K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

Transkript

1 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav hmotných bodů nebo tuhého tělesa ve všech případech ted šlo o problém s konečným počtem stupňů volnosti Existují ovšem problém, v nichž počet stupňů volnosti není konečný Například chvění membrán bubnu: výchlka z z( x, x, t) 1 1 závisí kromě času na dvou prostorových proměnných x, x Jak řešit takovéto problém? Dvourozměrné objekt (jako zmíněná membrána bubnu) či třírozměrné (například vzduch v místnosti, jehož části kmitají, kdž zní jakýkoli zvuk) jsou možná pro začátek zbtečně složité Podíváme se proto na snad nejjednodušší problém podobného tpu, a to na problém jednorozměrný: kmitající strunu Ukážeme si, jak lze její pohb řešit pomocí variačního principu, což je přístup, který jde lehce zobecnit na dvourozměrné nebo třírozměrné případ 1 Uvedeme také řešení této rovnice ve formě postupných i stojatých vln Úvod: formulace problému Uvažujme strunu hmotnosti m, která je napnuta mezi dvěma bod, jejichž vzdálenost je l Struna je homogenní, elastická 3 a je napnuta silou F Pro jednoduchost přidáme dva další předpoklad: 1 Části strun kmitají jen ve směru kolmém na spojnici krajních bodů Výchlk (resp amplitud kmitů) jsou malé První předpoklad znamená, že se části strun nepohbují doleva a doprava 4 Druhý předpoklad říká, že sklon strun vzhledem ke spojnici krajních bodů je malý 5 Výchlku strun popisuje funkce kde přitom, dík předpokladu, Úkolem je najít rovnici pro funkci ( x, t) (, ) x t, (11) << 1 (1) a poté najít alespoň některá její řešení Ještě poznámku k označení Pro krátkost budeme často označovat parciální derivace jako, (13) 1 V tomto textu nebudeme vícerozměrné problém řešit, omezíme se na pohb strun Ten se řešívá už na v závěru úvodního kurzu klasické mechanik, budeme ted moci porovnat odvození rovnice pomocí variačního počtu s odvozením vcházejícím z druhého Newtonova zákona Pro toho, kdo tato řešení zná, to bude připomenutí, shrnutí a v něčem možná doplnění Vzhledem k tomu, že analogické situace se popisují a řeší v optice, klasické elektrodnamice i v dalších partiích fzik (a vlnění je také důležitou součástí středoškolské fzik), není marné probrat si řešení tohoto problému dostatečně podrobně na názorném příkladu kmitající (resp vlnící se) strun 3 Tj prodlužuje se podle Hookova zákona Strunu také považujeme za dokonale ohebnou, ted síl spojené s ohýbáním strun budeme považovat za zanedbatelné (Jde o strunu, ne o tč, u ní b bl síl spojené s ohbem samozřejmě podstatné) 4 a vstihuje skutečnost, že půjde o příčné vlnění 5 Obrázek výše výchlk strun pro názornost přehání Ovšem reálně jste asi dosud neviděli napnutou strunu na ktaře kmitat s takovýmto rozkmitem 1

2 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Lagrangián kmitající strun Lagrangián našeho problému je L T V, kde T je kinetická energie kmitající strun a V její potenciální energie Kinetická energie kousku strun vznačeného na ose x délkou x (viz obrázek) je kousku strun T Rchlost ve směr os je 1 mv Označíme-li délkovou hustotu strun jako η ml Kinetická energie kousku strun je ted, 6 je hmotnost m η x (14) v (15) 1 T η x Celkovou kinetickou energii kmitající strun dostaneme sečtením přes všechn její kousk, je ted dána integrálem l 1 T η dx (16) Potenciální energii spočteme jako práci, kterou síla velikosti F, jíž je napínána struna, vkoná při prodloužení strun dík výchlce 7 Kousek strun, který má v klidu délku x, se při vchýlení strun protáhne na délku l ( ) x ( ) x ( ) Protažení daného kousku je ted l x x Potenciální energie daného kousku strun je proto potenciální energie celé strun pak Lagrangián je ted 1 1 V F x, l 1 V F dx (17) l 1 1 L T V η F dx (18) 6 Je-li ρ hustota materiálu strun a S její průřez, je přirozeně η ρs Struna je homogenní, takže η konst 7 Tato úvaha se může zdát na první pohled zvláštní, ale funguje: Představte si, že bste vzali koncový bod strun a strunu natáhli o malý kousek délk d Protože táhnete silou F, vkonáte práci F d (Natažení pokládáme za malé, takže síla F, kterou je struna napnuta, se praktick nezmění) Stejnou práci ale vkonáme, jestliže strunu o kousek délk d protáhneme tím, že ji vchýlíme do stran 8 x považujeme za malé (resp nakonec budeme brát limitu x ) a vužíváme toho, že je malé, viz (1)

