Řešení úloh 1. kola 54. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C. s=v 0 t 1 2 at2. (1)

Transkript

1 Řešení úoh 1. koa 54. ročníku fyzikání oympiády. Kategorie C Autořiúoh:J.Jírů(1),J.Thomas(,3,5),M.Jarešová(4,7),P.Šedivý(6). 1.a) Během brzdění roste dráha s časem pode vzorce s=v 0 t 1 at. (1) Zevzorcepyne a= (v 0t s) t. Dosazenímčísenýchhodnot s=340m 19m=148m, v 0 =33,6m s 1 a t=5,0sdostaneme a= (33, ) 5 m s =1,6m s. b) Rovnici(1) upravíme na tvar kvadratické rovnice 1 at v 0 t+s=0. () jejímžřešenímjsoukořeny t 1, = v 0 ± v0 as. a Dosazenímčísenýchhodnot v 0 =33,6m s 1, a=1,6m s a s=340m dostaneme t 1, = 33,6 ± 33,6 1,6 340 s. 1,6 Kvadratickárovnice()mádvakořeny t 1 =17sat =5s.Rovnice() všakpopisujepohybvakujenpodobubrzdění,tj.pouzedočasu v 0 /a= =1s,tedynačasovémintervau 0s,1s.Protojeřešenímpouzekořen t 1 =17s. c) Dosazením čísených hodnot konstant do rovnice(1) dostaneme funkční závisost {s}=33,6{t} 0,8{t}, kterápopisujepohybvakudookamžikuzastavení,tj.dočasu t=1s.po zbývající dobu zůstává dráha konstantní. 4body 1

2 s m t s.a) Z rovnosti tíhové a vztakové síy pyne V g= V 1 1g S =S 1 1, kde S 1 jeobsahčástiprůřezupodhadinouvody(obr.r1).odtud Pro úhe patí = S 1 1 S. (1) cos= 3 5 =53,13, =106,3, 360 =53,7. a=rsin=r 1 cos =r =4 5 r, ( S 1 = ,7 360 pr + a rcos= ) pr =0,858pr. 5p Dosazenímdo(1)dostaneme =858kg m 3. b) Nynípatí(obr.R): V g=v 1 1g+ V g S =S 1 1+ S, 5bodů = S S 1 1 S. () Vypočítáme obsah S 1 pochy pod vodou a obsah S pochy ve druhé kapaině: Pro úhe β patí cosβ= 1 4 β=75,5, β=151, 360 β=09.

3 b=r 1 cos β= r = r ( S = 360 β 360 pr b rcosβ= p ) 15 16, pr =0,6576pr, S 1 =0,344pr. Dosazenímdo()dostaneme =784kg m 3. 5bodů 1 S r a r 1 S r 1 4 r b β S 1 Obr. R1 Obr. R 3.a) Kadka se zastaví v rovnovážné pooze, kde síy, kterými působí anko, jsou z obou stranstejně vekéamajístejnou odchyku od sviséhosměru (obr. R3). Patí sin= L, cos= Z trojúheníku AF E odvodíme 1 L L = L h L x= htg x=, tg = Síy, kterými působí anko v bodech A a B, mají veikost =3,8m. L. F A = F B = F G cos = mgl L =115N. 4body 3

4 F A x F B D x F A E B h A d F B b E D b β C F A L d B h F F G β F G Obr. R3 Obr. R4 b) V druhém případě vyjdeme z obr. R4. Užitím Pythagorovy věty dostaneme soustavu rovnic ( ) ( ) b = d, (h+b) =(L d). Odečtením rovnic a úpravou vyjádříme b: bh+h = L Ld, b= L Ld h. h Dosadíme do první rovnice, upravíme a dojdeme ke kvadratické rovnici po dosazení (4L 4h )d (4L 3 4Lh )d+l 4 + h 4 L h + h =0, 660{d} 8580{d}+765=0. Zkořenů d 1 =7,176m, d =5,874mvyhovujeúozepouzedruhýkořen d =5,87m.. Zpodobnostitrojúheníku BCFstrojúheníkem,jehožstranytvořísíy F A, F B a F G,pyne F A = d F G b+h = dh L Ld, F B = L d. F A d 4

5 Ztoho F A = mgdh L Ld =106N, F B= mg(l d)h L Ld =19N. Aternativní řešení: Určíme úhy v rovnoběžníku si. Z obr. R4 odvodíme =arcsin d =58,37, Použitím sinové věty pak F A = mgsinβ sin(+β) =106N, β=arcsin (L d) =44,55. F B= mgsin sin(+β) =19N. 4.a) Obecně patí, že ceková odporová sía je dána vztahem F= 1 C Sv + mg ξ r avýkonjedánvztahem P= Fv.Podosazenívzimě ( 1 F 1 = 0,35 1,, ,81 0,003 ) N=465N. 0,35 avétě F = P 1 =465 5W=11,6kW ( 1 0,35 1,0, ,81 0,0016 ) N=345N. 0,35 P 1 =345 5W=8,6kW. b) 150km h 1 = 150 3,6 m s 1.Určímevýkonmotorupřitétorychostijízdya porovnáme s údajem udávaným výrobcem. Pro výkon obecně patí: ( 1 P= C Sv + mg ξ ) v. r Podosazenídostanemevzimě: P 1 =43,1kW >40kW.Osobníautomobi v zimě touto rychostí jet nemůže, motor nedosáhne potřebného výkonu. Vétěpakdostaneme P =34,kW <40kW.Vétěautomobitouto rychostí jet může. body 5

