Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Transkript

1 Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x, E y, E z tak, že platí: OE x OE y OE z OE x OE x = OE y = OE z = 1 Obrázek 1: Pravotočivá soustava Obrázek 2: Levotočivá soustava 1

2 Vzdálenost dvou bodů (Pythagorova věta) Geometrický vektor vázaný orientovaná úsečka AB volný každý vektor a stejně velký, stejně orientovaný a rovnoběžný s AB Operace s geometrickými vektory Součet vektorů: a + b Platí: 1. u + v = v + u 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 3. o V (nulový vektor) tak, že o + u = u nulový vektor AA, BB, u V ( u ) V tak, že u + ( u ) = o opačný vektor k vektoru AB je BA 2

3 Rozdíl vektorů: a b Násobení vektoru číslem: c a = (ca 1, ca 2, ca 3 ) Platí: 1. a( u + v ) = a v + a u 2. (a + b) u = a u + b u 3. b(a u ) = (ba) u 4. 1 u = u, kde 1 je jednotkový prvek z T. Kolineární vektory (rovnoběžné): existuje c takové, že a = c b nebo b = c a Souřadnice vektoru Souřadnicové vektory e1 = OE x = (1, 0, 0) e2 = OE y = (0, 1, 0) e3 = OE z = (0, 0, 1) polohový vektor bodu X x = OX = (x1, x 2, x 3 ) 3

4 a + u = b u = AB = b a = = (b 1, b 2, b 3 ) (a 1, a 2, a 3 ) = = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) Aritmetický vektor x = x1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 x = (x1, x 2, x 3 )... aritmetické vyjádření souřadnic vektoru Nerozlišujeme mezi geometrickými vektory a aritmetickými vyjádřeními jejich souřadnic. Součet vektorů: (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) Opět platí: 1. u + v = v + u 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 3. o V (nulový vektor) tak, že o + u = u 4. u V ( u ) V tak, že u + ( u ) = o Rozdíl vektorů: (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = = (x 1 y 1, x 2 y 2, x 3 y 3 ) 4

5 Násobení vektoru číslem: c (x 1, x 2, x 3 ) = (cx 1, cx 2, cx 3 ) Opět platí: 1. a( u + v ) = a v + a u 2. (a + b) u = a u + b u 3. b(a u ) = (ba) u 4. 1 u = u, kde 1 je jednotkový prvek z T. Velikost vektoru x = p x x2 2 + x2 3 AB = p (b1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2 Jednotkový vektor: u = 1 5

6 Eukleidovský prostor 6

7 Lineární kombinace vektorů, lineární závislost Definice: Nechť u 1,..., u n jsou vektory v E n. Řekneme, že vektor v je lineární kombinací vektorů u1,..., u n jestliže existují čísla λ 1,..., λ n tak, že v = λ1 u1 + λ 2 u λ n un = nx λ iui. i=1 Příklad: Jsou dány vektory u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0). Napište vektor, který bude jejich lineární kombinací. Definice: Vektory v 1,..., v n jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory v 1,..., v n jsou lineárně nezávislé, jestliže nejsou lineárně závislé tj. žádný z nich nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. 7

8 Příklad: Jsou dány vektory a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 1). Napište vektor, který je lineárně závislý s vektory a, b. Příklad: Zjistěte, zda vektory u, v a w jsou lineárně závislé. 1. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (1, 2, 0). 2. u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 3). 8

9 Platí: Lineární kombinace vektorů, lineární závislost 1. Dva vektory u, v jsou LZ, když u = c v (jeden je násobkem druhého). Mohu je umístit na jednu přímku - jsou kolineární. 2. Tři vektory u, v, w jsou LZ, když jeden z nich (např. u ) mohu vyjádřit u = k v + l w. Mohu je umístit do jedné roviny - jsou komplanární. Kolik v rovině (E 2 ) existuje maximálně LN vektorů? Kolik v prostoru (E 3 ) existuje maximálně LN vektorů? Vektory 0 u, v, w napíšeme 1 do matice A. u 1 u 2 u 3 A v 1 v 2 v 3 A. w 1 w 2 w 3 Co znamená že vektory u, v, w jsou LZ? Mohu jeden řádek (vektor) napsat jako lin. kombinaci ostatních = 1. hodnost matice je menší než n (počet vektorů) 2. det A = 0 (čtvercová matice) 9

10 Báze, dimenze Definice: Báze vektorového (Euklidovského) prostoru je množina vektorů u 1,..., u n, pro kterou platí: 1. u1,..., u n jsou LN 2. Každý další vektor v z tohoto prostoru můžeme vyjádřit jako lin. kombinaci vektorů u 1,..., u n Definice: Dimenze vektorového (tj. i Euklidovského) prostoru je počet vektorů báze. (neboli max počet lin. nezávislých vektorů). Ortogonální báze vektory báze jsou kolmé. Ortonormální báze vektory báze jsou kolmé a jednotkové. V E 3 tvoří bázi každé tři LN vektory Speciální případ báze v E 3 (tu používáme) e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) Souřadnice vektoru jsou koeficienty lineární kombinace vektorů e 1, e 2, e 3. např. ( 5, 2, 3) = 5 e e e 3 10

11 Skalární součin Definice: Skalární součin vektorů x y je reálné číslo a platí: a) jestliže x = o nebo y = o pak x y = 0, b) jestliže x o a y o pak x y = x y cos ϕ, kde ϕ je odchylka polopřímek určených vektory x, y (ϕ < 0 ; 180 >). Platí: 1. x y = y x 2. ( x + y ) z = x z + y z 3. x y = x1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = P 3 i=1 x iy i 4. pokud x o a y o pak x y = 0, právě když x y (ϕ = 90 o ) Geometrický význam: x y = x y cos ϕ Jestliže y = 1 pak x y = x cos ϕ r x = cos ϕ r = x cos ϕ Pokud je y jednotkový vektor, pak skalární součin x y je velikost pravoúhlého průmětu vektoru x na přímku určenou vektorem y. 11

12 Příklad: Najděte jednotkový vektor u, který je kolmý k vektorům a = (1, 2, 0) a b = (0, 3, 0). (pomocí skalárního součinu) Definice: Směrové kosiny vektoru u jsou kosiny úhlů α i, které svírá vektor u s vektory báze e i, i = 1, 2, 3. e1 u = ei u = Příklad: Určete velikost pravoúhlého průmětu vektoru a = (1, 0, 0) do vektoru b = (3, 4, 0). 12

13 Vektorový součin Definice: Vektorový součin vektorů x y je vektor z a platí: a) pro x, y kolineární je x y = o jinak x y = x y sin ϕ, kde ϕ je odchylka vektorů x, y. b) z = x y je kolmý k vektorům x, y. c) vektory x, y, z tvoří pravotočivý systém (v pravotočivé bázi). Platí: 1. x y = ( y x ) 2. x x = o 3. e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2 4. x x y = 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x1 x 2 y 1 y 2 5. x ( y + z ) = x y + x z 6. x y... obsah rovnoběžníka «Příklad: Najděte jednotkový vektor u, který je kolmý k vektorům a = (1, 2, 0) a b = (0, 3, 0). (pomocí vektorového součinu) 13

14 Smíšený součin Definice: Smíšený součin (vnější) vektorů je číslo ( x, y, z ) = x ( y x 1 x 2 x 3 z ) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 Platí: 1. Vyjadřuje objem V rovnoběžnostěnu určeného vektory x, y, z, objem čtyřstěnu je 1 6 V 2. ( x, y, z ) = ( z, x, y ) = ( y, z, x ) = ( y, x, z ) 3. ( e 1, e 2, e 3 ) = 1 4. ( x, y, z ) = ( x y ) z Příklad: Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. A = [2, 4, 5], B = [1, 0, 0], C = [0, 2, 0], D = [0, 0, 3]. 14