V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. Zadáno: U Z = 30 V R 6 = 30 Ω R 3 = 40 Ω R 3

Transkript

1 . STEJNOSMĚNÉ OBVODY Příklad.: V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. 5 5 U 6 Schéma. = 0 V = 0 Ω = 0 Ω = 0 Ω = 60 Ω 5 = 90 Ω 6 = 0 Ω celkový odpor C,,,,,, 5, U, P 6 (výkon na rezistoru 6 ) Řešení: ezistory a jsou spojeny paralelně, vypočítáme jejich výsledný odpor: = = = Ω ezistory 5 a 6 jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: U = = = 0 Ω Obvod se nám zjednoduší dle schématu. Schéma. Dále vidíme, že rezistory a 56 jsou paralelně, jejich výsledný odpor: 56 = = = 0 Ω Tím se nám obvod dále zjednoduší na U 56 následující schéma : Schéma. ezistory 56 a jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: 56 = 56 + = = 60 Ω Obvod se tímto krokem dále zjednoduší (schéma ): 56 ezistory a 56 jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor C je zároveň celkový odpor vzhledem ke svorkám zdroje: = C = = 0 Ω Obvod se nám zjednoduší na konečné schéma (schéma 5): Při řešení jednotlivých veličin v obvodě nyní postupujeme Schéma. C Schéma 5.

2 pozpátku po jednotlivých zjednodušených schématech a vypočítáváme jednotlivé veličiny. 0 Vypočítáme celkový proud z Ohmova zákona (podle schématu 5): = = = 5, A C 0 U Dále proudy a podle schématu : = Z 0 = 0 = A = 0 = 60 = 05, A V dalším kroku se vrátíme ke schématu a vypočítáme U : U = 56 = 0,5 0 = 0 V Ve schématu vidíme, že napětí U je připojeno na rezistor 56, kterým protéká proud 5 : U 0 5 = = = 0, 08 A 56 0 Vrátíme-li se k původnímu schématu vidíme také, že napětí U je zároveň napětím na rezistorech a, proudy těmito rezistory můžeme tedy vypočítat jako: U = 0 = 0 = 05 U 0, A = = = 0,667 A 60 Výkon na rezistoru 6 můžeme vypočítat z proudu tímto rezistorem a jeho odporu: P 6 = 6 6 = 0 0,08 = 0,08 W Příklad.: Máme dvě paralelně spojené autobaterie, každá má určité vnitřní napětí U i a vnitřní odpor i. Připojovací kabely mají odpor V. Vypočítejte napětí a proudy v obvodě. U i = V U i =, V,, i = 0,08 Ω i = 0, Ω V = 0,06 Ω V = 0,0 Ω Z = 0,5 Ω K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. Pro obvod sestavíme tři rovnice, dvě V podle. Kirchhoffova zákona (pro napětí ve Z smyčkách) a jednu podle. Kirchhoffova zákona i (pro proudy v uzlu). Neznámými budou proudy. U i Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky V budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: -U i + i + V + Z Z + V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - Z Z - V - i + U i - V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro horní uzel: + - Z = 0 ovnice upravíme: ( i + V + V ) + Z Z = U i - Z Z + (- V - i - V ) = -U i Z V V i Ui

3 + - Z = 0 Do rovnic dosadíme konkrétní čísla a vyčíslíme závorky: 0, + 0,5 Z = 0,5 Z + 0,8 =, + - Z = 0 Tuto soustavu rovnic můžeme řešit jakýmkoli způsobem, v tomto řešeném příkladě použijeme dosazovací metodu, ale možná by byla i jakákoli jiná. Vyjádříme si Z Z = +, toto dosadíme do prvních dvou rovnic: 0, + 0,5 ( + ) = 0,5 ( + ) + 0,8 =, Po úpravě: 0,55 + 0,5 = 0,5 + 0,7 =, Z první rovnice vyjádříme : 0, 5 = =, 6 0, , Dosadíme do druhé rovnice: 0,5 (,6-0,66 ) + 0,7 =, Po úpravě: 0,507 =,96 Z toho =, =5,, 767 A Proud =,6-0,66 =,6-0,66 5,767 = 9,97 A Proud zátěží Z = + = 5, ,97 = 5,79 A Napětí na zátěži bude = Z Z = 0,5 5,79 = 9,009 V Příklad.: Úsek stejnosměrné železniční tratě je napájen ze dvou stran, jak ukazuje obrázek. S uvažováním úbytků napětí na vedení i kolejnicích vypočítejte napětí na lokomotivě, její příkon, ztráty výkonu při přenosu a účinnost přenosu energie. vnitřní napětí napájecí stanice : U = 600 V vnitřní napětí napájecí stanice : U = 00 V délka úseku : l = 8000 m délka úseku : l = 000 m vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0, Ω vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0,5 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,7 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,96 Ω odpor kolejnic : k = 0,5 Ω odpor kolejnic : k = 0, Ω náhradní odpor lokomotivy: L =,5 Ω U L, P L, P, η