6 c) Při jízdě automobiu do kopce rovnoměrným pohybem patí pro veikost tahové síy motoru vztah F= 1 C Sv + mgsin+mgcos ξ r. Vzhedemktomu,žepatísin = pacos = 1 p,můžemevýše uvedený vztah ještě přepsat na tvar F= 1 C Sv + mgp+mg 1 p ξ r. Výkon P= Fv.Podosazenízadanýchhodnot(p=0,04)dostanemevzimě F 1 =1093N, P 1 =7,3kWavétě F =973N, P =4,3kW. body d) Porovnánímvztahů F 0 = mg ξ r, F 0 ξ = mg r dostaneme Ceková odporová sía je ξ = F 0 F 0 ξ=0,9 0,0016m=0,0014m. F =1 CS v +0,9mg ξ r =337N. Spotřeba benzinu je přímo úměrná cekové odporové síe. Vzhedem k tomu, že F = 337 F 345 =0,98,můžemeříci,žespotřebabenzinupokesneo%. 5.a) Vzduch uzavřený nad rtutí v pravém rameni můžeme považovat za ideání pyn. Protože se tepota nemění, jde o děj izotermický, pro který patí Boyův-Mariottův zákon: p a L S=(p a+ x 1g)xS. Úpravoudostanemekvadratickourovnici 1gx + p a x p al =0. Úozevyhovujekadnýkořen x= p a+ p a+l 1gp a 1g =8,9cm. 1 b) Přizahřátísehustotartutizměnína = 1+β t =13385kg m 3. Množství vzduchu nad rtutí v pravém rameni se nezměnio, proto patí sta- 6

7 vová rovnice ve tvaru Dostáváme opět kvadratickou rovnici p a L S T 1 = (p a+ y g)ys T. gy + p a y p alt T 1 =0. Smysmáopětjenkadnýkořen p a + p a+ L gt p a T 1 y= =10,6cm. g c) Přitepotě t 1 měartuťvtrubiciobjem V 1 = S(3L x). Tensepřizahřátí natepotu t zvětšío V 1 = V 1 β t=s(3l x)β t. Objemvzduchusepřizahřátítrubicezvětšío V =(y x)s. Ztrubicetedyvytečertuť,kterábudemítpřitepotě t objem V 1 + V ahmotnost m= ( V 1 + V )= S((3L x)β t+y x)=15,1g. 4body 7.a) Děj[0] [1]jeizobarickýatudížmůžemepsát: p 0 = konst.,tj. p 1 = p 0. Nazákadězadáníje V 1 =4V 0,tedypatí V 0 T 0 = 4V 0 T 1,zčehož T 1 =4T 0. Děj[1] []jeizochorickýatedypatí: V = V 1 =4V 0, p 1 T 1 = p 0 4T 0 = p T, zčehož T = p 4T p 0. 0 Děj[] [0] je adiabatický, což můžeme vyjádřit pomocí rovnice: p V κ = p 0 V κ 0.Podosazení p (4V 0 ) κ = p 0 V κ 0 můžemevyjádřittak p. Dostaneme p = 1 4 κ p 0. Podosazenídovztahupro T dostaneme T = p 4T p 0 = κ 4T 0 =4 1 κ T 0. Stav0charakterizujíveičiny p 0, V 0, T 0 ;stav1jedánveičinami p 1 = p 0, V 1 =4V 0, T 1 =4T 0 ;stavveičinami p = 1 4 κ p 0, V =4V 0, T =4 1 κ T 0. 4body 7

8 b) p-v diagramjeznázorněnnaobr.r5 p 0 p 0 1 p O Obr. R5 V 0 4V 0 c) Pyn přijímá tepo pouze při izobarickém rozpínání, tj. patí V Q=W + U= p 0 (4V 0 V 0 )+ 3 nr(4t 0 T 0 )=3p 0 V p 0V 0 =7,5p 0 V 0. Práce vykonaná pynem v průběhu cyku je rovna součtu prací při izobarickém rozpínání a adiabatickém stačování, tedy W =3p 0 V 0 3 nr( T κ T 0 ) =1,5p0 V 0 ( κ ). Účinnost je dána vztahem η= W ( Q =1,5p 0V κ ) = ,67 7,5p 0 V 0 5 =0,8=8%. 8