10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
|
|
|
- Ivo Kraus
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x x + y 2 18 = 0, d) (x 10) 2 + y 2 72 = 0, e) x 2 10x + y = Poměr vzdáleností nejbližšího a nejvzdálenějšího bodu kružnice, která je popsána rovnicí x 2 + y 2 16x 12y + 75 = 0 od počátku soustavy souřadnic je a) 1 : 3, b) 2 : 3, c) 1 : 2, d) 3 : 13, e) 1 : Kružnice vepsaná čtverci ABCD, kde A[2, 1], C[4, 11], má rovnici a) x 2 + y 2 6x 12y + 32 = 0, b) x 2 + y 2 3x 6y 29 = 0, c) x 2 + y 2 + 6x + 12y 32 = 0, d) x 2 + y 2 + 6x 12y + 32 = 0, e) x 2 + y 2 6x + 12y + 29 = Kružnice opsaná trojúhelníku ABC, kde A[1, 5], B[9, 1], C[1, 1], má rovnici a) x 2 + y 2 10x 6y + 14 = 0, b) x 2 + y 2 5x 3y + 20 = 0, c) x 2 + y 2 10x + 6y 20 = 0, d) x 2 + y x + 6y 54 = 0, e) x 2 + y 2 + 5x + 3y + 20 = Kružnice o středu S[ 1, 3] a tečně t o rovnici x 2y + 2 = 0 má rovnici a) x 2 + y 2 + 2x 6y + 5 = 0, b) x 2 + y 2 2x + 6y + 5 = 0, c) x 2 + y 2 x + 3y + 25 = 0, d) x 2 + y 2 x + 3y + 4 = 0, e) x 2 + y 2 + 2x 6y + 25 = Kružnice, která se dotýká os souřadnic a prochází bodem A[8, 9], má poloměr a) 5 nebo 29, b) 6 nebo 29, c) 10 nebo 27, d) 5 nebo 24, e) 6 nebo Kružnice, která se dotýká osy y v bodě B[0, 3] a prochází bodem A[2, 1], má rovnici a) x 2 + y 2 4x 6y + 9 = 0, b) x 2 + y 2 + 4x 3y + 4 = 0, c) x 2 + y 2 4x 6y 9 = 0, d) x 2 + y 2 6x 4y + 9 = 0, e) x 2 + y 2 4x 4y + 4 = Vzdálenost bodu M[ 3, 8] od kružnice o rovnici x 2 + y 2 10x 14y 151 = 0 je a) 2, b) 17, c) 32, d) 4, e) Délka tětivy, kterou v kružnici o rovnici x 2 + y 2 = 25 vytíná přímka x 7y + 25 = 0, je a) 5 2, b) 2 5 2, c) 5 3 2, d) 5 2 6, e) Počet společných bodů elipsy x 2 + 9y 2 = 9 a kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r = 2 je a) 4, b) 1, c) 2, d) 0, e) 3.
2 Kružnice opsaná trojúhelníku ABO, kde A[6, 0], B[0, 12], O[0, 0], má rovnici a) x 2 6x + y 2 12y = 0, b) x 2 6x + y 2 6y = 0, c) x 2 12x + y 2 24y = 0, d) x 2 3x + y 2 6y = 0, e) x 2 6x + y 2 3y = Kružnice, která prochází body A[3, 1] a B[4, 8] a má střed na ose y, má rovnici a) x 2 + y 2 10y = 0, b) x 2 + y 2 10y 125 = 0, c) x 2 6x + y 2 8y 50 = 0, d) x 2 6x + y 2 8y = 0, e) x 2 6x + y 2 = Kružnice, která má průměr AB, kde A[ 2, 1], B[4, 3], má rovnici a) x 2 + y 2 2x 2y = 11, b) x 2 + y 2 + 2x 4y = 5, c) x 2 + y 2 2x 4y = 13, d) x 2 + y 2 2x + 4y = 5, e) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = Kružnice, která prochází body A[5, 4], B[7, 0] a má střed na ose x, má rovnici a) x 2 4x + y 2 = 21, b) x 2 4x + y = 0, c) x 2 + 4x + y 2 = 0, d) x 2 4x + y 2 = 0, e) x 2 + 4x + y 2 = Kružnice o rovnici x 2 + y 2 + 8x 6y + 9 = 0 má střed S a poloměr r, kde a) S[ 4, 3], r = 4, b) S[4, 3], r = 3, c) S[ 4, 3], r = 3, d) S[4, 3], r = 4, e) S[ 8, 6], r = Kružnice, která