3 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Vidíme, že obecně je lagrangián dán integrálem x B L,,,, x t L dx 9 x A (19) Veličinu L nazýváme lagrangeovská hustota 1 V lagrangiánu (18) blo konkrétně Variační princip v případě dvou nezávislých proměnných 1 η 1 L F (11) t 1 ( j, j, ) V kapitole 8 jsme definovali akci jako 11 Dosadíme-li za lagrangián (19), dostaneme S L q q t dt (111) t1 x A t S 1,,,, x t L dt dx (11) t xb V analogii s Hamiltonovým principem, který jsme poznali v kapitole 8, můžeme očekávat 1, že struna se bude pohbovat tak, že variace akce je nulová, Jakou rovnici musí splňovat funkce δ S 13 (, ) 3 (113) x t, ab bl splněn variační princip (113)? Mohli bchom ji odvozovat podobně, jako jsme v kapitole 8 odvodili Eulerovu-Lagrangeovu rovnici Může nám však pomoci analogie: Hamiltonův princip užívající akci (111), v níž se integruje podle času vedl na Lagrangeov rovnice druhého druhu Nní se ve výrazu pro akci (11) integruje přes dvě proměnné, t a x Obě tto proměnné vstupují v integrálu zcela rovnocenně Lze ted očekávat, že budou vstupovat rovnocenně i v rovnicích pro funkci ( x, t) Ted, že rovnice budou mít tvar L L L + (114) 9 V našem konkrétním případě L nezáviselo explicite na, x ani t, ale v obecném případě b na těchto proměnných mohlo záviset Meze jsme označili x a A x, v našem konkrétním případě blo B x A a xb l 1 Musíme ji integrovat přes x, abchom dostali lagrangián, podobně, jako třeba délkovou hustotu hmotnosti musíme integrovat přes x, abchom dostali celkovou hmotnost 11 Jen meze integrálu bl v osmé kapitole ta, t B, nní je značíme t, t1, ab se nám to nepletlo s index A a B u proměnné x 1 Netřeba asi dodávat, že naše očekávání je oprávněné, níže uvedený variační princip je opravdu správným pohbovým zákonem pro kmit strun 13 Při této variaci musí být pevně dané poloh strun v počátečním a koncovém čase, tj ( x, t ) ( x ) a ( x, t1) 1 ( x) a navíc musí být pevně držené okraje strun, tj ( x, A t) (, t) a ( x, B t) lt (, ) Znamená to, že výchlk strun jsou pevně zadané na okrajích oblasti vmezené hodnotami ( t, t1 ) a ( xa, x B)

4 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 A opravdu, tohle je správný tvar rovnic, který b nám všel i po podrobném odvození V zápisu rovnice (114) nám může připadat nezvklé derivovat podle parciálních derivací možná přijatelněji a srozumitelněji rovnice vpadá, označíme-li parciální derivace smbol (13): L L L + Jasněji teď vidíme, že se tato rovnice opravdu podobá Lagrangeově rovnici druhého druhu (115) d L L dt q q Rovnice strun odvození z variačního principu 14 (116) Kdž pomocí značení a zapíšeme lagrangeovskou hustotu (11), 1 1 L η F, (117) můžeme lehce spočíst její potřebné derivace 15 a dosazením do (115) získat rovnici pro kmit strun: (118) ( η ) ( F ) Můžeme ji upravit např na tvar F η, obvklejší bývá vjádření, v němž jsou parciální derivace zapsán explicite, např ve tvaru 16 1 (119) F ( η ) Rovnice strun odvození z druhého Newtonova zákona Pro kontrolu, zda jsme dospěli ke správné rovnici, může být užitečné připomenout si odvození rovnice strun z druhého Newtonova zákona 17 Jde to docela přímočaře Pro kousek strun o hmotnosti m dává druhý Newtonův zákon dv m F (1) dt 14 (115) a Lagrangeova rovnice (116) jsou opravdu analogické, jen místo souřadnice q, která závisí na čase, q qt máme v (115) funkci dvou proměnných ( x, t) Obě tto proměnné v rovnici (115) vstupují jako nezávisle proměnné a mají v ní člen analogické členu d L v Lagrangeových rovnicích druhu dt q Jen nní v (115) musíme místo totální derivace d psát parciální derivaci a podobně pro proměnnou x dt 15 L η, L F a L 16 Za chvíli uvidíme, proč v druhém členu píšeme výraz takto do jmenovatele 17 Variační princip v případě dvou proměnných a rovnice, které z něho plnou, jsme výše získali jen analogií s jednodušším případem probíraným v kapitole 8 Možná v nás ted může hlodat červík nedůvěr, jestli jsou opravdu správně Jsou ale zatím jsme se museli spolehnout jen na autoritativní tvrzení, že tomu tak je, nebo si je zkontrolovat v učebnicích Takže není od věci, ověřit si platnost rovnice (119) i zcela nezávislým odvozením 4

