Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Transkript

1 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34

2 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34

3 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická část hodnocení: max. 100 bodů body [100, 90] (90, 80] (80, 70] (70, 60] (60, 50] (50, 0] hodnocení A B C D E F v případě nerozhodného výsledku může být zkoušející požadováno ústní dozkoušení jakýkoliv pokus o podvod bude mít za následek hodnocení F a propadnutí termínu Matematika 4/34

4 Úvod Materiály knihy/skripta Moučka, J., Rádl, P. Matematika pro studenty ekonomie. Praha: Grada Moučka, J. Sbírka úloh z lineární algebry. Vyškov: VVŠ PV, Šotová, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. [CD-ROM]. Brno: Univerzita obrany, Moodle kurz Matematika (Řízení a použití ozbrojených sil) Výuka kamila.hasilova@unob.cz Matematické výpočty online Wolfram Alpha Matematika 5/34

5 GEM Úloha ze statiky Máme tři závaží, jedno má hmotnost 2 kg. Chceme zjistit hmotnost zbylých dvou. Experiment s metrovou tyčí vedl k těmto rovnovážným stavům: 40h + 15c = c = h Matematika 7/34

6 GEM Gaussova eliminační metoda GEM c h 15c + 40h = 100 R 1 : c 50h = 50 R 2 : c + 8h = 20 R 1 R c 2h = c 2h = c + 8h = 20 R 2 3R c 2h = h = 14 R 2 : c 2h = 2 R 1 + 2R h = c = h = Matematika 8/34

7 GEM EŘO Elementární řádkové operace vynásobení rovnice (řádku) nenulovým číslem př. R 1 : 5 = 1 5 R 1 výměna dvou rovnic (řádků) př. R 1 R 2 přičtení násobku řádku k jinému řádku př. R 1 2R 2 = R 1 + ( 2) R 2 vynechání nulového řádku (rovnice 0 = 0 nenese informaci) Matematika 9/34

8 GEM Úloha z chemie Je dána chemická reakce 1 αc 7 H 8 + βhno 3 γc 7 H 5 O 6 N 3 + δh 2 O. C : H : N : O : 7α = 7γ 8α + β = 5γ + 2δ β = 3γ 3β = 6γ + δ α β γ δ Je to neúplná rovnice, raději to nezkoušejte doma! Matematika 10/34

9 GEM GEM R 1 : 7 R 2 8R 1 R 3 R 2 R 4 3R 2 Matematika 11/34

10 GEM GEM R 3 /( 2) R 4 /( 5) R 4 R 3 Matematika 12/34

11 GEM GEM Řešení soustavy dostaneme zpětným dosazováním δ = p ( je to volný parametr ), γ = p 3, β = 2p 3 p 3 = p, α = p 3. Řešení obvykle zapisujeme jako uspořádaný celek (α, β, γ, δ) = ( p 3, p, p, p), p R. 3 α γ = 0, β + 3γ 2δ = 0, 3γ δ = 0. Matematika 13/34

12 Lineární algebra Číselné obory Přirozená čísla: N = {1, 2, 3,...}, příp. N 0 = N {0}. Celá čísla: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Racionální čísla: Q = {q = z n : z Z, n N}. Čísla, která nejsou racionální, tj. nelze je vyjádřit jako podíl celého a přirozeného čísla, nazýváme iracionální a značíme I. Reálná čísla: R = Q I. K reálným číslům lze jednoznačně přiřadit všechny body nekonečné přímky (číselné osy) podle jejich vzdálenosti od počátku. Komplexní čísla: C = {z = a + bi : a, b R, i 2 = 1}. Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bi. Číslu a říkáme reálná část komplexního čísla z (a = Re z), číslu b imaginární část komplexního čísla z (b = Im z). Matematika 15/34