prochází počátkem soustavy souřadnic a osy souřadnic protíná v bodech [3, 0] a [0, 4], má rovnici a) x 2 3x + y 2 4y = 0, b) x 2 6x + y 2 8y = 0, c) x 2 + 3x + y 2 4y = 0, d) x 2 6x + y 2 + 8y = 0, e) x 2 + 6x + y 2 8y = Kružnice vepsaná kosočtverci OABC, kde O[0, 0], A[5, 0], C[3, 4], má rovnici a) x 2 8x + y 2 4y + 16 = 0, b) x 2 5x + y 2 4y 20 = 0, c) x 2 5x + y 2 4y 39 4 = 0, d) x2 10x + y 2 8y 25 = 0, e) x 2 8x + y 2 4y + 20 = Kružnice, která se dotýká přímek x = 18 a x = 8 a prochází počátkem soustavy souřadnic, má rovnici a) x 2 10x + y 2 24y = 0, nebo x 2 10x + y y = 0, b) x x + y 2 24y = 0, nebo x x + y y = 0, c) x 2 + 5x + y 2 = 0, nebo x 2 5x + y 2 = 0, d) x 2 24x + y 2 10y = 0, nebo x 2 24x + y y = 0, e) x 2 + y y = 0, nebo x 2 + y 2 16y = Kružnice, jejíž střed leží na přímce 2x y 4 = 0 a která prochází body A[ 1, 0] a B[7, 0], má rovnici a) x 2 6x + y 2 4y 7 = 0, b) x 2 8x + y 2 4y 9 = 0, c) x 2 3x + y 2 20 = 0, d) x 2 4x + y 2 2y = 0, e) x 2 6x + y 2 4y 9 = 0.
3 Kružnice s největším poloměrem, která má vnitřní dotyk s elipsou x 2 8x + 4y 2 = 0, dotýká se osy x a leží v polorovině y 0, má rovnici a) x 2 8x + y 2 2y + 16 = 0, b) x 2 8x + y 2 4 = 0, c) x 2 4x + y 2 4y 4 = 0, d) x 2 8x + y 2 4y 20 = 0, e) x 2 + y 2 4y 16 = Vzdálenost bodu M[3, 4] od středu elipsy o rovnici x 2 + 4y 2 2x + 16y 31 = 0 je a) 2 10, b) 2 5, c) 5, d) 2 3, e) Délka tětivy, kterou v elipse o rovnici x 2 + 2y 2 = 27 vytíná osa 1. a 3. kvadrantu, je a) 6 2, b) 6, c) 3 2, d) 9, e) Středový tvar rovnice elipsy, se středem v počátku soustavy souřadnic, která prochází body M[1, 3] a N[3, 2], je a) 5x 2 + 8y 2 = 77, b) 8x 2 + 5y 2 = 53, c) 3x 2 + 2y 2 = 21, d) 8x 2 + 5y 2 = 92, e) 2x 2 + 3y 2 = Středový tvar rovnice elipsy, která má střed v počátku soustavy souřadnic, excentricitu e = 2 2 a prochází bodem M[2, 6] je a) x 2 + 2y 2 = 16, b) 2x 2 + y 2 = 14, c) x 2 + 5y 2 = 10, d) x 2 + 2y 2 = 14, e) žádná z uvedených rovnic Přímka x y + q = 0 je sečnou elipsy 9x y 2 = 144 pro q z intervalu a) ( 5, 5), b) ( 25, 25), c) ( 3, 3), d) ( 5 2, 5 2), e) ( 3 2, 3 2) Středový tvar rovnice elipsy, jejíž osy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a která se dotýká osy x v bodě M[ 4, 0] a osy y v bodě N[0, 3] je a) 9x y x 96y = 0, b) 3x 2 + 4y x 48y + 96 = 0, c) x 2 + 2y 2 + 7x 10y + 12 = 0, d) 3x 2 + 4y x 20y + 24 = 0, e) 9x y x 52y + 12 = Osy elipsy jsou rovnoběžné s osami souřadnic. Elipsa se dotýká osy x v bodě M[4, 0] a protíná osu y v bodech N[0, 3] a P [0, 9]. Velikosti poloos elipsy jsou a) 8 3 3, 6, b) 4, 3, c) 8, 6, d) 6, 4, e) 4, Rovnice tečny kružnice x 2 + y 2 5 = 0 v jejím průsečíku s elipsou x 2 + 4y 2 = 17, který leží v 1. kvadrantu, je a) x + 2y 5 = 0, b) x 2y 5 = 0, c) x + y + 5 = 0, d) x + y 5 = 0, e) x + y 5 = 0.
