1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
|
|
|
- Blanka Slavíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35
2 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný vektor 4. Matice 5. Násobení matice skalárem a sčítání matic 6. Nulová matice a odečítání matic 7. Transponované matice 8. Násobení matice a vektoru 9. Násobení matic
3 1. Matice a maticové operace p. 3/ Aritmetické vektory DEFINICE 1 n-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývají složky. Tyto uspořádané n- tice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádků nebo sloupců.
4 1. Matice a maticové operace p. 3/ Aritmetické vektory DEFINICE 1 n-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývají složky. Tyto uspořádané n- tice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádků nebo sloupců. PŘÍKLAD 1 Vektor průhybů lana z příkladu III z úvodní přednášky můžeme definovat předpisem u = u 0,u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6. Řešením úlohy je pak vektor u = 0, , , , , , 0
5 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný.
6 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný. DEFINICE 2 Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestliže mají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. u 1 = v 1,...,u n = v n. Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u v).
7 1. Matice a maticové operace p. 4/ Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značitv i. Např.u 1 = u 0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = 1,2 je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný. DEFINICE 2 Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestliže mají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. u 1 = v 1,...,u n = v n. Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u v). Jestliže u = 1,2 av = 2,1, pak u 1 = 1,v 1 = 2, takže u v.
8 1. Matice a maticové operace p. 5/ Aritmetické vektory Dvou a třírozměrné vektory - polohové vektory Volné a vázané vektory
9 1. Matice a maticové operace p. 5/ Aritmetické vektory Dvou a třírozměrné vektory - polohové vektory Vícerozměrné vektory: Volné a vázané vektory Znázornění vektoru 1, 2, 1, 2
10 1. Matice a maticové operace p. 6/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 3 Součin skaláru (čísla) α a aritmetického vektoru u = u 1,...,u n je vektor αu definovaný předpisem αu = αu 1,...,αu n.
11 1. Matice a maticové operace p. 6/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 3 Součin skaláru (čísla) α a aritmetického vektoru u = u 1,...,u n je vektor αu definovaný předpisem Pro složky αu tedy platí αu = αu 1,...,αu n. αu i = αu i, i = 1,...,n, například 31,2 = 3 1,3 2 = 3,6, 31,2 1 = 3 1 = 3, 31,2 = 3 2 = 6. 2
12 1. Matice a maticové operace p. 7/ Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n.
13 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem Pro složky u+v tedy platí u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n. u + v i = u i + v i, i = 1,...,n. Například 1,2+2,3 = 1+2,2+3 = 3,5, 1,2+2,3 = 1+2 = 3, 1 1,2+2,3 2 = 2+3 = Matice a maticové operace p. 7/35
14 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = u 1,...,u n a v = v 1,...,v n stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem Pro složky u+v tedy platí u+v = u 1 +v 1,...,u n +v n. u + v i = u i + v i, i = 1,...,n. Například 1,2+2,3 = 1+2,2+3 = 3,5, 1,2+2,3 = 1+2 = 3, 1 1,2+2,3 2 = 2+3 = Matice a maticové operace p. 7/35
15 1. Matice a maticové operace p. 8/ Operace s aritmetickými vektory VĚTA 1 Pro libovolná čísla α, β a vektory u,v,w stejné dimenze platí: DŮKAZ: (6)1u i = 1u i = u i u+(v+w) = (u+v)+w (1) u+v = v+u (2) α(u+v) = αu+αv (3) (α+β)u = αu+βu (4) α(βu) = (αβ)u (5) 1u = u (6)
16 1. Matice a maticové operace p. 9/ Operace s aritmetickými vektory Vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými vektory. Např. stokrát výpočet 2.0u+2.0v s vektory u avdimenze zabírá sekund, zatímco výpočet 2.0(u+v) pouze sekund.
17 1. Matice a maticové operace p. 9/ Operace s aritmetickými vektory Vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými vektory. Např. stokrát výpočet 2.0u+2.0v s vektory u avdimenze zabírá sekund, zatímco výpočet 2.0(u+v) pouze sekund. Operaceαu+αv totiž potřebuje 2n operací násobení skaláru se složkami obou vektorů an operací součtů složek vektorů, tj. celkem 3n operací, výrazα(u+v) potřebuje n při součtu obou vektorů an operací násobení složek vektorů skalárem, tj. celkem2n operací, tedy pouze 2 původního počtu operací. 3
18 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u.