13 Lineární algebra Lineární kombinace Lineární kombinací prvků x 1, x 2,..., x n je výraz a 1 x 1 + a 2 x a n x n, kde čísla a 1,..., a n R se nazývají koeficienty. Lineární rovnice v proměnných x 1, x 2,..., x n má tvar kde b R. a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, Uspořádaná n-tice (s 1,..., s n ) R n se nazývá řešením rovnice a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, jestliže po dosazení platí uvedená rovnost. Matematika 16/34

14 Lineární algebra Soustava lineárních rovnic Necht a ij R, b i R pro i = 1,..., m a j = 1,..., n, soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x 1,..., x n rozumíme a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1) Řešením soustavy lineárních rovnic (1) rozumíme uspořádanou n- tici reálných čísel (s 1, s 2,..., s n ), po jejichž dosazení za neznámé x 1, x 2,..., x n (v tomto pořadí) do soustavy lineárních rovnic dostaneme ve všech rovnicích identity. Je-li b 1 = b 2 = = b m = 0, mluvíme o homogenní SLR, v opačném případě jde o nehomogenní SLR. Matematika 17/34

15 Lineární algebra Soustava lineárních rovnic Statika: nehomogenní soustava 15c + 40h = 100, 25c 50h = 50. Řešení: (c, h) = (4, 1). Chemie: homogenní soustava 7α 7γ = 0, 8α + β 5γ 2δ = 0, β 3γ = 0, 3β 6γ δ = 0. Řešení: ( p 3, p, p 3, p), p R. Matematika 18/34

16 Lineární algebra Soustava lineárních rovnic Soustavou lineárních rovnic v redukovaném (schodovitém) tvaru rozumíme soustavu upravenou pomocí elementárních úprav. Schematicky můžeme redukovanou soustavu zobrazit následovně =, =, + + =, =. Vedoucí prvky ( ) každého řádku se nazývají pivoty. Matematika 19/34

17 Vektory Vektory Veličiny, kterými popisujeme svět kolem nás lze rozdělit do dvou skupin: Skalární veličiny (skaláry) jsou plně určeny jediným číselným údajem udávajícím jejich velikost př. teplota, hmotnost, množství apod. Vektorové veličiny (vektory) k jejich popisu je třeba více čísel v určeném pořadí př. rychlost, síla (velikost a směr), poloha (souřadnice), barevný odstín (souřadnice RGB, CMYK) apod. Matematika 21/34

18 Vektory Vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel v 1, v 2,..., v n v 1 v 2 v =. Rn v n nazveme (reálným) vektorem. Číslo n nazýváme délkou vektoru v a čísla v 1, v 2,..., v n složky vektoru v. Pozn. Vektory se v literatuře někdy zapisují do řádku, tj. v = (v 1, v 2,..., v n ). Dále se místo tučného písmena používá, zejména při psaní rukou, šipka nad písmenem v nebo podtržení v. Matematika 22/34

19 Vektory Operace s vektory Vektory můžeme sčítat (pokud jsou stejné délky) u 1 v 1 u 1 + v 1 u 2 u + v =. + v 2. = u 2 + v 2. u n v n u n + v n násobit číslem, a R, v 1 a v 1 v 2 a v = a. = a v 2. v n a v n kombinovat, a, b R, u, v R n, a u + b v Matematika 23/34

20 Vektory Operace s vektory Matematika 24/34

21 Vektory Speciální vektory Vektor 0 0 o =. 0 nazýváme nulový vektor. Platí pro něj: v+o = v a pro a R: a o = o. Vektor v = 1 v nazveme opačným vektorem k vektoru v. Platí v + ( v) = v v = o. Je-li vektor v sloupcový vektor, pak řádkový vektor v T nazýváme transponovaným vektorem k vektoru v. Matematika 25/34

22 Vektory Skalární součin Pro vektory u = (u 1, u 2,..., u n ) T a v = (v 1, v 2,..., v n ) T definujeme skalární součin u, v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. 3 1 Příklad Skalární součin vektorů u = 7 a v = 5 je roven 2 4 u, v = ( 3) ( 1) ( 2) 4 = = 30. Matematika 26/34

23 Vektory Norma Pro vektor u = (u 1, u 2,..., u n ) T R n definujeme jeho velikost (normu) následovně u = u1 2 + u u2 n = u, u Příklad Velikost vektoru v = ( 1, 5, 4) T je v = ( 1) = = 34 =. 5,83. Matematika 27/34

24 Vektory Lineární (vektorový) prostor Množinu všech n-rozměrných vektorů společně s operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru číslem nazýváme lineární (vektorový) prostor. Lineární prostor V je uzavřený na lineární kombinace svých prvků, tj. pro u, v V, a, b R platí a u + b v V. Podrobněji: pro vektory u, v, w V a skaláry a, b R platí 1 u + v = v + u, 2 (u + v) + w = u + (v + w), 3 nulový vektor: u + o = u, 4 opačný vektor: u + ( u) = o, 5 (a + b) u = a u + b u, 6 a (u + v) = a u + a v, 7 (a b) u = a (b u), 8 jednotka: 1 u = u. Lineární prostor obsahuje lineární kombinace svých prvků, odtud jeho název. Matematika 28/34

25 Vektory Příklady lineárních prostorů Prostor polynomů stupně nejvýše 2 s prvky p(x) = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R př. x 2, 2x + 1, 40x 2 13,... Prostor nekonečných posloupností s prvky {a n } n=1, kde a n značí n-tý člen posloupnosti, { př. 1 } { 2 = 1 n 2, 1 4, 1 8, 1 16,... }, {n} = {1, 2, 3, 4,... }, { ( 1) n 1 n ( 1)n 1} = {1, 1 2, 3, 1 4,... },... Matematika 29/34

26 Vektory Příklady lineárních prostorů Prostor tabulek o dvou řádcích a třech sloupcích s reálnými prvky ( ) a b c, kde a, b, c, d, e, f R d e f ( ) ( ) př. 1, ,, později je budeme nazývat matice typu 2 3 Prostor přímek, které prochází počátkem soustavy souřadnic s prvky y = kx, kde k R př. y = 2x, y = 3,21x, y = 10x, y = 1 5 x,... Matematika 30/34

27 Vektory Lineární kombinace vektorů Necht v 1, v 2,..., v m R n a c 1, c 2,..., c m R. Vektor w = c 1 v 1 + c 2 v c m v m = m c i v i i=1 nazýváme lineární kombinací vektorů v 1, v 2,..., v m. Příklad Vektor w = ( 1, 5, 4) T je lineární kombinací vektorů u = (1, 2, 3) T a v = ( 3, 1, 2) T, protože platí ( 3) 1 2u + v = = = 5 = w ( 2) 4 Matematika 31/34

28 Vektory Lineární nezávislost Řekneme, že vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou lineárně nezávislé, pokud rovnost m c i v i = o i=1 nastane pouze pro c 1 = c 2 = = c m = 0. V opačném případě jsou vektory lineárně závislé. Vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou zcela jistě závislé, když je mezi nimi nulový vektor, jsou mezi nimi alespoň dva vektory stejné, jeden z vektorů je násobkem jiného, m > n. Matematika 32/34

29 Vektory Lineární nezávislost Příklad Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, 2, 3) T, v = ( 3, 1, 2) T, w = ( 1, 5, 4) T lineárně nezávislé. c 1 u + c 2 v + c 3 w = o, c 1 =?, c 2 =?, c 3 =? Když c 1 = c 2 = c 3 = 0, pak jsou vektory lineárně nezávislé. Když alespoň jedno c i je nenulové, pak jsou vektory lineárně závislé c c c 3 5 = Matematika 33/34

30 Vektory Lineární nezávislost R 2 2R R 3 3R R 3 R c 1 3c 2 c 3 = 0 c 2 + c 3 = 0 Řešení ( 2p, p, p), p R. Např. pro p = 1 je 2u v + w = o, tedy vektory jsou lineárně závislé. Matematika 34/34