6. Střídavý proud Sinusových průběh

Transkript

1 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky. My se budeme zabývat střídavým proudem a napětím se sinusovým průběhem, který je důležitý pro výrobu a rozvod elektrické energie Sinusových průběh Otáčí-li se úsečka A = 0P kolem své osy proti smyslu otáčení hodinových ručiček, opisuje bod P kružnici a úhel α se mění od 0 do 360. Jestliže úhel α nabývá hodnot 0 až 360 úsečka a se v prvním kvadrantu zvětšuje. Při zvětšování úhlu α od 90 do 180 přejde úsečka do druhého kvadrantu a zmenšuje až na nulu, ale stále je nad vodorovnou osou to znamená, že má kladnou hodnotu. Při dalším zvětšování úhlu α (od 180 do 360 ) přechází úsečka do třetího kvadrantu a zvětšuje se od 0 do A. Ve čtvrtém kvadrantu se úsečka zmenšuje zase na 0, ale leží pod vodorovnou osou a její okamžité hodnoty sinusového průběhu jsou záporné. Rozvineme-li okamžité hodnoty úsečky a = A sin α na vodorovnou osu a spojíme vynesené hodnoty příslušné okamžité hodnoty, dostaneme plynulou křivku sinusoidu. Volíme-li úsečku A dlouhou 1m je okamžitá hodnota úsečky a = sin α. Kružnice po které se pohyboval bod P je jednotková a úhel α je vyjádřen v obloukové míře (radiánech) dostáváme skutečné hodnoty funkce sin α. Kde úhel α je přímo úměrný času t a jeho ramena vytínají na jednotkové kružnici, opsané vrcholu úhlu, oblouk délky rovnající se jedné. Časový průběh proudu 1

2 Každá střídavá veličina mění periodiky svůj smysl a velikost. Dobu kmitu (periodu) střídavé veličiny označujeme T [s]. Převrácená hodnota doby kmitu určuje kmitočet (frekvenci). Kmitočet f je počet kmitů za jednotku času. Jednotkou kmitočtu je hertz [Hz], a má rozměr 1/s. [Hz; s] T = [s; Hz] Střídavý proud se používá k osvětlování pohonu elektrických zařízení s frekvencí 50 Hz. Nazývá se průmyslový kmitočet, na rozdíl od kmitočtu, který se používá v komunikaci pro přenos zvuku, dat a obrazu. Elektromagnetické pole se šíří rychlosti světla c = [m. s -1 ] a z toho plyne: Vlnová délka (λ [m]) je přímo úměrná rychlosti šíření a nepřímo úměrná kmitočtu. λ = [m; m. s -1, Hz] Tři sinusové průběhy o vlnové délce 20, 50, a 100 metrů V rovnici a = A. sin α je úhel ve stupních a je úměrný času a proto ho můžeme vyjádřit v závislosti na čase: α :2π = t : T; α = = 2πf = ω t [rad. s -1 ; s] Omega [ω=2πf] se vyjadřuje v obloukové míře a nazývá se úhlová frekvence. Pro převod radiánů na stupně a opačně platí vztah: 2

3 α r =. α s [rad; ]; α s = [ ; rad] Fázový posun Je-li, počátek sinusového průběhu, posunut o úhel φ, tedy nezačíná v nule pak mohou nastat dva případy. a) okamžité hodnoty proudu a napětí jsou posunuty před počátek o úhel φ. Časový průběh proudu a napětí se předbíhá a výsledným rovnicím je přičten úhel φ i = I max. sin (ω. t + φ); u = U max. sin (ω. t + φ) b) okamžité hodnoty proudu a napětí jsou posunuty za počátek o úhel φ. Časový průběh proudu a napětí se zpožďuje a výsledným rovnicím je odečten úhel φ i = I max. sin (ω. t - φ); u = U max. sin (ω. t - φ) Posunutí o úhel φ platí pro všechny harmonické veličiny. Časový průběh proudu s kladným fázovým posunem 3

4 Časový průběh proudu se záporným fázovým posunem 6.2. Vznik střídavého napětí a proudu Střídavý sinusový proud a napětí vzniká dvěma způsoby, které vycházejí z poznatků o elektromagnetické indukci (kapitola 5). 1. Časovou změnou magnetického toku spřaženého s uzavřenou smyčkou - cívkou u = N. Předpokládáme, že spřažený magnetický tok, který prochází, smyčkou má sinusový průběh daný vztahem Φ = Φ max. sin α = Φ max. sin ω. t. Pak časovou změnou magnetického toku se bude v cívce s N závity indukovat střídavé napětí u. Při kladné časové změně indukčního toku se indukuje napětí kladné, při záporné časové změně pak napětí záporné. Z průběhu střídavého magnetického toku Φ vyplývá, že časová změna toku, je největší v okamžicích kdy magnetický tok prochází nulou je indukované napětí největší má hodnotu U max. V okamžicích kdy je časová změna magnetického toku rovna nule je indukované napětí rovno nule. Indukované napětí je kladné jestli-že magnetický tok roste. Při zmenšování magnetického toku je indukované napětí záporné. Z toho plyne, že časová změna střídavého magnetického toku se indukuje v ideální cívce střídavé napětí, které předbíhá magnetický tok o. Časový průběh indukovaného napětí je sinusový a je dán rovnicí u = U max. sin (ωt + ) Kde amplituda indukovaného napětí ideální cívky s N závity je 4

5 U max = N. ω. Φ max Dosadíme-li za maximální napětí U max napětí efektivní U a vyčíslíme, dostaneme U =. f. N. Φ max; 2. Pohybem vodiče v magnetickém poli Uvažujeme-li, že se v homogenním, magnetickém poli, pohybuje vodič M, po obvodu kružnice rychlostí v = ω. r. Podle indukčního zákona se ve vodiči indukuje napětí sinusového průběhu, kde složka rychlosti v, je kolmá ke směru magnetického pole. u = B. l. v = B. l sin. ω. t, Indukce elektrického napětí sinusového průběhu ve vodiči Otáčí-li se v homogenním magnetickém poli závit obdélníkového tvaru, indukují se na obou stranách závitu stejně velké okamžité hodnoty napětí takového smyslu, že se jejich velikosti sčítají. Pro celkové okamžité indukované napětí dostaneme vztah a jeho úpravou dostáváme výpočet okamžité hodnoty indukovaného střídavého napětí sinusového průběhu u = 2. B. l. v. sin ω. t ; u = U max. sin ω. t Máme - li obvod s ideálním rezistorem tak působením sinusového elektrického napětí vznikne sinusový proud, jehož okamžitá hodnota je i = =. sin ω. t = I max sin ω. t 5

6 Indukce elektrického napětí sinusového průběhu v závitu 6.3. Hodnoty elektrických veličin sinusového proudu Střídavý proud a napětí nají v každém okamžiku jinou velikost a proto nabývají různé hodnoty: 1. Okamžitá hodnota je hodnota, která odpovídá určitému času a označujeme ji malými písmeny u, i. Je dána vztahem i = I max sin ω. t; u = U max. sin ω. t Nezačíná-li sinusový proud nebo napětí v nule platí pro okamžitou hodnotu vztah: i = I max. sin (ω. t ± φ) u = U max. sin (ω. t ± φ); (6.3) Kde φ je úhel fázového posunu. 2. Maximální hodnota je to největší okamžitá hodnota proudu, napětí a označujeme ji jako amplitudu U max a I max. 3. Efektivní hodnota tato hodnota střídavého proudu nebo napětí vykonává stejné tepelné účinky jako myšlená hodnota stejnosměrného proudu nebo napětí. Značíme je I a U a je to hodnota, která leží mezi maximální a střední hodnotou. Tuto hodnotu naměříme na běžných měřících přístrojích a jsou uváděny na štítcích 6

7 elektrických přístrojů i zásuvce. I = = 0,707 I max.; U = = 0,707 U max.; Efektivní hodnota střídavého proudu 4. Střední hodnota je hodnota střídavého proudu nebo napětí, která vyvolá stejné chemické účinky jako myšlená hodnota stejnosměrného proudu nebo napětí. Označujeme ji I stř a U stř. Vypočítáme ji pro dobu T v absolutní hodnotě a T/2. I stř = = 0,637. I max.; U stř = = 0,637. U max I stř = = 0,318. I max.; U stř = = 0,318. U max Vztah mezi efektivní hodnotou a střední hodnotou střídavého proudu nebo napětí se vyjádří vztahem: I = ; I max = I. 2; I stř =. I max; I = I stř U = ; U max = U. 2; U stř =. U max; I = U stř Střední hodnota střídavého proudu 7

8 6.4. Fázory Střídavé harmonické veličiny znázorňujeme analyticky pomocí goniometrických funkcí. Okamžité hodnoty jsou znázorněny průmětem otáčející se orientované úsečky a její délka určuje amplitudu sinusové veličiny. Úhel α mezi úsečkou a osou x určuje směr úsečky. Fázor se graficky znázorňuje orientovanou úsečkou. Znázorňujeme-li střídavé veličiny, pomocí fázorů v Gaussově rovině dostáváme obrazec, který nazýváme fázorový diagram. Při konstrukci fázorového diagramu se řídíme těmito zásadami: 1. Fázor se otáčí úhlovou rychlostí ω = 2 πf; proti směru hodinových ručiček. V diagramu je to označeno šipkou 2. Do jednotlivých diagramů zakreslujeme fázory sinusových veličin, které mají stejný kmitočet 3. Fázory skládáme a rozkládáme pomocí rovnoběžníku nebo trojúhelníku. Sčítat nebo odčítat můžeme fázory téže sinusové veličiny. 4. Kladnou hodnotu mají fázory kreslené nad osou x a záporné hodnoty mají fázory kreslené pod osou x. Fázory ležící v ose x mají nulové okamžité hodnoty a fázory ležící v ose y mají v daném okamžiku maximální hodnotu sinusových veličin Fázory Fázorový diagram 6.5. Ideální rezistor, cívka a kondenzátor v obvodu střídavého proudu 1. Ideální rezistor Zapojíme-li ideální rezistor ke zdroji střídavého napětí o frekvenci f, na jehož svorkách je napětí u = U max. sin ω. t. Bude, obvodem procházet proud podle Ohmova zákona. i = =. sin ω. t Proud má sinusový průběh se stejným kmitočtem jako napětí 8

9 Ideální rezistor v obvodu střídavého proudu Grafické znázornění průběhu střídavého proudu a střídavého napětí v obvodu s ideálním rezistorrem Z průběhu proudu a napětí je patrné, že proud i sleduje přesně změny napětí u. Takový proud, který má ve stejném časovém okamžiku nulové a maximální hodnoty shodné je proud ve fázi. Pro tento proud platí Ohmův zákon ve stejném tvaru jako pro proud stejnosměrný. I = I = G. U; G = 2. Ideální cívka Připojíme-li ke zdroji, střídavého napětí ideální cívku bude obvodem procházet sinusový proud i = I max sin ω. t, který vybudí magnetický tok Φ, který je ve fázi s proudem i. Ideální cívka v obvodu Grafické znázornění průběhu střídavého proudu a napětí 9

10 střídavého proudu v obvodu s ideální cívkou Z průběhu střídavého proudu i vyplývá, že časová změna proudu je největší v okamžiku kdy proud prochází nulou (t = 0; T/2; 3T/2). V těchto okamžicích je indukované napětí největší a nabývá hodnoty U max, jestliže je, časová změna proudu rovna nule je i indukované napětí rovno nule. Platí tedy, že časovou změnou sinusového proudu se indukuje v ideální cívce střídavé napětí, které předbíhá proud o π/2. Pak napětí v ideální cívce bude dáno vztahem i = I max sin ω. t; u = U max. sin (ω. t + ) Ideální cívka nemá činný odpor, ale přesto dochází k omezení proudu, které je způsobeno zdánlivým odporem cívky, který se nazývá indukční reaktance X L a její jednotkou je [Ω] a je dána vztahem: X L = ω. L = 2π. f. L [Ω; Hz, H] Převrácená hodnota indukční reaktance je indukční susceptance B L (zdánlivá vodivost) a její jednotkou je [S] a je daná vztahem: B L = = = [S; Hz, H] Pro napětí platí vztah: U = I. X L 3. Ideální kondenzátor Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu je připojen ke zdroji střídavého napětí u = U max. sin ω. t a obvodem bude procházet střídavý sinusový i. Ideální kondenzátor v obvodu Grafické znázornění průběhu střídavého proudu a napětí 10

11 střídavého proudu v obvodu s ideálním kondenzátorem Z průběhu střídavého napětí je zřejmé, že časová změna napětí je největší v okamžicích, kdy napětí prochází nulou. V těchto okamžicích je proud největší, má hodnotu I max. Jestli-že je časová změna napětí rovna nule je proud nulový. Proud, je kladný, je-li kladná časová změna napětí. Napětí na kondenzátoru je dáno rovnicí: u = U max. sin ω. t Pak proud na ideálním kondenzátoru bude: i = I max. sin (ω. t + ) Je patrné, že proud v obvodu s ideálním kondenzátorem předbíhá napětí o π/2. Ideální kondenzátor má dokonalé dielektrikum a přesto dochází k omezení proudu, které je způsobeno zdánlivým kapacitním odporem. Odpor nazýváme kapacitní reaktance, značíme ji X c a jeho jednotkou je ohm [Ω]. X c = = [Ω; Hz, F] Převrácená hodnota kapacitní reaktance (kapacitance) je kapacitní zdánlivá vodivost susceptance, značíme ji B c a její jednotka je siemens [S]. Bc = = ω. C = 2π. f. C [S; Ω, ] Napětí vypočteme podle vztahu: U = I. X C Skutečné parametry rezistoru, cívky a kondenzátoru 1. Rezistor Ideální rezistor je součástka, která má pouze elektrický odpor. Neuplatňuje se u ní vliv jiného parametru. V obvodu střídavého proudu má reálný rezistor mimo odporu R ještě odpor povrchový R t vlivem nerovnoměrného rozložení hustoty elektrického proudu ve vodiči. Největší hustota proudu je pod povrchem vodiče a proto klade rezistor mnohem větší odpor průchodu střídavého proudu než průchodu proudu stejnosměrného. Dále se u rezistoru uplatňuje indukční reaktance vyvolaná indukčností L a kapacitní reaktance, která se vytvoří mezi závity vinutých reálných rezistorů. Vlivem indukčností a kapacity se odpor rezistoru stává závislý na kmitočtu a při jeho výpočtu musíme uvažovat i tyto parametry. 11

12 Náhradní schéma skutečného rezistoru 2. Cívka Ideální cívka je součástka zhotovená z dokonalého vodiče s nulovým odporem a jediným, jejím parametrem je indukčnost L. Reálná cívka v obvodu střídavého proudu má kromě indukčnosti kapacitu C mezi závity a ztrátový odpor R, který zahrnuje činný odpor drátu, vliv povrchového jevu a další přídavné ztráty. Náhradní schéma skutečné cívky 3. Kondenzátor Ideální kondenzátor je součástka vyrobená z dokonale vodivých desek a dokonalým dielektrikem. Jeho jediným parametrem je kapacita C. Reálný kondenzátor má v obvodu střídavého proudu ještě další vlastnosti. Kromě kapacity C, je to ztrátový odpor R, který zahrnuje ztráty v dielektriku, izolační odpor a odpor způsobený povrchovým jevem. Dále se zde projevuje indukčnost folií. Náhradní schéma skutečného kondenzátoru Složené střídavé obvody R, L, C Složené střídavé obvody vzniknou zapojením součástek R, L a C. Součástky ve střídavém složeném obvodu mohou být zapojeny do série, paralelně nebo sérioparalelně. Ve složených obvodech uvažujeme ideální součástky. Při řešení vycházíme ze schematického zapojení obvodu, ve kterém zakreslíme zvolený, kladný směr proudu a napětí. Nakreslíme orientační fázorový diagram platný pro jednotlivé prvky obvodu vyplývající z Ohmova zákona pro efektivní hodnoty. 12

13 Proud v ideálním rezistoru R je ve fázi s napětím a platí U = R. I. Proud v ideální cívce je zpožděn za napětím o π/2 a platí U L = X L. I = ω. L. I. Proud v ideálním kondenzátoru předbíhá napětí o π/2 a platí U C = X C. I nebo I =ω. C. U. U paralelního spojení součástek sčítáme fázory proudů. Při sériovým spojení prvků sčítáme fázory napětí. Fázor řídící veličiny umísťujeme do kladné osy x. Řídící veličinou je proud nebo napětí. Pro fázory proudu napětí používáme Kirchhoffovy zákony. = 0 první Kirchhoffův zákon = 0 druhý Kirchhoffův zákon Při řešení obvodů vycházíme z fázorového diagramu a matematicky řešíme obvody pomocí Pythagorovy věty a pomocí goniometrických funkcí Sériové řazení R, L, C Sériové řazení R, L. Schéma zapojení Fázorový diagram Trojúhelník napětí sériového obvodu R, L, a) řídící veličina I b) řídící veličina U Oběma prvky prochází stejný proud I. Velikost napětí na ideálním rezistoru je podle Ohmova zákona U R = R. I a je ve fázi s proudem. Napětí na ideální cívce U L = X L. I, předchází proud o 90. V obvodu střídavého proudu, kde jsou použity reálné součástky, se pracuje s impedancemi. Impedance má charakter odporu a celková impedance obvodu Z zahrnuje jak ohmický, odpor tak zdánlivý odpor cívky a její jednotkou je [Ω ]. Z = R 2 + Výsledné napětí vypočítáme: U = Z. I 13

14 Z fázorového diagramu zjistíme, že pro daný obvod je proud I řídící veličinou a napětí sčítáme vektorově. Fázory U R, U L a U tvoří pravoúhlý trojúhelník. Proto absolutní hodnotu celkového napětí vypočítáme z Pythagorovy věty, proud procházející obvodem vypočteme ze vztahu U = + I = = Převrácenou hodnotou impedance je admitance obvodu, která má charakter vodivost značí se Y a její jednotka je siemens [S ]. Y = Z fázorového diagramu můžeme určit fázový posun mezi celkovým napětím U a proudem I. Platí vztahy: cos φ = = sin φ = = tg φ = = Sériové řazení R, C. Schéma zapojení Fázorový diagram Trojúhelník napětí sériového obvodu R, C, a) řídící veličina I b) řídící veličina U Oběma prvky prochází stejný proud I. Velikost napětí na ideálním rezistoru je podle Ohmova zákona U R = R. I a je ve fázi s proudem. Napětí na ideálním kondenzátoru U C = X C. I, se zpožďuje za proudem o