19 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o.
20 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o. Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektor x, který splňuje u+x = v lze zapsat ve tvaru x = v+( u) = ( u)+v.
21 1. Matice a maticové operace p. 10/ Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = 0,...,0 se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenzenbudeme značit o n. Je-li vektoru = u 1,...,u n libovolný aritmetický vektor, pak se vektor u = u 1,..., u n = ( 1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u+o n = u. Opačný vektor splňuje u +( u) = o. Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektor x, který splňuje u+x = v lze zapsat ve tvaru x = v+( u) = ( u)+v. Rozdíl aritmetických vektorů: v u = v +( u)
22 1. Matice a maticové operace p. 11/ Matice DEFINICE 6 Necht jsou dány prvky a 11,a 12,...,a mn z dané množiny F. Matice typu (m, n) (stručně m n matice) je obdélníková tabulka a11... a 1n A =..... a m1... a mn která má mn prvků a ij uspořádaných do m řádků r A i a n sloupců s A j, takže r A A = 1. = s A 1,...,sA n, r A m r A i = a i1,...,a in, s A j = Stručně píšeme též A = a ij. a1j. a mj.
23 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla).
24 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální).
25 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n.
26 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n.
27 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m.
28 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m. Prvky a 11,...,a ss,s = min{m,n} tvoří diagonálu matice A.
29 1. Matice a maticové operace p. 12/ Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m,n) s prvky z množiny F budeme značitf m,n. (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1,n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m,1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m. Prvky a 11,...,a ss,s = min{m,n} tvoří diagonálu matice A. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A značímea ij.
30 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A =
31 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1.
32 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Matice z příkladu III z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1.
33 1. Matice a maticové operace p. 13/ Matice Matice z příkladu I z úvodní přednášky: A = Reálná matice typu (7,8), tj. A R 7,8. Diagonála: 1,0,0,1,1,0,0. A 63 = 1. Matice z příkladu III z úvodní přednášky: A = Reálná čtvercová matice řádu 5, tj. A R 5,5. Diagonála: 2,2,2,2,2. A 43 = 1.
34 1. Matice a maticové operace p. 14/ Matice DEFINICE 7 Matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejného typu a mají stejné odpovídající prvky, tj. A ij = B ij. Matice A a B, které nejsou stejné, jsou různé (píšemea B).
35 1. Matice a maticové operace p. 14/ Matice DEFINICE 7 Matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejného typu a mají stejné odpovídající prvky, tj. A ij = B ij. Matice A a B, které nejsou stejné, jsou různé (píšemea B). PŘÍKLAD ,2,
36 1. Matice a maticové operace p. 15/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 8 Součin skaláruαamatice A je maticeαa stejného typu jako A definovaná předpisem αa ij = αa ij.
37 1. Matice a maticové operace p. 15/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 8 Součin skaláruαamatice A je maticeαa stejného typu jako A definovaná předpisem αa ij = αa ij. PŘÍKLAD =
38 1. Matice a maticové operace p. 16/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 9 Součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typu jako A a B definovaná předpisem A+B ij = A ij +B ij.
39 1. Matice a maticové operace p. 16/ Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 9 Součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typu jako A a B definovaná předpisem A+B ij = A ij +B ij. PŘÍKLAD =
40 1. Matice a maticové operace p. 17/ Násobení matice skalárem a sčítání matic VĚTA 2 Pro libovolné číselné matice A, B, C stejného typu a pro libovolné skaláry α,β platí vztahy: A+(B+C) = (A+B)+C (1) DŮKAZ: (6)1A ij = 1A ij = A ij A+B = B+A (2) α(a+b) = αa+αb (3) (α+β)a = αa+βa (4) α(βa) = (αβ)a (5) 1A = A (6)
41 1. Matice a maticové operace p. 18/ Násobení matice skalárem a sčítání matic Obdobně jako v případě vektorů, vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými maticemi. Např. stokrát výpočet 2.0A+3.0A s čtvercovou maticí řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet ( )A pouze sekund.