4 Kružnice, která se dotýká přímek y = 8 a y = 2 a prochází počátkem soustavy souřadnic, má rovnici a) x 2 8x + y 2 6y = 0, nebo x 2 + 8x + y 2 6y = 0, b) x 2 10x + y 2 8y = 0, nebo x x + y 2 8y = 0, c) x 2 6x + y 2 6y = 0, nebo x 2 + 6x + y 2 6y = 0, d) x x + y 2 8y = 0, nebo x 2 10x + y 2 + 8y = 0, e) x 2 + y 2 + 2y = 0, nebo x 2 + y 2 2y = Kružnice o největším poloměru vepsaná do elipsy 2(x 3) 2 + 5(y + 1) 2 = 10 má rovnici a) x 2 6x+y 2 +2y+8 = 0, b) x 2 6x+y 2 +2y 1 = 0, c) x 2 + y 2 = 2, d) x 2 + y 2 6x + 2y = 2, e) x 2 +y 2 +6x 2y+8 = Rovnice elipsy vepsané do obdélníku, jehož jedním vrcholem je počátek soustavy souřadnic, jehož strany leží na osách souřadnic a jejich velikosti jsou 10 (strana na ose x) a 8, je a) 16x 2 160x + 25y 2 200y = 0, b) 16x 2 160x + 25y 2 200y = 0, c) 16x 2 160x + 25y y = 0, d) 16x 2 160x + 25y y 400 = 0, e) 16x x + 25y 2 = Elipsa o rovnici x 2 + 4x + 5y 2 20y + 20 = 0 má střed S a velikosti poloos a, b, kde a) S[ 2, 2], a = 2, b = 2 5 5, b) S[ 2, 2], a = 3, b = 5 3, c) S[2, 2], a = 3, b = 2, d) S[2, 2], a = 6, b = 2 5, e) S[2, 2], a = 2, b = Elipsa o rovnici x 2 6x + 3y y + 27 = 0 má střed S a velikosti poloos a, b, kde a) S[3, 3], a = 3, b = 3, b) S[3, 3], a = 27, b = 9, c) S[6, 3], a = 3, b = 3 3, d) S[ 3, 3], a = 3 3, b = 3, e) S[ 3, 3], a = 3, b = Elipsa 9x x + 25y 2 150y + 36 = 0 má ohniska E, F, kde a) E[2, 3], F [ 6, 3], b) E[ 2, 3], F [6, 3], c) E[ 2, 3], F [ 2, 6], d) E[3, 3], F [ 7, 3], e) E[ 2, 1], F [ 2, 5] Obsah trojúhelníku, jehož strany leží na přímce x 6 = 0 a asymptotách hyperboly o rovnici 9x 2 4y 2 36 = 0, je a) 54, b) 27, c) 81, d) 40,5, e) Jedna z asymptot hyperboly 4x 2 9y 2 16x + 54y 101 = 0 má rovnici a) 2x + 3y 13 = 0, b) 2x 3y 5 = 0, c) 2x + 3y + 5 = 0, d) 2x 3y 13 = 0, e) 2x + 3y + 5 = Rovnoosá hyperbola, jejíž asymptoty jsou osy soustavy souřadnic a přímka o rovnici 3x 4y 12 = 0 je její tečna, má rovnici a) xy + 3 = 0, b) x 2 + y 2 = 144 7, c) x2 + y 2 = 144, d) xy + 5 = 0, e) x 2 + y 2 = 72.
