6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

Transkript

1 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem hodin příští, která je také poměrně náročná. Reálná čísla můžeme obrait na číselnou osu. Jak bchom mohli obrait čísla komplexní? Problém: Na číselnou osu se nevejdou, je už cela aplněná reálnými čísl (a t tvoří jen malou část čísel komplexních). Nápad: komplexní číslo = a + bi - je určeno pomocí uspořádané dvojice reálných čísel (reálná část a a imaginární část b). Uspořádané dvojice reálných čísel jsme už obraovali například u funkcí: dvojici čísel x; f ( x) jsme přiřadili bod v rovině, jehož kartéské souřadnice bl x; f ( x ). stejně můžeme postupovat u komplexních čísel a obraovat je jako bod v rovině. Obraem komplexního čísla = a + bi bude bod v rovině o kartéských souřadnicích a; b. [ ] Př. : Nakresli obráek s kartéskou soustavou souřadnic a akresli do ní obra komplexního čísla + i x - -4 Protože na svislou osu vnášíme hodnot imaginární části komplexního čísla, načíme ji rovnou pomocí násobků i. i -4-4 x -i

2 Př. : Do obráku nakresli obra komplexních čísel: = 5 + 3i, = 6i, 3 = 4 + i, 4 5 = 3 i, 5 = 3+ 0i, 6 = 0 + 5i, 7 = -πi = -4 + i -4-6i i 5 4 = - - 3i 6 = 0 +5i -i -6i 5 = 3 +0i = - = - 6i = 5 +3i x Pojmenování: Rovina jejíž bod považujeme a obra komplexních čísel se naývá Gaussova rovina (podle svého objevitele) nebo rovina komplexních čísel Osa x (na ní se obraí čísla tvaru a + 0i, ted reálná čísla) = reálná osa Osa (na ní se obraí čísla tvaru 0 + bi, ted re imaginární čísla) = imaginární osa Př. 3: Rohodni jaký geometrický vtah je mei obra komplexních čísel: a) komplexně sdružených b) opačných a) Zobraíme dvě dvojice komplexně sdružených čísel: = -4 +3i i = 3 + i -4-4 x -i = 3 - i obráku je vidět, že obra komplexně sdružených čísel jsou navájem osově souměrné podle reálné os. = -4-3i b) Zobraíme dvě dvojice opačných čísel:

3 i -4-4 x -i - = -4 - i - =+ 5i = 4 + i obráku je vidět, že obra opačných čísel jsou navájem středově souměrné podle počátku. = -- 5i Jak je to s absolutní hodnotou? Reálná čísla: absolutní hodnota = vdálenost obrau čísla na ose od počátku Platí to i pro obra komplexních čísel v Gaussově rovině? Nakreslíme si komplexní číslo = a + bi, platí pro něj vdálenost od počátku. = a + b a vpočteme jeho a a +b =a+bi b x Z obráku je vidět, vdálenost obrau komplexního čísla od počátku se určí jako přepona v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a a b d = a + b = a + b, což je vtah pro absolutní hodnotu čísla. podobně jako u reálných čísel platí: Vdálenost obrau komplexního čísla v Gaussově rovině od počátku soustav souřadnic je rovna jeho absolutní hodnotě. Př. 4: Nakresli do Gaussov rovin obra všech čísel, pro která platí =. = hledáme čísla vdálená od počátku o bod na kružnici se středem v počátku a poloměrem 3

4 i i - - x -i -i Na kružnici je nekonečně mnoho bodů komplexních jednotek je nekonečně mnoho. Stejně tak bude nekonečně mnoho komplexních čísel s libovolnou další velikostí absolutní hodnot. Př. 5: Nakresli do Gaussov rovin obra všech komplexních čísel, pro která platí: a) 3 b) 3i > a) Hledáme čísla, jejichž vdálenost od počátku je větší nebo rovna třem. i -4-4 x -i b) Hledaná čísla musí splňovat dvě podmínk: 3i > jejich vdálenost od počátku je menší vdálenost čísla 3i jejich vdálenost od počátku je větší nebo rovna i -4-4 x -i - 3i 4

5 Podobně jako u reálných čísel platí, že absolutní hodnota rodílu dvou komplexních čísel se rovná vdálenosti jejich obraů v Gaussově rovině. Př. 6: (BONUS) Dokaž, že absolutní hodnota rodílu dvou komplexních čísel se rovna vdálenosti jejich obraů v Gaussově rovině. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a + b i a + b i = a a + b b i = a a + b b b a - a = a +b b - b b = a +b a a x Z obráku je vidět, vdálenost obraů obou komplexních čísel se určí jako přepona v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a a b ( ) ( ) d = a a + b b = a a + b b Př. 7: Nakresli do Gaussov rovin obra všech komplexních čísel, pro která platí: a) + i = b) + 3 i < 3 a) + i = V absolutní hodnotě je rodíl dvou komplexních čísel. Upravíme výra tak, ab blo řejmé, o jaká čísla jde: ( i) = hledáme čísla, jejichž obra jsou od obrau čísla i vdálen o kružnice s poloměrem a se ;. středem v bodě [ ] i -4-4 x -i 5

6 b) + 3 i < 3 V absolutní hodnotě rodíl dvou komplexních čísel. Upravíme výra tak, ab blo řejmé o jaká čísla jde ( i) 3 + < 3 hledáme čísla jejichž obra jsou od obrau čísla 3+ i vdálen o méně než tři vnitřek kružnice 3;. s poloměrem 3 a se středem v bodě [ ] i -4-4 x -i Př. 8: Nakresli do Gaussov rovin obra všech komplexních čísel, pro která platí: a) 3i = + 5 i b) + + 5i + 4 i a) V rovnosti vstupují dvě absolutní hodnot: 3i = + 3i = vdálenost od obrau čísla + 3i ( ) 5 i ( 5 i) + = + = vdálenost od obrau čísla 5 + i Hledáme čísla, jejichž obra jsou od obou čísel stejně daleko osa úsečk s krajními bod + 3i a 5 + i i -4-4 x -i b) V nerovnosti vstupují dvě absolutní hodnot: + + 5i = 5i = vdálenost od obrau čísla 5i ( ) 4 i ( 4 i) + = + = vdálenost od obrau čísla 4 + i Hledáme čísla, jejichž obra jsou od obou čísel stejně daleko osa úsečk s krajními bod + 3i a 5 + i a čísla, která jsou blíže k číslu 4 + i než k číslu 5i horní část obráku (přímka obsahuje bod, které jsou stejně daleko, část obráku, ve které leží bod 4 + i, obsahuje bod, které jsou k bodu 4 + i blíže) 6

7 i -4-4 x -i Př. 9: (BONUS) Nakresli do Gaussov rovin obra všech komplexních čísel, pro která platí 3 + =. Výra vlevo nakreslit nedokážeme kusíme upravovat. + + = použijeme ( ) = = = absolutní hodnotu můžeme podle vorců rodělit ( + ) + = platí = komplexně sdružená čísla se liší poue ve naménku imaginární části jejich absolutní hodnot jsou stejné + = + = + = + Výsledek: + = 3 Upravíme: ( ) = 3 hledáme čísla, která jsou od obrau čísla + 0i vdálena o 3 kružnice se středem v bodě [ ;0 ] a poloměrem 3 i -4-4 x -i 7

8 Shrnutí: 8