42 1. Matice a maticové operace p. 18/ Násobení matice skalárem a sčítání matic Obdobně jako v případě vektorů, vlastnosti (3),(4),(5) jsou velmi důležité při výpočtech s velmi velkými maticemi. Např. stokrát výpočet 2.0A+3.0A s čtvercovou maticí řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet ( )A pouze sekund. OperaceαA+βA se čtvercovou maticí řáduntotiž potřebuje 2n 2 operací násobení skalárů se složkami matice an 2 operací součtů složek matic, tj. celkem3n 2 operací, výraz(α+β)a potřebuje 1 při součtu obou skalárů an 2 operací násobení složek matice skalárem, tj. celkemn 2 +1 operací, tedy pouze 1 původního počtu operací. 3
43 1. Matice a maticové operace p. 19/ Nulová matice a odečítání matic DEFINICE 10 Matice O = se nazývá nulová matice. Nulová matice typu (m,n) se značí O mn. Je-li A libovolná matice pak matice A se nazývá opačná matice k matici A a platí A ij = A ij
44 1. Matice a maticové operace p. 20/ Nulová matice a odečítání matic VĚTA 3 Pro libovolnou matici A a nulovou matici stejného typu platí A+O = A (1) A+( A) = O (2) A = ( 1)A (3)
45 1. Matice a maticové operace p. 20/ Nulová matice a odečítání matic VĚTA 3 Pro libovolnou matici A a nulovou matici stejného typu platí DŮKAZ: A+O = A (1) A+( A) = O (2) A = ( 1)A (3) (1):A+O ij = A ij +O ij = A ij +0 = A ij, (2): A+( A) ij = A ij + A ij = A ij +( A ij ) = 0 = O ij, (3): A ij = A ij = ( 1)A ij = ( 1)A ij.
46 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B.
47 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B. Definujeme odečítání matic nebo též rozdíl matic předpisem A B = A+( B).
48 1. Matice a maticové operace p. 21/ Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A+X = B, lze zapsat ve tvaru X = B+( A) = ( A)+B. Definujeme odečítání matic nebo též rozdíl matic předpisem A B = A+( B). PŘÍKLAD 5 A = , B = A B = A+( B) = , =
49 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji
50 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji PŘÍKLAD =
51 1. Matice a maticové operace p. 22/ Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu(m,n) definujeme matici transponovanoua typu (n, m) předpisem A = A. ij ji = PŘÍKLAD 6 VĚTA 4 Pro matice stejného typu a libovolný skalár platí: (A+B) = A +B, (1) (αa) = αa. (2)
52 1. Matice a maticové operace p. 23/ Násobení matice a vektoru Soustava z příkladu III z úvodní přednášky: 2u 1 u 2 = u 1 +2u 2 u 3 = u 2 +2u 3 u 4 = u 3 +2u 4 u 5 = u 4 +2u 5 =
53 1. Matice a maticové operace p. 23/ Násobení matice a vektoru Soustava z příkladu III z úvodní přednášky: u 1 2u 1 u 2 = u 1 +2u 2 u 3 = u 2 +2u 3 u 4 = u 3 +2u 4 u 5 = u 4 +2u 5 = S využitím definice násobení vektoru skalárem a součtu vektorů: u u u u =
54 1. Matice a maticové operace p. 24/ Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( )
55 1. Matice a maticové operace p. 24/ Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( ) Ze sloupcových vektorůs A 1,...,s A 5 sestavíme matici A = s A 1,s A 2,s A 3,s A 4,s A 5 =
56 1.8 Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u 1 s A 1 +u 2 s A 2 +u 3 s A 3 +u 4 s A 4 +u 5 s A 5 = b ( ) Ze sloupcových vektorůs A 1,...,s A 5 sestavíme matici A = s A 1,s A 2,s A 3,s A 4,s A 5 = Levá strana rovnice ( ) definuje součin matice A a vektoru u, takže u u Au = b, kde u = u 3 u 4,b = u Matice a maticové operace p. 24/35
57 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n.
