Cvičení z termomechaniky Cvičení 6.

Transkript

1 Příklad 1: Pacovní látkou v poovnávacím smíšeném oběhu spalovacího motou je vzduch o hmotnosti 1 [kg]. Počáteční tlak je 0, [Pa] při teplotě 30 [ C]. Kompesní pomě je 7, stupeň zvýšení tlaku 2 a stupeň plnění 1,2. Učete stavové veličiny v chaakteistických bodech cyklu, přivedené a odvedené teplo, páci cyklu a temickou účinnost. Cyklus nakeslete v p-v a T-s diagamu. Dáno: p 1 = 0, [Pa]; T 1 = 30 [ C] = 303,15 [K]; κ = 1,4; = 287,04 [J. kg 1 K 1 ] Na začátku je dobé si připomenout skutečnosti, kteé jsme si už dříve napsali a při keslení a výpočtech cyklů je budeme aplikovat. Jednotlivé cykly jsou poskládány z dějů, kteé byly dříve zmíněny a jejich vlastnosti už dobře známe. Třeba mít na paměti základní předpoklady, kteé jsou (když není dáno jinak), že: Děje pobíhají jako vatné (kvazistatické), tedy nekonečně pomalu a v každém bodě je systém v temodynamické ovnováze Pacovní látkou je ideální plyn, po kteý platí v plném ozsahu stavová ovnice (viz. Poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Část Entopie) Řešení začneme keslením gafů, abychom si ujasnili skutečnosti, týkající se tohoto cyklu (cykly tedy musíte umět keslit a poznat jednotlivé křivky). Sabbatův oběh se skládá z těchto křivek: Po p-v diagam: 1 2 Adiabata (adiabatická kompese) 2 3 Izochoa (izochoický přívod tepla) 3 4 Izobaa (izobaický přívod tepla) 4 5 Adiabata (adiabatická expanze) 5 1 Izochoa (izochoický odvod tepla) Po T-s diagam: 1 2 Izoentopická změna (dq=0 ; ds=konst.) 2 3 Izochoa (izochoický přívod tepla) 3 4 Izobaa (izobaický přívod tepla) 4 5 Izoentopická změna (dq=0 ; ds=konst.) 5 1 Izochoa (izochoický odvod tepla) Ob. 1 p-v (vlevo) a T-s (vpavo) diagam Sabbatova cyklu 1

2 Při řešení příkladů budeme postupovat dle zadání. Pvním bodem je Učete stavové veličiny v chaakteistických bodech cyklu, což znamená, že v každém chaakteistickém bodě gafu (body na začátku a konci jednotlivých dějů) je třeba spočítat hodnoty stavových veličin, tedy hodnoty tlaku p, objemu v, a teploty T. Aby se nezapomnělo na žádnou veličinu, je dobé jsi udělat přehlednou tabulku, do kteé si budeme zapisovat jednotlivé hodnoty. p [Pa] T [K] v [m 3.kg -1 ] Po nakeslení gafů se můžeme pustit do základních úvah před samotným výpočtem. Z gafů lze odečíst kajní hodnoty, kteé můžou sloužit jako kontola výsledků. Hodnota maximálního tlaku bude dle gafu v bodech 3 a 4 - p max (3; 4) viz p-v diagam Hodnota minimálního tlaku bude dle gafu v bodě 1 - p min (1) viz p-v diagam Hodnota maximální teploty bude dle gafu v bodě 4 - T max (4) viz T-s diagam Hodnota minimální teploty bude dle gafu v bodě 1 - T min (1) viz T-s diagam Hodnota maximálního objemu bude dle gafu v bodech 1 a 5 - v max (1; 5) viz p-v diagam Hodnota minimálního objemu bude dle gafu v bodech 2 a 3 - v min (2; 3) viz p-v diagam Před výpočtem je dobé doplnit tabulku o paamety, kteé plynou ze zadání a doplnit i paamety, kteé již plynou z gafů. V tomhle případě ale žádné nejsou, takže doplněná tabulka bude mít následující tva: p [Pa] 0, T [K] 303,15 v [m 3.kg -1 ] Můžeme se pustit tedy do výpočtu stavových veličin v jednotlivých bodech. bod 1 Po bod známe skoo všechny stavové veličiny. Zbývá vypočítat velikost měného objemu. Můžeme si dovolit počítat všechny jednotky jako měné, potože množství pacovní látky je jeden kilogam. Ze stavové ovnice se k výsledku jednoduše dostaneme. Po stav v bodě 1 můžeme napsat: p 1. v 1 =. T 1 Z toho pak můžeme vypočítat objem v bodě 1: v 1 =. T 1 287, ,15 = p 1 0, = 0,887 [m 3. kg 1 ] Při pohledu na diagam je jasné, že velikost objemu v bodě 1 je ovna velikosti objemu v bodě 5, jelikož, mezi bodem 5 a bodem 1 je izochoa (přímka konstantních objemů). Můžeme tedy napsat, že: v 1 = v 5 = 0,887 [m 3. kg 1 ] 2

