovnovážné pooze s jeho potenciání eneií v bodě maximání výchyky Jako hadinu nuové potenciání eneie uvažuj ovnovážnou poohu = m, m = 0,5k, y m = 5cm = 0,05m, Kinetická eneie v ovnovážné pooze: E ( ) k mv mvm m ω ym - = 0m s = = = (použijeme vm = ω ym ) 7

8 Úhovou ychost učíme ze vztahu po peiodu: = π, π = ω 0 3 Ek = m( ω ym ) = m ym m ym 0,5 0,05 J 6,5 0 J = = = otenciání eneie v bodě maximání výchyky: = mh Ep Výšku nad ovnovážnou poohou učíme z modého pavoúhého tojúheníku: ( ) h = y m h = y m y = h m π = = ω y m h ( m ) ( ) 3 E = mh = m y = 0,5 0 0,5 J = 6,54 0 J p Vypočtené hodnoty nejsou zcea stejné, což není překvapivé ři odvozování vztahu po peiodu jsme neozišovai mezi výchykou a vodoovnou výchykou Všechny naše výsedky jsou poto pouze přibižné Dodatek: Fyzické kyvado: - sedujeme pevné těeso, kteé se otáčí okoo osy, kteá nepochází jeho těžištěm Dva vzoce: J = π (J moment setvačnosti, m hmotnost, d vzdáenost těžiště od md osy otáčení) L = π (L edukovaná déka, můžeme ji učit expeimentáně výpočtem ze J změřené peiody, nebo výpočtem L = ) md Shnutí: eioda kyvada závisí na jeho déce a veikosti tíhového zychení 8