Parametrická rovnice přímky v rovině

Transkript

1 Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou rovnoběžné. Pro vektory u a X - A tedy platí: X - A = t. u neboli X = A + t. u Pokud zavedeme souřadnice: bod X[x; y], bod A[x 1 ; y 1 ] a vektor u = (u 1 ; u 2 ), lze tuto rovnici rozepsat: x = x 1 + t * u 2 y = y 1 + t * u 2 (1) Poslední dvě uvedené rovnice nazýváme parametrickým vyjádřením přímky v rovině. Příklad: Napište parametrické vyjádření přímky p dané bodem A[1; 1] a vektorem v = (-2; 3), který je s ní rovnoběžný. Podle vztahu (1) lze rovnou psát: x = 1-2t y = 1 + 3t

2 Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A[5; 2] a B[9; 4]. Vypočteme souřadnice směrového vektoru: u 1 = 9-5 = 4 u 2 = 4-2 = 2 Nyní opět použijeme vztahy (1) a získáme výsledek: x = 5 + 4t y = 2 + 2t

3 Obecná rovnice přímky Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka p a vektor n = (a; b), který je k přímce p kolmý. Je-li bod A[x 0 ; y 0 ] libovolným bodem přímky p a bod X[x; y] libovolným bodem roviny, potom bod X leží na přímce p právě tehdy, když vektor AX je kolmý k vektoru n. AX. n = 0 (1) Skalární součin dvou kolmých vektoru je roven nule. n = (a; B) souřadnice vektoru n AX = (x x 0 ; y y 0 ) souřadnice vektoru AX Skalární součin (1) můžeme rozepsat po složkách: (x x 0 ) * a + (y y 0 ).*b = 0 Po roznásobení závorek a úpravě dostaneme: ax + by ax 0 by 0 = 0 Poslední dva cleny jsou konstanta a označíme ji jako c. Pak dostaneme: ax + by + c = 0 a to je hledaná obecná rovnice přímky. Pozn.: Obecnou rovnici přímky můžeme odvodit i tak, že z parametrických rovnic přímky vyloučíme parametr. Pamatuj! Normálový vektor přímky ax + by + c = 0 má vždy souřadnice n = (a; b) a směrový vektor této přímky má vždy souřadnice s = (-b; a), (případně k němu opačný pak s = (b; -a)).

4 Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[2; 1] a je kolmá k vektoru n = (2; 7). ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = 2; b = 7. Dostaneme: 2x + 7y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -11 Hledaná rovnice přímky je tedy 2x + 7y - 11 = 0 Příklad: Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[5; 3] a je rovnoběžná s osou x. přímka rovnoběžná s osou x je kolmá k vektoru n = (0; 1). Nyní už je postup analogický k předcházejícímu príkladu: ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = 0; b = 1. Dostaneme: 0x + 1y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: c = 0 Odtud c = -3 Hledaná rovnice přímky je tedy y - 3 = 0.

5 Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 3 + 5t, y = 2-2t. Napište její obecnou rovnici. Obě rovnice vezmeme jako soustavu a vyloučíme z ní parametr t: Např. první rovnici vynásobíme dvěma a druhou pěti. Dostaneme: 2x = t 5y = 10-10t Obě rovnice sečteme: 2x + 5y = 16 Hledaná obecná rovnice přímky je pak 2x + 5y - 16 = 0 Příklad: Napište obecnou rovnici přímky, je-li přímka dána body A[3; 7], B[-2; 1]. směrový vektor hledané přímky je u = B - A = (-5; -6). Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 a víme, že směrový vektor má souřadnice (-b; a). Porovnáním zjistíme, že a = -6; b = 5. Dosadíme do obecné rovnice přímky: -6x + 5y + c = 0 Kterýkoliv z bodu A, B leží na přímce, proto dosadíme Např. souřadnice bodu A: c = 0 Dostaneme c = -17 Odtud: -6x + 5y - 17 = 0 a po úpravě: 6x - 5y + 17 = 0 Hledaná obecná rovnice přímky je pak 6x - 5y + 17 = 0

6 Směrnicový tvar rovnice přímky Do směrnicového tvaru můžeme převést jakoukoliv obecnou rovnici přímky, která není rovnoběžná s osou y, tedy pokud b 0. Převedení provedeme velmi jednoduše tak, že z obecné rovnice přímky vyjádříme y. Vzniklou rovnici dále upravíme do jejího obvyklejšího tvaru

7 Převeďte rovnici 2x + 3y - 12 = 0 přímky p na směrnicový tvar. Po úpravě rovnice 2x + 3y - 12 = 0 dostaneme: 3y = -2x + 12 Příklad: Napište směrnicový tvar rovnice přímky, jejíž směrový úhel je 60 a která prochází bodem B[0; 2]. Směrový úhel je ϕ = 60. Směrnice přímky je k = tg 60 = 3. Bod B leží na ose y, proto q = 2. Přímka má tedy rovnici y =. x + 2.

8 Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[-2; 3] a má směrový úhel. Směrnice je k = tg 45 = 1. Platí tedy: y = x + q Konstantu q vypočítáme dosazením souřadnic bodu A[-2; 3] do rovnice y = x + q. 3 = -2 + q q = 5 přímka má rovnici y = x + 5. Pozn.: Pokud máme zadány dva body, jimiž přímka prochází, určíme její směrnici podle vzorce