4 trolejové vedení napájecí stanice + + kolejnice - - napájecí stanice l l Obr.. Skutečná situace Pro výpočet vyjdeme z náhradního schématu na Obr.. K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. Sestavíme tři rovnice, dvě podle. Kirchhoffova zákona a jednu podle. Kirchhoffova zákona. Neznámými budou proudy. i Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky U budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: -U + i + v + L L + k = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: U - k - L L - v - i = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro proudy: + - L = 0 Po dosazení do rovnic: , + 0,7 +,5 L + 0,5 = , -,5 L - 0,96-0,5 = L = 0 Po úpravě a dosazení L = + : 0, + 0,7 +,5 ( + ) + 0,5 = 600-0, -,5 ( + ) - 0,96-0,5 = -00 Po úpravě: 5,5 +,5 = 600,5 + 5,8 = 00 5,5/,5 Dostaneme: 5,5 +,5 = 600 (*) 5,5 + 7,08 = 996,667 ovnice odečteme a dostaneme: -,58 = -96,667 Z toho: = 55,678 A Z rovnice (*) potom: 600,5 55,678 = = 5,0 A 5,5 Dále L = + = 55, ,0 = 687,688 A Napětí na lokomotivě U L = L L =,5 687,688 = 09,596 V v v L U L L k k Obr.. Náhradní schéma i U

5 Příkon lokomotivy P L = U L L = 09, ,688 = 8 6,5 W Ztráty výkonu vypočítáme z rozdílu výkonů napájecích stanic a výkonu lokomotivy. Výkony napájecích stanic: P = U = 600 5,0 = 95 6 W P = U = 00 55,678 = 5 77, W Ztráty výkonu při přenosu energie: P = P + P - P L = , - 8 6,5 = ,866 W Účinnost přenosu: PL 86,5 η = = = 0,876 P + P , Příklad.: Je potřeba určit teplotu vinutí asynchronního motoru při dlouhodobém provozu (vinutí se vlivem ztrát zahřívá). K zjištění teploty bylo použito měření odporu vinutí za studena a za tepla ohmovou metodou (připojením stejnosměrného zdroje 6 V a změřením proudu). stejnosměrné napětí U = 6 V stejnosměrný proud za studena 0 =, A teplota okolí ϑ 0 = 0 C Teplotu vinutí za provozu (po zahřátí) ϑ. Stejnosměrný proud po zahřátí =,5 A materiál vinutí měď, koeficient teplotní závislosti odporu α Cu = 0,008 K - Řešení: V náhradním schématu (které je pouze pro jednu fázi) vidíme, že vinutí motoru má indukčnost a odpor. Při napájení stejnosměrným proudem v ustáleném stavu se L indukčnost neuplatní. Proud je dán pouze velikostí stejnosměrného napětí a odporu vinutí. Vypočítáme tedy odpor vinutí za studena, zde Náhradní schéma předpokládáme, že vinutí má teplotu okolí a po zahřátí. Ze vztahu pro teplotní závislost odporu kovových materiálů určíme teplotu vinutí za provozu. U 6 Odpor za studena 0 = = =, 67 Ω, 0, U 6 odpor po oteplení = = =, 7 Ω. 5, Vztah pro změnu teploty s odporem za odpor ϑ dosadíme odpor za provozu. ϑ ϑ 0 = 0 ( + α ϑ ) ϑ =, α 0 5

6 0, 7, 67 Potom ϑ = = = 66, 79 C, 0 α, 67 0, 008 Vypočítané oteplení je oteplení oproti počáteční teplotě, tedy teplotě okolí. Skutečná teplota vinutí za provozu tedy bude: ϑ = ϑ + ϑ 0 = 66, = 86, 79 C Příklad.5: Máme zvonek připojený k baterii relativně dlouhým dvouvodičovým vedením, vypočítejte potřebné napětí napájecí baterie, jsou-li zadány následující parametry: U B U B vedení l skutečné schéma V U V V U V náhradní schéma vypočítáme tedy odpor vodiče: zvonek Z Z Jmenovité napětí zvonku = 6 V Jmenovitý proud zvonku Z = 0,6 A Délka vedení l = 70 m Průřez vodiče S = 0,5 mm Měrný odpor mědi ρ Cu = 0, Ω m Potřebné napětí baterie U B. Řešení: Jak je vidět v náhradním schématu, nahradili jsme oba přívodní vodiče jejich odpory V a zvonek jeho odporem Z. Na odporech přívodních vodičů vzniknou úbytky napětí U V. Odpor zvonku Z nepotřebujeme znát, l 6 70 = ρ = 0, = 5, Ω S 05, 0 V Cu Bude-li obvodem procházet jmenovitý proud zvonku, bude na jednom vodiči úbytek napětí: U V = Z V = 0,6,5 =,7 V Potřebné napětí baterie bude U B = + U V = 6 +,7 = 8,9 V. 6