5 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Protože se kousek strun pohbuje jen ve směru os, stačí uvažovat jen -ovou složku rovnice dv (1), ted m dt F Přitom v a m η x (viz (14)), takže Newtonův zákon t dává 18 η x F (11) Síla F je součet sil, kterými na daný kousek strun působí části strun napravo a nalevo (Na obrázku sílu zprava označujeme jako F +, sílu zleva jako F ) Ve směr os je ted F F + F (1) + Pokud se týče vodorovných, ted x-ových složek síl, t musí být zleva i zprava co do velikosti stejné a musí se ted vrovnávat, jinak b se daný kousek strun urchloval doprava nebo doleva Faktick můžeme říci, že velikost x-ové složk síl je rovna síle F, kterou je struna napnuta, kdž je v klidu Složka síl do směru závisí na sklonu strun Jak ukazuje obrázek, F Ftgα F F Derivaci ovšem musíme vzít vžd x + v příslušném bodě, takže F F a F F 19 x x Dosazení do (1) dá x+ x F F F x F x Teď už stačí dosadit (13) do (11): a po zkrácení x x+ x x (13) η x F x x a převedení na jednu stranu dostáváme což už je faktick rovnice (119) 1 F η x t Rovnici strun ted máme odvozenou Jak je to s jejím řešením?, (14) 18 Derivaci podle času už píšeme jen jako parciální, i kdž v (1) bla totální derivace Tam jsme ale brali xt, závisí na dvou proměnných a tak kousek strun faktick jako hmotný bod, zatímco v (11) funkce musíme časovou změnu zapisovat pomocí parciální derivace 19 U F je záporné znaménko, protože na levém kraji daného kousku strun působí síla opačně, než na pravém df Vužíváme toho, že rozdíl funkce ve dvou blízkých bodech je f ( x+ x) f ( x) x, funkcí f je dx x 1 Dík tomu, že nám i při zcela nezávislém odvození všla stejná rovnice, snad může stoupnout i naše důvěra ve variační princip použitý k řešení pohbu spojitých prostředí, jako je struna 5

6 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Řešení rovnice strun: postupné vln Vztah vstihující postupné vlnění 3 se obvkle píše ve tvaru Asin( kx ωt) (15) Jak víme, že jde o postupnou vlnu a jakou rchlostí taková vlna postupuje? Obrázek ukazuje výchlk strun 4 v nějakém konkrétním čase t Zvýrazněn je jeden vrchol vln, jeho souřadnice je označena x V Jakou hodnotu musí mít argument funkce sinus v (15), ab šlo o vrchol vln, ted ab výchlka bla maximální? Pro maximální hodnotu se sinus musí rovnat 1 To znamená, že argument v závorce má hodnotu například π 5 Pro vrchol je ted např kxv ωt π ; odtud To je ale vztah pro rovnoměrný přímočarý pohb, xv ω π t + (16) k k xv v t + konst Vidíme, že jde opravdu o postupné vlnění; vrchol vln (i kterékoli jiné jejich části) postupují podél os x rchlostí ω v 6 k (17) Ještě jsme ovšem neukázali, že (15) je řešením rovnice strun (119), případně za jakých podmínek je řešením Pro dosazení do rovnice strun potřebujeme spočítat druhé derivace (15): kacos ( kx ωt), k Asin ( kx ωt), ω Acos ( kx ωt), ω Asin ( kx ωt) (18) Dosazení do (119), ted do 1 dá F η sin 1 k A kx ωt + ω A sin( kx ωt ), ( F η ) čili ω k + A sin( kx ωt) (19) ( F η ) Jde o postupné vlnění v jednorozměrném případě Stejnou rovnici může mít postupná rovinná vlna 3 V našem případě jde o postupné vlnění příčné, výchlk jsou kolmé na směr šíření vln 4 Výchlk jsou na obrázku velmi přehnané, výše jsme rovnici strun odvodili pro malé výchlk, zde nám jde o ilustraci vlnění obecně 5 nebo 3π, 5π, zkrátka obecně ( k + 1) π Asin k x vt 6 Skutečnost, že jde o postupné vlnění, je také jasně vidět, kdž (15) přepíšeme jako ( ) 6

7 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Tato rovnice musí být splněna pro všechna x a všechna t Ab to blo pravda, musí platit ω ω k +, čili k ( F η ) vln na struně je F ω η k F Porovnáním s (17) vidíme, že rchlost postupných η v F (13) η Tím pádem můžeme rovnici strun (119) psát jako 1 (131) v Faktick jde o jednorozměrný případ vlnové rovnice 7 V případě výše uvedeného vlnění (15) jde o harmonickou vlnu 8 Blo b možno vjádřit i vlnu zcela obecného profilu? Jde to, stačí pro libovolnou funkci f f ξ 9 napsat f ( x vt) (13) Druhé derivace (13) jsou 3 df d f,, dξ dξ df d f ( v), v dξ dξ Po dosazení do levé stran (131) dostaneme 1 d f 1 d f d f v v 1 v dξ v dξ dξ v Vidíme ted, že (13) opravdu je řešením rovnice strun A skutečně jde o postupnou vlnu šířící se rchlostí v : jestliže funkce f ( ξ ) má maximum pro nějakou hodnotu ξ, m je vrchol funkce na místě o souřadnici x v t + ξ Profil funkce f přitom zůstává stále stejný, jen se pohbuje podél os x V m 7 1 p Ve třírozměrném případě vlnová rovnice, např pro zvukové vln, má tvar p Zde p je tlak v p p p vzduchu, a Δ je Laplaceův operátor, p + + z 8 Prostě, ve vztahu je sinus nebo kosinus argumentu 9 Spojitou a derivovatelnou do druhého řádu 3 Rozmslete si, že tohle je pravda (Stačí použít pravidlo pro derivaci složené funkce, takže např f df ξ, dξ kde ξ x v t ) 7

8 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Řešení rovnice strun: stojaté vln Harmonická stojatá vlna je popsána vztahem 31 sin( ω ) Asin kx t, (133) kde ω π f je úhlová frekvence vlnění a k π λ je vlnové číslo 3 Dokázat, že (133) je řešením rovnice strun znamená spočítat druhé derivace kacos( kx) sin ( ωt), k Asin( kx) sin ( ωt), ω Asin kx cos ωt, ω Asin kx sin ωt (134) a dosadit je do levé stran (131): 1 1 ω k Asin kx sin t + Asin kx sin t k + Asin kx sin t v v v ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) Rovnice strun ted bude splněna, pokud pro všechna x a t bude platit ω k + A sin( kx) sin( ωt) v (135) ω Nutnou a postačující podmínkou pro to je k + v v případě postupné harmonické vln (viz (17)), čili v ω, což je stejný vztah, jako k Jde-li o stojaté vln na struně konečné délk, musí být splněn okrajové podmínk (, ), (, ) t l t 33 (136) První podmínka je splněna již volbou řešení (133) 34 Ab bla splněna druhá podmínka, musí platit sin kl kl nπ, kde n 13,,, (137) Protože k π λ, plne z (137), že λ l n, ted, že na délku strun připadne celý počet půlvln 35 Na druhou stranu mezi k a ω platí vztah ω k v (viz (17)), takže π f ω k v nπ l v, 31 Toto není obecný tvar stojaté vln V obou argumentech funkcí sinus b mohl být ještě fázové konstant, případně bchom mohli uvažovat kombinace sinů a kosinů Vztah (133) však bude vhovovat situaci, kterou budeme dále popisovat 3 Přitom f je frekvence vlnění a λ vlnová délka Rozmslete si, že vztah (133) opravdu popisuje vlnění s touto frekvencí a vlnovou délkou A rozmslete si, jak bste to vsvětlili středoškolákům tento popis je na úrovni středoškolské fzik (Stejně tak musíme umět vsvětlit význam příslušných parametrů v případě harmonické postupné vln, ted ve vztahu (15)) 33 Na začátku a na konci je struna upevněna a nemůže se tam hýbat 34 Protože sin k 35 Což je logické (Rozmslete si proč) 8

9 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 čili (po dosazení (13)) v 1 F f n n, n 13,,, l l η (138) Struna ted může kmitat základní frekvencí f 1 1 l F η a jejími násobk stojatého vlnění dostaneme složením stojatých vln těchto základních frekvencí Složitější případ Závěrečná poznámka Přestože jsme se v závěrečných částech kapitol věnovali konkrétním řešením rovnice strun, neměli bchom zapomenout na základní poznatek, s nímž jsme se seznámili: variační princip lze z případu soustav hmotných bodů dobře zobecnit i na soustav s nekonečným počtem stupňů volnosti, ted na spojitá prostředí 36 Mluvíme o tzv všších harmonických Obecně, kdž drnkneme třeba na strunu ktar, zní současně základní tón i všší harmonické, našemu uchu to zní libozvučně (Uvádí se, že s výjimkou sedmé harmonické) 37 Kvalitativně můžeme zkontrolovat, že se vztah pro frekvenci základního tónu chová rozumně: napneme-li strunu větší silou F, frekvence roste (výška tónu vzrůstá), naopak hmotnější struna (s všší délkovou hustotou hmotnosti η ) kmitá s nižší frekvencí, ted zní hlubším tónem 9