3 Po doplnění do tabulky bude tabulka vypadat následovně: p [Pa] 0, T [K] 303,15 v [m 3.kg -1 ] 0,887 0,887 bod 2 Při výpočtu hodnot bodu 2 se musíme podívat do zadání. Jsou tam udány tři veličiny. Kompesní pomě, stupeň zvýšení tlaku a stupeň plnění. Když budeme analyzovat každou z veličin, zjistíme ke kteému ději patří. Kompesní pomě napovídá, že se bude jednat o děj spojený s kompesí. Jediným kompesním dějem v Sabbatově cyklu je adiabatická kompese (křivka 1-2). Jelikož číslo sedm je větší než jedna, lze přepokládat, že hodnota v čitateli (jelikož se jedná o pomě) bude vyšší než ve jmenovateli. Hodnota kompesního poměu je svázána s hodnotami objemu. Z gafu plyne, že velikost kompesního poměu je dán vztahem ε = v 1 v 2. Pozo, jedná se o adiabatickou změnu, tedy nestačí napsat převácený pomě po tlak!!!! Po pomě tlaků se používá výaz stupeň stlačení kompesou, výaz po něj je π = p 2 p 1. Stupeň zvýšení tlaku a jeho hodnota 2 napovídá, že se bude jednat o děj spojený se zvyšováním tlaku. Jediným takovým dějem v Sabbatově cyklu (komě adiabatické kompese, kteou už máme podchycenou) je izochoická změna (přímka, kteá pochází body 2-3). Tedy stupeň zvýšení tlaku dán vztahem ψ = p 3 p 2. Stupeň plnění a jeho hodnota 1,2 napovídá, že se bude jednat o děj spojený se zvyšováním objemu. Jediným takovým dějem v Sabbatově cyklu (komě adiabatické expanze, křivka 4 5, jelikož ale název nenapovídá, že by mohlo jít o expanzi, můžeme předpokládat, poslední možnou vaiantu ), je izobaická změna (přímka, kteá pochází body 3-4). Logicky bude velikost stupně plnění popsán vztahem φ = v 4 v 3. V bodě dva tedy můžeme vypočítat velikost objemu z kompesního poměu: Pak: Z ovnice adiabaty pak platí: ε = v 1 v 2 = 7 v 2 = v 1 ε = 0,887 = 0,127 [m 3. kg 1 ] 7 p 1. v 1 κ = p 2. v 2 κ p 2 = p 1 ( v κ 1 ) = 0, ,4 = 14, [Pa] v 2 Poslední veličinu tedy lehce spočteme ze stavové ovnice po bod dva: p 2. v 2 =. T 2 T 2 = p 2. v 2 = 14, , ,04 = 662 [K] (t 2 = 389 [ C]) 3

4 Můžeme ji také spočítat z ovnice adiabaty (viz. Poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. ovnice (6) a (7)) T 2 = ( v κ 1 1 ) T 1 v 2 T 2 = T 1. ε κ 1 = 303, ,4 1 = 660,3K Poznámka: Oba výsledky se můžou považovat z spávné, jedná se o numeickou chybu. Pozo!!!!! Špatný výsledek z úvahy, že kompesní pomě je spojený s tlakem (častá chyba): ε = p 2 p 1 = 7 p 2 = p 1. ε = [Pa] Po doplnění do tabulky bude tabulka vypadat následovně: p [Pa] 0, , T [K] 303, v [m 3.kg -1 ] 0,887 0,127 0,887 bod 3 Z předchozích úvah můžeme využít ovnici po stupeň zvýšení tlaku: Velikost tlaku v bodě 3 tedy bude: ψ = p 3 p 2 p 3 = ψ. p 2 = 2.14, = 29, [Pa] Z gafu plyne, že přímka, kteá pochází body 2-3 je izochoa, tedy můžeme napsat: v 3 = v 2 = 0,127 [m 3. kg 1 ] Poslední veličinu tedy lehce spočteme ze stavové ovnice po pod tři: T 3 = p 3. v 3 = 29, , ,04 = 1324 [K](t 3 = 1051 [ C]) Po doplnění bude tabulka vypadat následovně: p [Pa] 0, , , T [K] 303, v [m 3.kg -1 ] 0,887 0,127 0,127 0,887 bod 4 Z předchozích úvah můžeme využít ovnici po stupeň plnění: φ = v 4 = 1,2 v 3 Po velikost objemu v bodě 4 tedy bude platit: v 4 = φ. v 3 = 1,2.0,127 = 0,152 [m 3. kg 1 ] 4

5 Z gafu plyne, že přímka, kteá pochází body 3-4 je izobaa, tedy můžeme napsat: p 3 = p 4 = 29, [Pa] Poslední veličinu tedy lehce spočteme ze stavové ovnice po bod čtyři: T 4 = p 4. v 4 = 29, , ,04 = 1588[K] (t 4 = 1315,6 [ C]) Po doplnění bude tabulka vypadat následovně: p [Pa] 0, , , , T [K] 303, v [m 3.kg -1 ] 0,887 0,127 0,127 0,152 0,887 bod 5 Z gafu plyne, že přímka, kteá pochází body 5-1 je izochoa, tedy můžeme napsat: v 1 = v 5 = 0,887 [m 3. kg 1 ] Využitím skutečnosti, že mezi body 4-5 je adiabata, můžeme využít pomě objemů a napsat ovnici adiabaty po tlak dle předchozích znalostí (viz. Poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. ovnice (6) a (7)) ve tvau: p 4. v 4 κ = p 5. v 5 κ Po teplotu bude mít tva: p 5 = ( v κ 4 ) p 4 v 5 p 5 = p 4 ( v κ 4 ) = 29, ( 0,152 1,4 v 5 0,887 ) = 2, [Pa] T 5 = T 4 ( p 1 κ 4 κ 29, ) = ( p 5 2, ) 1 1,4 1,4 = 784 [K] (t 5 = 510,8 [ C]) Poznámka: Samozřejmě teplotu lze učit i ze stavové ovnice: T 5 = p 5. v 5 = 2, , ,04 = 782 [K] Poznámka: Oba výsledky lze považovat za spávné, jedná se o numeickou chybu. Po doplnění do tabulky bude tabulka vypadat následovně: p [Pa] 0, , , , , T [K] 303, v [m 3.kg -1 ] 0,887 0,127 0,127 0,152 0,887 Po dokončení tabulky, je dobé si zkontolovat, zda veličiny v kajních bodech koespondují s úvahami na začátku. V tomto případě se shodují, tedy můžeme předpokládat, že výsledky jsou spávně. 5

6 Při poovnávání s gafem používejte vždy jenom kajní body. Je vidět (viz obázek níže), že původní vzájemná poloha bodů 2 a 5 (původní poloha je vyznačena šedou) nekoesponduje s vypočteními hodnotami. Bod 5 by měl být výš než bod 2, jelikož teplota v bodě 5 je vyšší jako teplota v bodě 2, jak je to zobazeno na ob. 2!!!! Ob. 2 Vzájemná poloha bodů 2 a 5 v T-s diagamu po výpočtu paametů Dalším bodem výpočtu, je vypočítat velikost přivedeného a odvedeného tepla. Využijeme předchozích znalostí: a) přivedené teplo je epezentováno plochou pod křivkou nebo přímkou v entopickém T-s diagamu, přičemž děj je chaakteizován ůstem entopie (děj v T-s diagamu pobíhá zleva dopava 1 vlevo a 2 vpavo viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Entopické diagamy po ůzné změny) b) odvedené teplo je epezentováno plochou pod křivkou nebo přímkou v entopickém T-s diagamu, přičemž děj je chaakteizován poklesem entopie (děj je T-s diagame pobíhá zpava doleva 1 vpavo a 2 vlevo viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Entopické diagamy po ůzné změny) c) Z gafu je tedy jasné, že přívod tepla pobíhá mezi body (ob. 3) d) Z gafu je tedy jasné, že odvod tepla pobíhá mezi body 5-1 (ob. 3) e) Z gafu je jasné, že mezi body 2-3 je izochoa a mezi body 3-4 je izobaa (ob. 3) f) Z gafu je jasné, že mezi body 5-1 je izochoa (ob. 3) g) Využijeme vlastností pvní věty temodynamické po jednotlivé děje (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Povázanost jednotlivých ovnic izobaický a izochoický děj) 6

7 Ob. 3 Plocha epezentující přívod tepla (vlevo) a plocha epezentující odvod tepla (vpavo) Množství přivedeného tepla (ob 3. vlevo) bude epezentováno velikostí přivedeného tepla při izochoické a izobaické změně Vhodnou úpavou pvní věty temodynamické dq = du + da dq = dh + da t se můžeme dopacovat k následujícím ovnicím: a) po izochoickou změnu užijeme tva ovnice dq = du + da přičemž víme, že dq = du + p. dv Jelikož po izochoickou změnu platí dv=0 (poto jsme si ji taky zvolili); pak bude platit: dq = du Z předchozích znalostí můžeme pak ovnici přepsat do následujícího tvau (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Vnitřní enegie): dq = c v dt Velikost přivedeného tepla je pak dána ovnicí: q p1 = c v. (T 3 T 2 ) = κ 1. (T 3 T 2 ) = 287,04 1,4 1 ( ) = 475 [kj. kg 1 ] b) po izobaickou změnu užijeme tva ovnice dq = dh + da t přičemž víme, že dq = dh v. dp 7

8 Jelikož po izobaickou změnu platí dp=0 (poto jsme si ji taky zvolili); pak bude platit: dq = dh Z předchozích znalostí můžeme pak ovnici přepsat do následujícího tvau (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Entalpie): dq = c p dt Velikost přivedeného tepla je pak dána ovnicí: q p2 = c p. (T 4 T 3 ) = Množství přivedeného tepla je dána tedy vztahem: κ. κ 1. (T 1,4. 287,04 4 T 3 ) = 1,4 1 (1588,8 1324) = 266 [kj. kg 1 ] q p = q p1 + q p2 = = 741[kJ. kg 1 ] množství odvedeného tepla (ob 3. vpavo) bude epezentováno velikostí odvedeného tepla při izochoické změně Vhodnou úpavou pvní věty temodynamické dq = du + da dq = dh + da t se po izochoickou změnu užijeme tva ovnice dq = du + da přičemž víme, že dq = du + p. dv Jelikož po izochoickou změnu platí dv=0 (poto jsme si ji taky zvolili); pak bude platit: dq = du Z předchozích znalostí můžeme pak ovnici přepsat do následujícího tvau (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Vnitřní enegie): dq = c v dt Velikost odvedeného tepla je pak dána ovnicí: q o = c v. (T 1 T 5 ) = κ 1. (T 1 T 5 ) = 287 1,4 1 (303,15 780,8) = 342,7[kJ. kg 1 ] 8

9 páce cyklu Dalším bodem výpočtu, je vypočítat páci cyklu. Využijeme předchozích znalostí, že páce cyklu je epezentována plochou, kteá je ohaničená křivkami cyklu. Máme tedy několik možností jak se k této ploše dopacovat: a) Výpočtem přes technickou páci (p-v diagam) b) Výpočtem přes absolutní páci (p-v diagam) c) Výpočtem přes ozdíl přivedeného a odvedeného tepla (T-s diagam) Nejpve začneme nejjednodušším způsobem za c), výpočty a) a b) budou ukázány na konci. Velikost plochy pod křivkami v T-s diagamu epezentují velikost přivedeného nebo odvedeného tepla. Logicky ozdíl těchto ploch nám dá plochu cyklu, kteá je záoveň epezentuje i páci cyklu. Jelikož hodnoty přivedeného a odvedeného tepla už jsou známé, tak můžeme jednoduše napsat po páci cyklu: a c = q p q o = ,7 = 398,3 [kj. kg 1 ] Poznámka: Jelikož znaménko mínus epezentuje fyzikální skutečnost, že teplo se odvádí, tak velikost odvedeného tepla uvádíme v absolutních hodnotách (velikost a ani plocha nemůže nabýt záponých hodnot). Ob. 4 Plochy epezentující přívod a odvod tepla (vlevo) a plocha páci cyklu (vpavo) tepelná účinnost Tato hodnota nesmí nabýt hodnot větších jako 1!!! Rovnice po výpočet má tva: η t = a c = q p q o = 1 q o = 1 342,7 = 0,54 = 54 [%] q p q p q p 741 9

10 V následujícím si ukážeme, jak se za pomoci technické a absolutní páce dopacovat k páci cyklu: a) V p-v diagamu je technická páce epezentována plochou mezi křivkou změny a osou tlaku (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Technická páce). Plochu cyklu a tedy i velikost páce cyklu dostaneme, že uděláme ozdíl ploch technických pací. Větší plochu v p-v diagamu epezentuje plocha, kteá epezentuje technickou páci adiabatické expanze a izochoického odvodu tepla (tedy křivka 4 5 a přímka, kteá pochází body 5 1). Po ně platí, následující: Adiabatická křivka 4-5 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Rovnice (3)) κ. a t45 = κ 1 (T 1,4. 287,04 5 T 4 ) = 1,4 1 ( ) = 808 [kj. kg 1 ] Izochoa 5-1 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Povázanost jednotlivých ovnic izochoický děj) a t51 = v 1 (p 1 p 5 ) = 0,887. (0, , ) = 138 [kj. kg 1 ] Velikost větší plochy tedy epezentuje technickou páci o velikosti: a tv = a t45 + a t15 = 946 [kj. kg 1 ] Ob. 5 Plocha epezentující technickou páci mezi body Poznámka: Jelikož znaménko mínus epezentuje fyzikální skutečnost nikoli velikost (velikost plochy nemůže nabýt záponých hodnot), tak velikost technických pací uvádíme v absolutních hodnotách. Menší plochu v p-v diagamu epezentuje plocha, kteá epezentuje technickou páci adiabatické kompese a izochoického přívodu tepla (tedy křivka 1 2 a přímka, kteá pochází body 2 3). Po ně platí, následující: Adiabatická křivka 1-2 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Rovnice (3)) κ. a t12 = κ 1 (T 1,4. 287,04 2 T 1 ) = 1,4 1 ( ,15) = 361 [kj. kg 1 ] Izochoa 2-3 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Povázanost jednotlivých ovnic izochoický děj) 10

11 a t23 = v 2 (p 2 p 3 ) = 0,127. (14, , ) = 190 [kj. kg 1 ] Velikost menší plochy tedy epezentuje technickou páci o velikosti: a tm = a t12 + a t23 = 551 [kj. kg 1 ] Ob. 6 Plocha epezentující technickou páci mezi body Poznámka: Jelikož znaménko mínus epezentuje fyzikální skutečnost nikoli velikost (velikost plochy nemůže nabýt záponých hodnot), tak velikost technických pací uvádíme v absolutních hodnotách. Páce cyklu je tedy epezentována ozdílem menší a větší plochy: a c = a tv a tm = = 395 [kj. kg 1 ] Poznámka: Oba výsledky se můžou považovat za spávné, chyba je dána zaokouhlováním. Ob. 7 Plochy epezentující ozdíl technických pací (vlevo) a plocha epezentující páci cyklu (vpavo) 11

12 b) V p-v diagamu je absolutní páce epezentována plochou mezi křivkou změny a osou objemu (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Absolutní páce). Plochu cyklu a tedy i velikost páce cyklu dostaneme, když uděláme ozdíl ploch absolutních pací. Větší plochu v p-v diagamu epezentuje plocha, kteá epezentuje absolutní páci izobaického přívodu tepla a adiabatické expanze (tedy přímka, kteá pochází body 3 4 a křivka 5 1). Po ně platí následující: Izobaa 3-4 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 3. Povázanost jednotlivých ovnic izobaický děj): a 34 = p 3 (v 4 v 3 ) = 29, (0,152 0,127) = 75 [kj. kg 1 ] Adiabatická křivka 4-5 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Rovnice (2)) a 45 = κ 1 (T 5 T 4 ) = 287,04 1,4 1 ( ) = 577 [kj. kg 1 ] Velikost větší plochy tedy epezentuje absolutní páci o velikosti: a v = a 34 + a 45 = 652 [kj. kg 1 ] Ob. 8 Plocha epezentující absolutní páci mezi body (vlevo) a plocha epezentující absolutní páci mezi body 1-2 (vpavo) Menší plochu v p-v diagamu epezentuje plocha, kteá epezentuje absolutní páci adiabatické kompese (tedy křivka 1 2). Po ně platí, následující: Adiabatická křivka 1-2 (viz poznámky k cvičením z temomechaniky Cvičení 4. Rovnice (3)) a 12 = κ 1 (T 2 T 1 ) = 287,04 1,4 1 ( ,15) = 258 [kj. kg 1 ] Poznámka: Jelikož znaménko mínus epezentuje fyzikální skutečnost nikoli velikost (velikost plochy nemůže nabýt záponých hodnot), tak velikost technických pací uvádíme v absolutních hodnotách. a m = a 12 = 258 [kj. kg 1 ] 12

13 Páce cyklu je tedy epezentována ozdílem menší a větší plochy: a c = a v a m = = 394 [kj. kg 1 ] Poznámka: Oba výsledky se můžou považovat za spávné, chyba je dána zaokouhlováním. Ob. 9 Plochy epezentující ozdíl absolutních pací (vlevo) a plocha epezentující páci cyklu (vpavo) 13