5 Hyperbola, která má hlavní osu v ose x, asymptotu o rovnici 2x 3y = 0 a prochází bodem M[9, 2 5], má vrchol a) [6, 0], b) [4, 0], c) [36, 0], d) [5, 0], e) [16, 0] Odchylka asymptot hyperboly o rovnici x 2 3y 2 12 = 0 je a) 60, b) 30, c) 45, d) 120, e) Rovnice x 2 2y 2 4x 16y 28 = 0 je analytickým vyjádřením a) dvojice různoběžných přímek, b) hyperboly, c) dvojice rovnoběžných přímek, d) kružnice, e) jedné přímky Hyperbola s ohnisky E[ 13, 2], F [13, 2] a délkou hlavní poloosy a = 12 má rovnici a) 25x 2 144(y 2) 2 = , b) 25x (y 2) 2 = 25, c) 25x 2 144(y 2) 2 = 1, d) 25x 2 144(y 2) 2 = 1, e) 25x 2 144(y 2) 2 = Hyperbola s vrcholy A[ 5, 2], B[3, 2] a ohniskem E[4, 2] má rovnici a) 9(x + 1) 2 16(y 2) 2 = 144, b) 16(x 1) 2 9(y + 2) 2 = 144, c) 3(x + 1) 2 4(y 2) 2 = 12, d) 9(x + 1) (y 2) 2 = 144, e) 9(x 1) 2 16(y + 2) 2 = Hyperbola, která má střed v počátku soustavy souřadnic, jejíž hlavní osou je osa x, délka hlavní poloosy a = 5, excentricita e = 7, má rovnici a) 24x 2 25y 2 = 600, b) 25x 2 24y 2 = 600, c) 24x 2 25y 2 = 400, d) 4x 2 49y 2 = 196, e) 24x 2 25y 2 = Přímky y = x a y = x jsou osy rovnoosé hyperboly s délkou hlavní poloosy a = 2 2. Rovnice hyperboly je a) xy = 4, b) x 2 y 2 8 = 0, c) x 2 + y 2 8 = 0, d) xy = 2 2, e) xy = Rovnoosá hyperbola, která má střed v počátku soustavy souřadnic, jejíž hlavní osou je osa x a tečnou je přímka y = 2x + 6, má rovnici a) x 2 y 2 = 12, b) x 2 y 2 = 12, c) x 2 y 2 = 6, d) x 2 y 2 = 3, e) x 2 y 2 = Rovnoosá hyperbola, která má střed v počátku soustavy souřadnic, jejíž hlavní osou je osa y a tečnou je přímka x 2y 9 = 0, má rovnici a) x 2 + y 2 27 = 0, b) x 2 + y 2 9 = 0, c) x 2 + y = 0, d) x 2 + y = 0, e) x 2 + y 2 4 = Hyperbola o rovnici x 2 + 4x 3y 2 + 6y + 28 = 0 má střed S a velikosti poloos a, b, kde a) S[ 2, 1], a = 3, b = 3 3, b) S[ 2, 1], a = 3, b = 3, c) S[2, 1], a = 3 3, b = 3, d) S[4, 6], a = 14 7, b = 3, e) S[2, 1], a = 3 3, b = 3.
6 Přímka x = ky + 2 je tečnou paraboly x 2 = 4y, je-li k rovno a) 1 2, b) 0, c) 2, d) 1 2 nebo 1 2, e) Parametr a ohnisko paraboly o rovnici y 2 8y 12x 8 = 0 jsou a) 6, [1, 4], b) 12, [5, 4], c) 3, [1, 4], d) 6, [5, 4], e) 12, [1, 4] Rovnice paraboly s vrcholem V [1, 3], která prochází bodem A[5, 9] a má osu rovnoběžnou s osou x, je a) (y + 3) 2 = 9(x 1), b) (x 1) 2 = 8 3 (y + 3), c) (y + 3)2 = 18(x 1), d) (y + 9) 2 = 9(x 5), e) (x 5) 2 = 8 3 (y + 9) Přímka 8x + 3y + q = 0 je tečnou paraboly 2x 2 9y = 0 pro q rovno a) 24, b) 0, c) 24 a 0, d) 12, e) Rovnice tečny paraboly x 2 6x 8y 7 = 0 v jejím bodě A[7,?] je a) x y 7 = 0, b) x + y 7 = 0, c) 2x + y 14 = 0, d) x 2y 7 = 0, e) x + 3y 7 = Přímka x y + 2 = 0 vytíná na parabole x 2 8y = 0 tětivy délky a) 16, b) 8 2, c) 8, d) 16 2, e) Rovnicí x 2 + bx y + a = 0 je určena parabola s vrcholem V [2, 3], jestliže a) a = 1, b = 4, b) a = 1, b = 3, c) a = 9, b = 1, d) a = 3, b = 5, e) a = 15, b = Parabola s vrcholem V [ 2, 1], která prochází bodem M[2, 3] a má osu rovnoběžnou s osou x, má rovnici a) y 2 2y 4x = 7, b) y 2 2x + 2y + 1 = 0, c) x 2 + 2x + 2y 7 = 0, d) x 2 + 2x 2y 19 = 0, e) y 2 2x 2y 3 = Parabola y 2 6x + 4y + 4 = 0 má vrchol V a ohnisko F, kde a) V [0, 2], F [ 3 2, 2], b) V [0, 2], F [3, 2], c) V [0, 1 2 ], F [ 3 2, 2], d) V [0, 2], F [3, 2], e) V [0, 1], F [2, 1] Přímka o rovnici x + 2y 6 = 0 vytíná na elipse x 2 + 2y 2 18 = 0 tětivu o délce a) 2 5, b) 20, c) 3 5, d) 21, e) Přímka 2x y + 4 = 0 je tečnou paraboly x 2 mx + y = 0 právě tehdy, když a) m = 6 m = 2, b) m = 6 m = 2, c) m = 6, d) m = 2, e) m = 1 m = Přímka x 2y + 2b = 0 má s parabolou y 2 = 5(x + 1) společný právě jeden bod právě tehdy, když a) b = 3, b) b = 1, c) b = 3, d) b = 1, e) b = 0 b = 3.
7 Přímka x + ay + 1 = 0 je tečnou paraboly y 2 + 2y = x právě tehdy, když a) a = 0 a = 4, b) a = 2, c) a = 2, d) a = 4, e) a = 0 a = Parabola x 2 8x 3y + 10 = 0 má vrchol V, ohnisko F a parametr p, kde a) V [4, 2], F [4, 5 4 ], p = 1,5, b) V [4, 2], F [4, 5], p = 0,75, c) V [4, 2], F [4, 5], p = 1,5, d) V [4, 2], F [4, 5 2 ], p = 0,75, e) V [4, 2], F [4, 5], p = 1.
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
![obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].](/thumbs/59/44051949.jpg "obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].")
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Gymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
![Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].](/thumbs/91/104981778.jpg "Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].")
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
Obrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
Důkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Maturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY
![[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY](/thumbs/24/2750281.jpg "[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY")
Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
![Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]](/thumbs/55/35554374.jpg "Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]")
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky
Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové
JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
Kulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (III/2)
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiál ve škole, registrační číslo projektu CZ..07/.5.00/3.057 Střední zdravotnická škola a Všší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 37 60 České Budějovice Název
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková
Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky
Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová
Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková
KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a
Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou
2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37
Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2
Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
Test A. 1) Určete hodnoty výrazu. 2) Pro přípustné a upravte výraz. (a) a 5 2
Test A V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (A), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. a ). V případě omylu zakroužkujte
Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová
Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....
Funkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
RNDr. Zdeněk Horák IX.
Jméno RNDr. Zdeněk Horák Datum 8. 10. 2014 Ročník IX. Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA Tematický okruh KRUH, KRUŽNICE Téma klíčová slova Opakování učiva z tematického
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
![A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz](/thumbs/47/23721460.jpg "A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz")
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou
Konstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
Deskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
Další plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14
Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které
O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů
O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů 3. Řešení úloh o kuželosečkách prostorovými vztahy In: Josef Holubář (author): O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů. (Czech).
Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro