Soustavy lineárních rovnic

Transkript

1 Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel jirineubauer@unobcz

2 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kde a ij, b i, (i = 1,, m; j = 1,, n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic (ozn S(m, n)) Čísla a ij nazýváme koeficienty soustavy, čísla b i absolutními členy

3 Soustava lineárních rovnic Definice Matice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn se nazývá matice soustavy Matice a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A r = a m1 a m2 a mn b m je rozšířená matice soustavy Vektor x = (x 1,, x n ) se nazývá vektor řešení soustavy a vektor b = (b 1,, b m ) je vektor absolutních členů

4 Soustava lineárních rovnic Pokud x 1 x 2 x =, b = x n pak soustavu S(m, n) můžeme zapsat jako A x = b b 1 b 2 b m Jestliže ponecháme vektory x a b jako řádkové vektory, potom A x T = b T

5 Věta (Frobeniova věta) Soustava lineárních rovnic S(m, n) má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy A se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy A r Věta Nechť soustava lineárních rovnic S(m, n) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých Platí: a) Jestliže h = n, má soustava S(m, n) právě jedno řešení b) Jestliže h < n, má soustava S(m, n) nekonečně mnoho řešení závislých na n h parametrech

6 Věta (Frobeniova věta) Soustava lineárních rovnic S(m, n) má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy A se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy A r Věta Nechť soustava lineárních rovnic S(m, n) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých Platí: a) Jestliže h = n, má soustava S(m, n) právě jedno řešení b) Jestliže h < n, má soustava S(m, n) nekonečně mnoho řešení závislých na n h parametrech

7 Nechť soustava lineárních rovnic S(m, n) má nekonečně mnoho řešení Vztah zahrnující všechna řešení soustavy se nazývá obecné řešení soustavy Dosadíme-li za volné neznámé konkrétní reálná čísla, dostaneme jedno řešení soustavy, které nazýváme partikulární řešení soustavy Partikulární řešení soustavy, ve kterém jsou všechny volné neznáme rovny nule, se nazývá základní řešení soustavy

8 Definice Soustava lineárních rovnic S(m, n) se nazývá homogenní, jestliže platí b 1 = = b m = 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 Homogenní soustavu lineárních rovnic budeme stručně značit S 0 (m, n)

9 Věta Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení Označíme-li h hodnost matice soustavy a n počet neznámých, platí: a) Jestliže h = n, má homogenní soustava jediné řešení x = (0,, 0) b) Jestliže h < n, má soustava nekonečně mnoho řešení závislých n h parametrech Věta Nechť matice A soustavy lineárních rovnic S 0 (m, n) má hodnost h(a) = h < n Obecné řešení soustavy tvoří vektorový prostor dimenze n h, takže báze tohoto prostoru obsahuje n h lineárně nezávislých řešení a všechna ostatní řešení jsou jejich lineárními kombinacemi

10 Věta Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení Označíme-li h hodnost matice soustavy a n počet neznámých, platí: a) Jestliže h = n, má homogenní soustava jediné řešení x = (0,, 0) b) Jestliže h < n, má soustava nekonečně mnoho řešení závislých n h parametrech Věta Nechť matice A soustavy lineárních rovnic S 0 (m, n) má hodnost h(a) = h < n Obecné řešení soustavy tvoří vektorový prostor dimenze n h, takže báze tohoto prostoru obsahuje n h lineárně nezávislých řešení a všechna ostatní řešení jsou jejich lineárními kombinacemi

11 Gaussova eliminační metoda Jordanova metoda úplné eliminace Cramerovo pravidlo Definice Dvě soustavy lineárních rovnic S 1 (m, n) a S 2 (m, n) se stejnými neznámými x 1,, x n se nazývají ekvivalentní, jestliže množina všech řešení soustavy je rovna množině všech řešení soustavy Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic (R1) záměna pořadí rovnic, (R2) násobení libovolné rovnice nenulovým reálným číslem, (R3) přičtení lineární kombinace rovnic soustavy k jiné rovnici soustavy, (R4) vynechání rovnice, která je lineární kombinací jiných rovnic dané soustavy, (R5) záměna pořadí neznámých

12 Gaussova eliminační metoda Jordanova metoda úplné eliminace Cramerovo pravidlo Definice Dvě soustavy lineárních rovnic S 1 (m, n) a S 2 (m, n) se stejnými neznámými x 1,, x n se nazývají ekvivalentní, jestliže množina všech řešení soustavy je rovna množině všech řešení soustavy Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic (R1) záměna pořadí rovnic, (R2) násobení libovolné rovnice nenulovým reálným číslem, (R3) přičtení lineární kombinace rovnic soustavy k jiné rovnici soustavy, (R4) vynechání rovnice, která je lineární kombinací jiných rovnic dané soustavy, (R5) záměna pořadí neznámých

13 Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Jordanova metoda úplné eliminace Cramerovo pravidlo Postup 1 Soustavě lineárních rovnic S(m, n) přiřadíme její rozšířenou matici A r 2 Rozšířenou matici soustavy převedeme ekvivalentními úpravami na trojúhelníkovou matici (matici ve schodovitém tvaru) 3 Rozhodneme o řešitelnosti soustavy a počtu řešení 4 Trojúhelníkové matici (matici ve schodovitém tvaru) přiřadíme soustavu lineárních rovnic ekvivalentní soustavě S(m, n) 5 Vzniklou soustavu lineárních rovnic zdola vyřešíme

14 Jordanova metoda úplné eliminace Gaussova eliminační metoda Jordanova metoda úplné eliminace Cramerovo pravidlo Postup 1 Rozšířenou matici soustavy převedeme na trojúhelníkovou matici 2 V trojúhelníkové matici vynulujeme prvky nad hlavní diagonálou 3 Na hlavní diagonále takto upravené matice vytvoříme pomocí ekvivalentních úprava jedničky 4 Výsledné matici zpětně přiřadíme soustavu, kterou již snadno vyřešíme

15 Cramerovo pravidlo Gaussova eliminační metoda Jordanova metoda úplné eliminace Cramerovo pravidlo Věta Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x 1,, x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Jestliže je matice soustavy A regulární, pak má soustava právě jedno řešení tvaru x j = det A j, j = 1,, n, det A kde A j je matice vzniklá z matice soustavy A výměnou jejího j-tého sloupce sloupcem pravých stran