Kvantová mechanika ve 40 minutách

Transkript

1 Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie

2 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3

3 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3

4 Stavy systému Klasická mechanika Stavovým prostorem je konfigurační nebo fázový prostor. Stav systému je určen hodnotou všech poloh a rychlostí (hybností).

5 Stavy systému Klasická mechanika Stavovým prostorem je konfigurační nebo fázový prostor. Stav systému je určen hodnotou všech poloh a rychlostí (hybností). Kvantová mechanika Stavový prostorem je komplexní Hilbertův prostor H. Stavu systému odpovídá paprsek tj. jednorozměrný podprostor v H. Charakterizujeme ho jako třídu ekvivalence obyčejně jednotkovým vektorem.

6 Pozorovatelné (veličiny) Klasická mechanika Pozorovatelné veličiny jsou reprezentovány funkcemi na stavovém prostoru.

7 Pozorovatelné (veličiny) Klasická mechanika Pozorovatelné veličiny jsou reprezentovány funkcemi na stavovém prostoru. Kvantová mechanika Každé pozorovatelné přísluší jeden samosdružený lineární operátor na H.

8 Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R.

9 Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >.

10 Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >. 3 Stav ϕ po naměření přejde na stav ψ = E λϕ E λ ϕ.

11 Realizace měření Mějme pozorovatelnou A a stav ϕ. 1 Naměřit lze pouze čísla λ σ(a) R. 2 Číslo λ naměříme s pravděpodobností P(ϕ, λ) = (ϕ, E λ ϕ) = E λ ϕ 2 < 0, 1 >. 3 Stav ϕ po naměření přejde na stav 4 Střední hodnota < A > ϕ = ψ = λ σ(a) E λϕ E λ ϕ. λ (ϕ, E λ ϕ) = (ϕ, Aϕ).

12 Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1

13 Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0?

14 Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = i

15 Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = i Nápověda 2: (ϕ, E 0 ϕ) = (ϕ, (ϕ 0, ϕ)ϕ 0 ) = (ϕ, ϕ 0 ) 2.

16 Příklad 1 Mějme stav ϕ = ( ) 3 a pozorovatelnou A = 4 ( ) 1 i. i 1 Jaká je střední hodnota < A > ϕ? Jaká je pravděpodobnost, že naměříme 0? ( ) Nápověda 1: Vlastní vektory jsou ϕ 0 = 1 i 2 a 1 ( ) ϕ 2 = i Nápověda 2: (ϕ, E 0 ϕ) = (ϕ, (ϕ 0, ϕ)ϕ 0 ) = (ϕ, ϕ 0 ) 2. Výsledek: < A > ϕ = 1 a P(ϕ, 1) = 1 2.

17 Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2?

18 Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2? Stav ϕ po naměření A i přejde na stav ψ = E (A i ) λ ϕ E (A i ) λ ϕ.

19 Kompatibilní pozorovatelné Mějme nyní pozorovatelné A 1 a A 2. Kdy neovlivní měření A 1 výsledek měření A 2? Stav ϕ po naměření A i přejde na stav ψ = E (A i ) λ ϕ E (A i ) λ ϕ. Musí být jedno, v jakém pořadí je měřím. [E (A 1) t, E (A 2) t ] = 0 [A 1, A 2 ] = 0.

20 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3

21 Definice Máme-li vektor, charakterizovaný vlastností k zapisujeme ho k a říkáme mu ket. Pomocí tohoto vektoru a skalárního součinu zkonstruujeme funkcionál (bra) k. Teď dává smysl bra-ket. k l := ( k, l ).

22 Bra-ketová gymnastika S bra-kety lze snadno pracovat, aniž člověk musí příliš přemýšlet, co dělá. Projektor na { ϕ } lin : Relace úplnosti pro bázi { n }: E ϕ = ϕ ϕ. 1 = n n. n=1

23 Stavový prostor více částic Mějme 2 částice, každá se stavovým prostorem H i. Stavový prostor systému dvou částic je H 1 H 2. Vektory jsou lineární kombinací objektů ϕ 1 ψ 2 =: ϕ 1 ψ 2 = ϕ, ψ

24 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice kvantové 2 3

25 Pauliho matice σ 1 := Vlastnosti: ( ) 0 1, σ := ( ) 0 i i 0 1 σ j = σ j, det σ j = 1 a Tr σ j = 0. 2 Spolu s 1 tvoří bázi C 2. a σ 3 := ( ) σ j σ k = δ jk 1 + iɛ jkl σ l. 4 [ 1 2 σ j, 1 ] 2 σ 1 k = iɛ jkl 2 σ l

26 Měření spinu Mám-li elektron, a zajímá-li mě pouze jeho spin, je pro mě důležitý H = C 2. Měříme projekci spinu ( ± 1 2) do jedné z os (nejčastěji osa z = x 3 ) pomocí operátorů S i. S i = 1 2 σ i. S i nejsou kompatibilní pozorovatelné, protože [S j, S k ] = iɛ jkl S l.

27 Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( ).

28 Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( ). Změřme spin na první částici. A naměřme třeba Jak se změní stav ψ? ( ( ψ E ) ψ = 2 ( ) = Do tohoto stavu přejde systém okamžitě! ) ( ) ( ) = 1 0.

29 Entanglement Mějme dvoučásticový stav ψ = 1 2 ( ). Změřme spin na první částici. A naměřme třeba Jak se změní stav ψ? ( ( ψ E ) ψ = 2 ( ) = Do tohoto stavu přejde systém okamžitě! ) ( ) ( ) = 1 0. Pokud se nyní pokusíme měřit spin na druhé částici, 100% naměříme spin 1 2.

30 No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici.

31 No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici. Neexistuje lineární operátor U s vlastností a, X H U( a X ) = a a.

32 No-clone teorém Ve kvantové mechanice nejde naklonovat částici. Neexistuje lineární operátor U s vlastností a, X H U( a X ) = a a. Selže to kvůli linearitě U.

33 Děkuji za pozornost.