15 Pro impedanci obvodu platí vztah: Z = R 2 + Výsledné napětí vypočítáme: U = Z. I Z fázorového diagramu zjistíme, že pro daný obvod je proud I řídící veličinou a napětí sčítáme vektorově. Fázory U R, U C a U tvoří pravoúhlý trojúhelník, kde napětí a proud procházející obvodem vypočteme ze vztahu U = + I = = Admitanci vypočítáme: Y = Z fázorového diagramu můžeme určit fázový posun mezi celkovým napětím U a proudem I. Platí vztahy: cos φ = = sin φ = = tg φ = = Sériové řazení L, C. 1) 2) 3) Schéma zapojení sériového obvodu L, C. Fázorový diagram 1) indukční charakter 2) kapacitnícharakter 3) rezonance 15

16 I tady jako v předcházejících případech je řídící veličinou proud I a prochází oběma prvky. Napětí na ideální cívce U L = X L. I, předchází proud o úhel 90. Napětí na ideálním kondenzátoru U C = X C. I, je zpožděno za proudem o úhel 90. Pro výsledné napětí a impedanci platí vztah: U = U L U C Z = X L. X C Z fázorového diagramu vyplývá, že napětí na cívce a na kondenzátoru jsou proti sobě. V tomto zapojení mohou nastat tři případy: 1. Obvod má indukční charakter, který nastává jestli-že je X L X C 2. Obvod má kapacitní charakter, který nastává jestli-že je X C X L 3. Obvod je v rezonanci a pak platí X L = X C Sériové řazení ideálních prvků R, L, C Schéma zapojení sériového obvodu R, L, C. Fázorový diagram obvodu s R, L, C v sérii. Všemi prvky prochází stejný proud I. Velikost napětí na ideálním rezistoru je podle Ohmova zákona U R = R. I a je ve fázi s proudem. Napětí na ideálním kondenzátoru U C = X C. I, je zpožděno za proudem o úhel 90. Napětí na ideální cívce U L = X L. I, předchází proud o 90. Výsledná reaktance obvodu bude: X = X L - X C Z = R 2 +X 2 Výsledné napětí vypočítáme: U = Z. I U = + (U L U C ) 2 Proud procházející obvodem a admitance vypočítáme ze vztahů: 16

17 I = = Y = Fázový posun mezi výsledným napětím a proudem vypočteme. cos φ = sin φ = tg φ = V obvodu nastávají tři možné případy: 1. X L X C - obvod R, L, C bude mít indukční charakter. Rozdíl X L - X C = X, bude kladný a proud v obvodu se zpožďuje za napětím o úhel φ. Obvod lze nahradit sériovým spojením ideálního rezistoru a cívky. 2. X C X L obvod R, L, C má kapacitní charakter. Rozdíl X C - X L = X bude kladný a proud v obvodu bude předbíhat napětí o úhel φ. Obvod lze nahradit sériovým spojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. 3. X L = X C při rovnosti kapacitní a indukční reaktance dochází k sériové rezonanci. Impedance obvodu se rovná odporu ideálního rezistoru Z = R Paralelní řazení R, L, C. Paralelní řazení R, L, Schéma zapojení paralelního obvodu R, L Fázorový diagram Prvky obvodu jsou připojeny na stejné napětí U. Proud, který prochází ideálním rezistorem I R = G. U, je ve fázi s napětím. Proud procházející ideální cívkou I L = B L. U, se zpožďuje za napětím o 90. Celkový proud se potom vypočítá ze vztahu:: I = + I = U. Y 17

18 Admitanci obvodu vypočteme: Y = G 2 + Potom impedance obvodu je: Z = Fázový posun mezi výsledným proudem a napětím je cos φ = = sin φ = = tg φ = = Paralelní řazení R, C. Schéma zapojení paralelního Fázorový diagram Trojúhelník proudů obvodu R, C V obvodu je řídící veličina napětí U a obvodem střídavého proudu prochází stejné napětí na obou prvcích. Na ideálním rezistoru, je procházející proud roven I R = G. U, a je ve fázi s napětím. Proud procházející ideálním kondenzátorem I C = B C. U, předbíhá napětí o 90. Celkový proud vypočítáme: I = + I = U. Y Admitanci obvodu vypočteme: Y = G

19 Potom impedance obvodu je: Z = Fázový posun mezi výsledným proudem a napětím je cos φ = = sin φ = = tg φ = = Paralelní řazení L, C. Schéma zapojení paralelního obvodu L, C Fázorový diagram V obvodu je řídící veličina napětí U a obvodem střídavého proudu prochází stejné napětí na obou prvcích. Na ideální cívce je procházející proud roven I L = B L. U, a zpožďuje se za napětím o 90. Proud procházející ideálním kondenzátorem I C = B C. U, předbíhá napětí o 90. Celkový proud vypočítáme: Admitance se rovná: I = I L - I C Y = B L - B C Z fázorového diagramu zjistíme, že proud cívky a proud procházející kondenzátorem je opačný. Tyto proudy jdou proti sobě. Z toho vyplívá, že mohou v obvodě nastat tři případy: 19

20 1. Obvod má indukční charakter a ten nastane jestli-že je B L B C 2. Obvod má kapacitní charakter a ten nastane jestli-že je B C B L 3. Obvod je v rezonanci a pak platí B L = B C Paralelní řazení R, L, C. Schéma zapojení paralelního obvodu R, L, C a) Fázorový diagram b) trojúhelník proudu Na všech prvcích obvodu je stejné napětí U. Proud procházející ideálním rezistorem I R = G. U, je ve fázi s napětím. Proud procházející ideálním kondenzátorem I C = B C. U, předbíhá napětí o 90. Na ideální cívce, je procházející proud roven I L = B L. U, a zpožďuje se za napětím o 90. Výsledná susceptance obvodu bude: Trojúhelník vodivostí B = B C B L Admitanci obvodu vypočítáme: Y = G 2 + B 2 Celkový proud se rovná vztahu: I = U. Y I = + (I C I L ) 2 Napětí v obvodu je: 20

21 U = = Fázový posun mezi výsledným napětím a proudem je dán vztahy: cos φ = sin φ = tg φ = V obvodu nastávají tři možné případy: 1. B L B C - obvod R, L, C bude mít indukční charakter. Rozdíl B L B C = B, bude kladný a proud v obvodu se zpožďuje za napětím o úhel φ. Obvod lze nahradit paralelním spojením ideálního rezistoru a ideální cívky. 2. B C B L obvod R, L, C má kapacitní charakter. Rozdíl B C - B L = B bude kladný a proud v obvodu bude předbíhat napětí o úhel φ. Obvod lze nahradit paralelním spojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. 3. B L = B C při rovnosti kapacitní a indukční susceptance dochází k paralelní rezonanci. Výsledná susceptance obvodu se rovná nule a oba proudy mají opačný smysl. Navzájem se ruší a celkový proud bude ve fázi s napětím. Indukční susceptance paralelního obvodu R, L, C Kapacitní susceptance paralelního obvodu R, L, C 6.7. Rezonance Rezonance je stav obvodu kdy indukční reaktance, se rovná kapacitní reaktanci. Toho se dosáhne vhodnou volbou indukčnosti nebo kapacity. Rezonance je sériová nebo paralelní. Oba obvody, sériový a paralelní, jsou frekvenčně závislé a při určité frekvenci (rezonanční) mají charakteristické vlastnosti a to různé hodnoty impedance, proudu a napětí. 21

22 Sériová rezonance Obvod je tvořen sériovým spojením skutečné cívky a skutečného kondenzátoru. Vlastnosti obvodu zjistíme ze sériového zapojení R, L, C. Schéma sériového rezonančního okruhu Ztráty ve skutečné cívce jsou mnohem větší než ztráty skutečného kondenzátoru, které, jsou zanedbatelné. Pak je impedance dána vztahem. Z = R 2 +X 2 Je-li X = 0, pak jsou indukční a kapacitní reaktance X L = X C. Tento stav nastává při jedné určité frekvenci, kterou nazýváme rezonační frekvencí. Obvod se nachází ve stavu kdy U L = U C a jejich rozdíl je nulový. Účinky se navzájem ruší. Napětí na ideální cívce a ideálním kondenzátoru mohou mít několikrát větší hodnotu napětí než je na svorkách obvodu, proto používáme pro sériovou rezonanci výraz napěťová rezonance. Výsledné napětí obvodu se bude rovnat úbytku napětí na rezistoru R a bude s proudem ve fázi. U = R. I Impedance při rezonanci a proud je: Z 0 = R I 0 = Obvodem prochází největší proud a z podmínky rezonance, kdy se X L = X C stanovíme rezonanční frekvenci. 22

23 f 0 = [Hz; H.F] Tento vztah se take nazývá Thompsonův vzorec. Rezonanční křivka znázorňuje závislost impedance Z, rezonančního obvodu na frekvenci. Je-li frekvence rovná nule, je impedance obvodu nekonečně velká. S rostoucí frekvencí impedance obvodu impedance obvodu klesá až do rezonance, kdy je frekvence nejmenší. Dále pak s rostoucí frekvencí opět vzrůstá. Úhel fázového posunu je rovněž závislý na frekvenci. Do rezonanční frekvence je úhel záporný, obvod má kapacitní character. Nad rezonanční frekvencí je úhel kladný, obvod má indukční character. Rezonanční křivky sériového rezonančního obvodu Závislost impedance a fázového posunu na frekvenci 23

24 Závislost Impedance, proudu a napětí na frekvenci V součástkách skutečného rezonančního obvodu vnikají při průchodu proudu ztráty. Ztrátový odpor obvodu je R 0. Je součet ztrát odporů, které vznikají na reální cívce a kondenzátoru. Pomocí R 0 definujeme pro rezonanční kmitočet Q 0, který se nazývá činitel jakosti sériového obvodu a vypočítáme ho ze vztahu: Q 0 = nebo Q 0 = Sériové rezonanční obvody napájíme ze zdroje s malým vnitřním odporem, abychom nezmenšovaly činitel jakosti Paralelní rezonance V praxi bývá obvykle tvořen paralelním spojením skutečné cívky a skutečného kondenzátoru. K paralelní rezonanci dochází, když se jalové složky proudu obou větví navzájem ruší. Tento stav nastává pro rezonanční frekvenci. Paralelní rezonanci říkáme proudová rezonance. Obvod má při rezonanci charakter činného odporu. Při frekvenci nižší než je frekvence rezonanční je proud I C menší než při rezonanci, proud I RL je naopak větší, takže výsledný proud I je za napětím U zpožděn. Obvod má indukční charakter. Při frekvenci vyšší než je, frekvence rezonanční, je proud I C větší než při rezonanci. Impedance skutečné cívky se zvětšuje. Výsledný proud I předbíhá napětí U. Obvod má kapacitní charakter. Schéma paralelního rezonančního obvodu Fázorový diagram 24

25 Rezonanční křivky paralelního rezonančního obvodu závislost impedance,proudu a napětí na frekvenci Paralelní rezonanční obvod má při rezonanci největší impedanci. Proud dodávaný zdrojem je nejmenší možný, který může obvodem procházet při napětí zdroje U a různých frekvencích. Rezonanční křivka znázorňuje závislost impedance, proudu a napětí na frekvenci. Při nulové frekvenci je impedance rovná činnému odporu skutečné cívky. S rostoucí frekvencí se zvětšuje a při rezonanční frekvenci je impedance největší. Dále pak s rostoucí frekvencí opět klesá. Při rezonanci má obvod největší impedanci, a proto obvodem prochází nejmenší proud. Napětí při paralelní rezonanci je maximální. Impedance při rezonanci je: Z 0 = Rezonanční frekvence f 0 =.. ( ) 2 Při výpočtu frekvence v praxi se obvykle druhý člen ( ) 2 zanedbává je oproti prvnímu členu velmi malý. V praxi používáme pro výpočet rezonanční frekvence sériového a paralelního rezonančního obvodu stejný vztah Thomsonův vzorec: f 0 = [Hz, H, F] Thomsonův vzorec nám udává rezonanční kmitočet, který se používá u sériového a paralelního rezonančního obvodu. Podle tohoto vzorce se také využívá při stanovení oscilační frekvence u oscilátorů. 25

26 6.8. Výkon střídavého proudu a účiník Okamžitý výkon v obvodu střídavého proudu je dán součinem okamžitých hodnot napětí a proudu. p = u. i V obvodech střídavého proudu rozeznáváme tři druhy výkonů: 1. Výkon činný - tento výkon je závislý na úhlu fázového posunu mezi proudem a napětím. Značíme ho P a jeho jednotka je watt [W]. Vypočítáme ho následovně: P = U. I. cos φ [W; V, A] Činný výkon měříme wattmetrem. 2. Výkon jalový - tento výkon je rovněž závislý na úhlu fázového posunu mezi proudem a napětím. Značíme ho Q, udává se ve voltampérech reaktančních (var). Vypočítáme jej: Q = U. I sin φ [var; V, A] 3. Výkon zdánlivý tento výkon je velmi důležitý. Dimenzují se podle něj elektrické stroje a elektrorozvodné sítě. Určuje se podle něj skutečný proud. Zdánlivý výkon se počítá z údajů voltmetru a ampérmetru, tedy z efektivních hodnot proudu a napětí. Značí se S a jeho jednotkou je voltampér [ V A]. Vypočítáme jej: S = U. I [VA; V, A] Vztah mezi výkonem činným, jalovým a zdánlivým můžeme vyjádřit graficky pravoúhlým trojúhelníkem výkonů S = 2 + Q 2 26

27 Trojúhelník výkonů Práce střídavého proudu Elektrickou práci může konat pouze činný výkon. Elektrická práce střídavého proudu je činný výkon za čas. W = P. t = U. I. (cos φ) t Elektrickou práci měříme elektroměrem. Jednotkou elektrické práce je [J] ale používá se watt sekunda [Ws], nebo vyšší násobek této jednotky [kwh]. Převod mezi joulem a watt sekundou je 1J = 1Ws Fázový posun proudu a napětí účinník V elektrické síti jsou zapojeny elektromotory a jiné indukční spotřebiče, takže fázový posun je způsoben jalovým proudem indukčním. Elektrárny musí proto vyrábět vedle činného proudu i proud jalový nutný k činnosti motorů a indukčních spotřebičů. Jalový indukční proud neúčinně zatěžuje síť, proto se snažíme výrobu a přenos jalového proudu co nejvíce omezit. Jalový indukční proud se omezuje přímo v místě spotřeby výrobou kapacitního proudu, který je tak veliký jako indukční proud. Indukční a kapacitní jalový proud je v protifázy a vzájemně se ruší. Popsaný postup se nazývá kompenzace cos φ, a úhel o který se posouvá napětí před proud je účinník φ. Hospodářsky a provozně je nevýhodné kompenzovat účinník na hodnotu cos φ = 1 kde φ = 0. V běžném provozu postačí kompenzace na cos φ = 0,9 až 0,95. Jalový kapacitní proud se vyrábí pomocí synchronních motorů naprázdno a jiných způsobů. Běžně se používají statické kondenzátory 27

28 6.9. Otázky 1. Jaký proud pokládáme za střídavý 2. Co je to perioda 3. Co je to kmitočet a jak ho vypočítáme, známe-li periodu 4. Co je to úhlový kmitočet a jakou má jednotku 5. Jak vzniká střídavé sinusové napětí 6. Jak velká je okamžitá hodnota střídavého sinusového napětí 7. Co je to amplituda střídavého sinusového napětí 8. Které další hodnoty střídavého sinusového napětí a proudu se v praxi uvádějí vedle hodnoty okamžité a maximální 9. Co je to efektivní hodnota střídavého proudu 10. Co je to fázor a fázorový diagram 11. Co je to fázový posun 12. Které střídavé obvody pokládáme za jednoduché 13. Jaký je fázový posun mezi proudem a napětím v obvodu s ideálním rezistorem 14. Jaký je fázový posun mezi proudem a napětím v obvodu s ideální cívkou 15. Co je to indukční a kapacitní reaktance a jak je vypočítáme 16. Jaký je fázový posun a jaký je vztah mezi střídavým napětím a proudem v obvodu s ideálním kondenzátorem 17. Co vyjadřuje převrácená hodnota indukční a kapacitní reaktance. 18. Co jsou to složené střídavé obvody 19. Podle jakých zákonů řešíme složené střídavé obvody 20. Jaké jsou vztahy mezi proudem a napětím ve složených obvodech sériových 21. Jak postupujeme při kreslení fázorového diagramu sériového střídavého obvodu 28

29 22. Jak vyjádříme fázorový posun mezi proudem a napětím v sériovém obvodu, jestliže jsou v obvodu zapojeny součástky R, L, C. 23. Jaký je fázový posun mezi proudem a napětím, připojí-li se na střídavé sinusové napětí odpor, cívka a kondenzátor paralelně 24. Jak velký proud prochází paralelním obvodem sestaveným z R, L, C a jak velký je fázový posun mezi proudem obvodu a svorkovým napětím 25. Co je to sériový rezonanční obvod 26. Jak se stanoví rezonanční kmitočet sériového rezonančního obvodu 27. Jak se uvede sériový rezonanční obvod do rezonance 28. Kdy nastává paralelní rezonance 29. Vysvětlete rezonanční křivky 30. Jak se stanoví činný, jalový a zdánlivý výkon v obvodu střídavého proudu 31. Za jakých předpokladů platí pro činný výkon vzorec P = U. I 32. Na čem, závisí velikost činné a jalové složky proudu v obvodu 33. Jaký fázový posun se vyskytuje nejčastěji v elektrické síti 34. Na jaký cos φ se v praxi kompenzace provádí 29