58 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n. Rozepsáním definice po složkách dostaneme y i = Ax i = a i1 x 1 + +a in x n = r A i x.
59 1. Matice a maticové operace p. 25/ Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = a ij typu (m,n) a sloupcového vektoru x = x i dimenze n nazýváme vektor dimenzemdefinovaný předpisem y = Ax = x 1 s A 1 + +x n s A n. Rozepsáním definice po složkách dostaneme y i = Ax i = a i1 x 1 + +a in x n = r A i x. Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: y i y A x = a i1... a in x 1. x n
60 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me a11 a 12 x1 a 21 a 22 x 2 = a11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x, 2
61 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = =
62 1. Matice a maticové operace p. 26/ Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me VĚTA 5 a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = = 3 Pro libovolné matice A, B typu (m,n), n-rozměrné vektory u, v a skalár α platí: 4 8. A(αu) = α(au) = (αa)u (1) A(u+v) = Au+Av (2) (A+B)u = Au+Bu (3)
63 1.8 Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uved me VĚTA 5 a11 a 12 x1 a11 x a 21 a 22 x = 1 + a 12 x 2 2 a 21 x 1 + a 22 x, = = 3 Pro libovolné matice A, B typu (m,n), n-rozměrné vektory u, v a skalár α platí: 4 8. A(αu) = α(au) = (αa)u (1) A(u+v) = Au+Av (2) (A+B)u = Au+Bu (3) DŮKAZ: (2) A(u+v) i = ra i (u+v) = a i1 (u 1 +v 1 )+ +a in (u n +v n ) = = (a i1 u 1 + +a in u n )+(a i1 v 1 + +a in v n ) = = r A i u+r A i v = Au i +Av i, 1. Matice a maticové operace p. 26/35
64 1. Matice a maticové operace p. 27/ Násobení matic A, B libovolné čtvercové matice řádu 3, x vektor dimenze 3. A(Bx) = A x 1 s B 1 +x 2 s B 2 +x 3 s B 3 = x1 As B 1 +x 2 As B 2 +x 3 As B 3 Odtud můžeme definovat maticiab = As B 1,As B 2,As B 3.
65 1. Matice a maticové operace p. 27/ Násobení matic A, B libovolné čtvercové matice řádu 3, x vektor dimenze 3. A(Bx) = A x 1 s B 1 +x 2 s B 2 +x 3 s B 3 = x1 As B 1 +x 2 As B 2 +x 3 As B 3 Odtud můžeme definovat maticiab = As B 1,As B 2,As B 3. DEFINICE 13 Jestliže A je matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak součin matic A a B je matice AB typu (m,n) definovaná předpisem AB = As B 1,...,Asn B.
66 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j
67 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j a AB = r A 1 s B 1... r A 1 s B n..... r A ms B 1... r A ms B n = r A 1 B. r A mb.
68 1. Matice a maticové operace p. 28/ Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme AB ij = a i1 b 1j + +a ip b pj = r A i s B j a AB = r A 1 s B 1... r A 1 s B n..... r A ms B 1... r A ms B n = r A 1 B. r A mb. Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: AB A B AB ij = a b 1j i1... a ip. b pj
69 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, 22
70 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, = = , 2 1
71 1. Matice a maticové operace p. 29/ Násobení matic PŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a 12 b11 b 12 a11 b a 21 a 22 b 21 b = 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b, = = , 2 1 nelze násobit!!!
72 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány.
73 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány. Obecněji platí následující vztahy. VĚTA 6 Pro libovolný skalár α a matice A, B, C platí: A(αB) = α(ab) = (αa)b (1) A(B+C) = AB+AC (2) (A+B)C = AC+BC (3) kdykoliv jsou uvedené výrazy definovány.
74 1. Matice a maticové operace p. 30/ Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány. Obecněji platí následující vztahy. VĚTA 6 Pro libovolný skalár α a matice A, B, C platí: A(αB) = α(ab) = (αa)b (1) A(B+C) = AB+AC (2) (A+B)C = AC+BC (3) kdykoliv jsou uvedené výrazy definovány. A(B +C) ij = ra i s B+C j = r A i (s B j +s C j ) = DŮKAZ (2): = r A i s B j +r A i s C j = AB ij +AC ij
75 1. Matice a maticové operace p. 31/ Násobení matic Násobení matic je velmi výpočetně nákladné. Je proto velmi důležité operace dělat co nejefektivněji. Např. stokrát výpočet AC+BC s čtvercovými maticemi řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet (A+B)C pouze sekund.
76 1. Matice a maticové operace p. 31/ Násobení matic Násobení matic je velmi výpočetně nákladné. Je proto velmi důležité operace dělat co nejefektivněji. Např. stokrát výpočet AC+BC s čtvercovými maticemi řádu 1000 potřebuje sekund, zatímco výpočet (A+B)C pouze sekund. Operace násobení matic se čtvercovými maticemi řádu n totiž potřebujen 2 (2n 1) = 2n 3 n 2 operací, tj. výraz AC+BC potřebuje4n 3 2n 2 při součinech matic a n 2 operací pro součet matic, tj. celkem 4n 3 n 2 operací, zatímco výraz(a+b)c potřebuje2n 3 tedy přibližně 1 2 původního počtu operací.
77 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C
78 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C DŮKAZ: A(BC) = A Bs C 1,...,Bs C n = A(Bs C 1 ),...,A(Bs C n) = = (AB)s C 1,...,(AB)s C n = (AB)C.
79 1. Matice a maticové operace p. 32/ Násobení matic VĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m,p), matice B typu (p,q) a matice C typu (q,n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C DŮKAZ: A(BC) = A Bs C 1,...,Bs C n = A(Bs C 1 ),...,A(Bs C n) = = (AB)s C 1,...,(AB)s C n = (AB)C. Indukcí lze dokázat obdobné tvrzení i pro součin více než tří matic. Odtud speciálně vyplývá, že mocnina čtvercové matice A k = AA A } {{ } k je definována jednoznačně nebot nezáleží na uzávorkování.
80 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n.
81 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n. VĚTA 8 Jestliže A je libovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platí AI = A, IA = A.
82 1. Matice a maticové operace p. 33/ Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádunse značíi n. VĚTA 8 Jestliže A je libovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platí AI = A, IA = A. DŮKAZ: Např.AI ij = a i1 0+ +a ij 1+ +a in 0 = a ij = A ij
83 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA.
84 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA. Navíc platí B 2 = = O.
85 1. Matice a maticové operace p. 34/ Násobení matic Pro matice A = , B = platí 1 2 AB = = ,BA = = takže AB BA. Navíc platí B 2 = = O. Pro násobení matic tedy neplatí komutativní zákon a mocnina nenulové matice může být nulová matice!
86 1. Matice a maticové operace p. 35/ Násobení matic VĚTA 9 Jestliže je A matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak platí: (AB) = B A
87 1. Matice a maticové operace p. 35/ Násobení matic VĚTA 9 Jestliže je A matice typu(m,p) a B je matice typu(p,n), pak platí: (AB) = B A DŮKAZ: (AB) ij =AB ji = r A j s B i = =a j1 b 1i + +a jp b pi = =b 1i a j1 + +b pi a jp = = ( ) s B ( ) i r A j = B A ij.
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura
emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012 Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
LINEÁRNÍ ALGEBRA. verze ZDENĚK DOSTÁL, VÍT VONDRÁK
LINEÁRNÍ ALGEBRA verze 30 8 20 ZDENĚK DOSTÁL, VÍT VONDRÁK Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2 století (reg č CZ07/2200/070332), na kterém se společně podílela Vysoká
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Soustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
nad obecným tělesem a lineární kombinace Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 1.10.2015: 1/20 nad obecným tělesem Co
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Zavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26
Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
1.1 Operace s maticemi Soustavy lineárních rovnic Maticové rovnice a výpočet inverzní matice Elementární matice...
Obsah Předmluva 3 Matice 5 Operace s maticemi 6 2 Soustavy lineárních rovnic 3 3 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 7 4 Elementární matice 2 5 Cvičení 23 6 Řešení 24 2 Vektory a vektorové prostory
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
![[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).](/thumbs/54/34227823.jpg "[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).")
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Základy teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet