Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
|
|
- Květoslava Hrušková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem, býti studentem určitého ročníku, mít stejný datum narození a samozřejmě i vysloveně matematicky formulované vztahy jako býti větší než, býti podmnožinou, býti dělitelem atd. Přejděme k definici pojmu binární relace. Definice. Za binární relaci mezi množinami A a B budeme považovat každou podmnožinu kartézského součinu množin A B. Binární relací na množině A budeme rozumět každou podmnožinu kartézského součinu množin A A. Relace mezi množinami A a B může být i prázdná podmnožina nebo množina A B. Skutečnost, že dva prvky a, b jsou v relaci R A B, tj. (a, b) R budem obvykle vyjadřovat zápisem a R b. V dalším budeme místo slovo binární vynechávat a místo binární relace budeme říkat krátce jen relace. Poznamenejme také, že každé zobrazení f množiny A do množiny B je relace. Dvojice prvků a A a b B jsou v relaci f, právě tehdy, když je f(a) = b. Zobrazení je speciální případ relace. Aby relace R byla zobrazení musí platit: je li a R b a a R c, potom je nutně b = c. S relacemi můžeme provádět veškeré operace, které umíme dělat s množinami. Zavádíme i pojem podrelace. Relace S je podrelací relace R, je lis R. Jsou li R a S relace mezi A a B, pak jsou relacemi mezi A a B i množiny R S a R S. Doplnkěm relace R je relace (A B) \ R. Naříklad pro relace býti menší, býti menší nebo rovno a býti rovno na množině R platí, že býti menší je podrelací býti menší nebo rovno a býti menší nebo rovno je sjednocením relací býti menší a rovno. Ke každé relaci R mezi množinami A a B můžeme definovat inverzní relaci R 1 mezi množinami B a A takto: b R 1 a, právě tehdy, když je a R b. Uvědomme si, že z toho že relace R je zobrazení, neplyne, že relace R musí také být zobrazení. Uvažujme například zobrazení S z množiny všech reálných čísel R do R definované a S b b = a 2. Relace S 1 není zobrazení, protože je například dvojice (1, 1) a ( 1, 1) jsou obě v relaci S 1. Lze a je účelné definovat i skládání relací. Je li R A B a S B C definujeme relaci R S mezi množnami A a C takto: a R S c, právě tehdy, když existuje prvek b B takový, že je a R b a b S c. Skládaní relací je asociativní, tj. je li R A B, S B C a T C D, pak je R (S T ) = (R S) T. Skládání relací ale není komutativní, tj. nemusí platit rovnost R S = S R i když je složení v obou případech definováno. Například pokud relace R je býti sourozencem (bratrem nebo sestrou) a relace S je býti potomkem (synem nebo dcerou), je relace R S rovna R a relace S R je býti synovcem nebo neteří. Samozřejmě pokud pro všechna a, b platí: a R b b R a a a S b b S a, je R S = S R. Vidíme, že je asi vhodné zkoumat i další vlastnosti relací na množinách a jejich vztahy.
2 2 Vlastnosti relací na množině Definice. Řekneme, že relace R na množině A je 1) reflexivní, jestliže pro všechna a A platí: a R a; 2) symetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b, pak je b R a; 3) antisymetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b a b R a, pak je a = b; 4) tranzitivní, jestliže pro všechna a, b, c A platí: je li a R b a b R c, pak je nutně a R c. Uveďme si některé příklady. Relace na množině R všech reálných čísel je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická a není symetrická. Relace < na množině R není reflexivní, není symetrická a je tranzitivní a antisymetrická. Relace = na množině R je reflexivní, symetrická, tranzitivní i antisymetrická. Definujeme li na množině R relaci R předpisem x R y, právě tehdy, je li x y 1, pak máme reflexivní a symetrickou relaci, která není tranzitivní. Je li R relace na množině A, pak lze přirozeným způsobem definovat relaci na kartézském součinu A n = A A předpisem (a 1, a 2,..., a n ) R n (b 1, b 2,..., b n ), právě tehdy, když je a i R b i, pro všechna i {1, 2,..., n}. Takto definovaná relace se nazývá kartézskou mocninou relace R nebo relací indukovanou relací R. Často se pro relaci na množině a relaci indukovanou touto relací na kartézské mocnině množiny používá tentýž symbol. Ukažte, že se výše uvedené vlastnosti relací zachovávají při kartézském umocňování relací. Ekvivalence Definice. Řekneme, že relace R na množině A je ekvivalence, je li reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence představují velmi významný příklad relací a jsou studovány nejen v matematice, ale i všech ostatních vědách. Každá ekvivalence na množině A rozdělí množinu A na systém disjunktních podmnožin, které nazýváme třídy ekvivalence. Je li R evivalence na množině A, pak pro každý prvek a A určuje jednoznačně podmnožinu A[a] = {x A; a R x} množiny A. Přitom dva prvky a, b A určují tutéž podmnožinu, tj. je A[a] = A[b], právě tehdy, je li a R b. Je zcela evidentní, že {A[a]; a A} = A a A[a] A[b] = pro a b. Platí také opačné tvrzení. Je li množina A sjednocením disjunktních podmnožin, tj. A = {A i ; i I} a A i A j = pro i j, pak relace R definovaná předpisem a R b právě tehdy, existuje li i I, takové, že a A i a b A i je ekvivalence na množině A. Na každé množině A je možno definovat dvě triviální ekvivalence. První je identita definovaná vztahem id A = {(a, a); a A}, při které nejsou žádné dva různé prvky ekvivalentní. Druhá triviální relace je relace A A, která dává všechny prvky do jedné třídy, tedy každé dva prvky množiny A jsou ekvivalentní. Uveďme si nějaké netriviální příklady ekvivalencí. Na množině Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } všech celých čísel definujme relaci R předpisem: m R n právě tehdy, když je číslo m n sudé, tj. m n {0, ±2, ±4 ± 6,... }. Ukažte, že tato relace je skutečně reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obdobně lze definovat pro každé přirozené číslo p na množině Z ekvivalenci R(p) předpisem: m R(p) n právě tehdy, když je číslo m n je násobkem čísla p, tj. m n = t p pro nějaké číslo t Z. Dále budeme relace R(p) označovat symbolem p a budeme říkat, že celá čísla m a n jsou ekvivalentní modulo p, je li m p n. Nechť M je konečná množina. Na množině P (M) všech podmnožin množiny M definujme relaci R takto: pro A M, B M je A R B právě tehdy, když mají obě podmnožiny
3 A a B stejný počet prvků. Ukažte, že takto definovaná relace je ekvivalence na množině P (M). Nechť M je množina všech výrokových formulí vytvořených z nějaké množiny výroků. Na této množině definujme relaci R takto: řekneme, že formule α a β jsou v relaci R právě tehdy, je li formule α β tautologií. Opět snadno ověříte, že má daná relace vlastnosti ekvivalence. Uspořádání Další velmi významný příklad relací jsou tzv. relace uspořádání, nazývané též někde částečné uspořádání. Definice. Řekneme, že relace R na množině A je uspořádání (částečné uspořádání), je li R reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace. Množinu A na které je definována relace uspořádání pak nazýváme uspořádanou množinou. Relace uspořádání budeme obvykle značit symboly nebo. Symbolem a < b resp. a > b budeme označovat skutečnost, že a b a a b resp. a b a a b. Relace < a > již nejsou relace uspořádání. Přesto se někdy se tyto relace nazývají ostré uspořádání. Říkáme, že dva prvky a a b z uspořádaná množiny (A, ) jsou srovnatelné, jestliže je a b nebo b a a že jsou nesrovnatelné, jestliže není ani a b ani b a. Uspořádaná množina (A, ) se nazývá úplně uspořádanou množinou, nebo řetězcem, jestliže každé dva její dva prvky jsou srovnatelné, tj. je a b nebo b a. Ověřte si, že inverzní relace k uspořádání je také uspořádání. Jako příklady úplně uspořádaných množin lze uvést množinu R všech reálných čísel, množinu Z všech celých čísel a množinu N všech přirozených čísel vzhledem ke známému přirozenému uspořádání. Jako příklad uspořádané množiny, která není úplně uspořádáná, můžeme uvést množinu uspořádanou množinu (P (M), ) všech podmnožin (včetně prázdné podmnožiny ) nějaké alespoň dvouprvkové množiny M, kde A B (pro A, B P (M)) znamená, že každý prvek z množiny A je nutně i prvkem množiny B. Jsou li a a b dva různé prvky z M, pak jednoprvkové podmnožiny {a} a {b} množiny M jsou dva nesrovnatelné prvky v uspořádané množině (P (M), ). Dalším příkladem uspořádané množiny, která není úplně uspořádanou množinou, je množina všech přirozených čísel N na které je definován relace R na základě dělitelnosti čísel, tj. m R n právě tehdy, když existuje číslo t N tak, že je n = m t. Ověřte, že takto definovaná relace je skutečně reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Je zřejmé, že je li (A, ) uspořádaná množina, pak (A n, ), kde na A n je relace indukovaná uspořádáním na A, je opět uspořádanou množinou. Je li (A, ) úplně uspořádaná množina, pak ale (A n, ) nemusí být úplně uspořádanou množinou a také jí není pokud množina A má alespoň dva prvky. Když ale například na množině A A definujeme relaci R předpisem (a 1, a 2 ) R (b 1, b 2 ), právě tehdy, jesliže je a 1 < b 1 nebo je a 1 = b 1 a zároveň a 2 b 2, pak relace R je úplné uspořádání. Ověřte si to. Takto definované relaci se říká lexikografické uspořádání. Pojem lexikografického uspořádání ještě zobecníme. Inspirujeme se při tom obecně známým postupem při kterém vytváříme různé abecedně řazené seznamy. Mějme konečnou uspořádanou množina (A, ), kterou můžeme nazývat abeceda. Označme S(A) množinu všech konečných posloupností prvků z A, tj. S(A) = A A 2 A 3 = A i. Prvky této množinu můžeme nazývat slova i N nad abecedou A). A na této množině budeme definovat tzv. lexikografické uspořádání. 3
4 4 Definice. Nechť (A, ) je konečná uspořádaná množina. Lexikografickým uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) nazveme relaci definovanou takto: (x 1, x 2,..., x r ) (y 1, y 2,..., y s ), právě tehdy,když nastává jedna z následujících dvou možností: existuje k r takové, že je x i = y i pro všechna i < k a je x k < y k nebo je r s a je x i = y i pro všechna i r. Věta. Lexikografické uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) je uspořádání. Pokud je navíc (A, ) úplně uspořádaná množina, je i lexikografické uspořádání úplným uspořádáním na množině S(A). Ukažme si alespoň jeden příklad. Nechť A = {a, b, c, d,..., z} je množina všech 26 písmen mezinárodní abecedy, která je abecedně uspořádána, tj. je a < b < c < z. V lexikograficky uspořádané množině slov S(A) pak platí: hora horakova, hora vlk, horak horal apod. Pokud bychom chtěli rozlišovat příjmení a jméno a chtěli, aby v lexikografickém uspořádání platilo, že hora milan horak jan (uvědomme si, že je horakjan horamilan), musíme do abecedy přidat ještě jeden znak, např a rozšířit definici relace < na množině A = {a, b, c, d,..., z} { } takto: < a < b < c < z. Potom bude v S(A) platit hora milan horak jan. Uveďme si ještě několik pojmů, které jsou pro studium uspořádaných množin důležité. Definice. Nechť (A, ) je uspořádaná množina. Řekneme, že 1) prvek a je minimálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x < a; 2) prvek a je maximálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x > a; 3) prvek a je nejmenším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je a x pro každý prvek x A; 4) prvek a je největším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je x a pro každý prvek x A; 5) prvek a je pokrýván prvkem b (nebo, že prvek b pokrývá prvek a), jestliže je a < b a neexistuje prvek x A takový, že a < x a x < b. Nejmenší prvek uspořádané množiny budeme obvykle zančit symbolem 0 a největší prvek symbolem 1. Je zřejmé, že nejmenší prvek množiny je minimálním prvkem a největší prvek je maximálním prvkem. Samozřejmě existují uspořádané množiny, které nemají ani minimální ani maximální prvky, např. množina R všech reálných čísel. Na druhou stranu každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden maximální a alespoň jeden minimální prvek. Skutečnost, že prvkek a je pokrýván prvkem b budeme vyjadřovat symbolem a b. Relaci budeme nazývat pokrýváním. Uspořádané konečné množiny, a to zejména ty, které nemají moc prvků, si pro větší názornost můžeme zobrazovat v tzv. diagramech uspořádaných množin. Na těchto diagramech budeme obvykle prvky zobrazovat jako kolečka (dutá nebo plná) a dále budeme znázorňovat pouze relaci pokrytí a vždy platí, že prvek a je pokrýván prvkem b, právě tehdy, když je prvek b zobrazen nad prvkem a oba prvky jsou spojeny usečkou. Z tranzitivity relace uspořádání plyne, že x < y poznáme na diagramu tak, že prvek y je zobrazen nad prvkem x a prvky jsou spojeny čarou, která se skládá z jedné či více úseček. Na Obr. 1 jsou uvedeny příklady diagramů uspořádaných množin.
5 5 Obr. 1: Diagramy uspořádaných množin Svazy V této části si uvedeme základní informace o uspořádaných množinách, které mají další speciální vlastnosti a které budeme nazývat svazy. Nechť (A, ) je uspořádaná množina a M A podmnožina množiny A. Řekneme, že prvek c A je supremum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je m c a prvek c je nejmenší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je m x pro všechny prvky m M, pak je c x. Duálně definujeme, že prvek c A je infimum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je c m a prvek c je největnší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je x m pro všechny prvky m M, pak je x m. Skutečnost, že prvek m je supremum nebo infimum množiny M označujeme symbolem c = sup M resp. c = inf M. Nyní si již můžeme říci, které uspořádané množiny budem nazývat svazy. Definice. Řekneme, že neprázdná uspořádaná množina (L, ) je svaz, jestliže pro každé dva prvky a, b L existuje sup {a, b} a inf {a, b} v (L, ). Za podsvaz svazu (L, ) budeme považovat každou neprázdnou podmnožinu P množiny L, která má tu vlastnost, že s každými dvěma prvky obsahuje i jejich supremumu a infimum, tj. platí, že sup {a, b} P a inf {a, b} P pro každé a, b P. Poznámka. Lze poměrně velmi snadno ukázat, že pokud existuje supremum (nebo infimum) každé dvouprvkové podmnožiny, pake existuje supremum (nebo infimum) i pro každou konečnou podmnožinu. Důsledkem toho je, že každý konečný svaz má největší a nejmenší prvek. Je evidentní, že každý podsvaz P svazu (L, ) je svazem vyhledem ke stejné relaci uspořádání. Triviálními případy podsvazu jsou celý svaz P = L a jednoprvkové podsvazy P = {a} pro libovolný prvek a L. Dále je ihned zřejmé, že pokud jsou prvky a a b srovnatelné v uspořádané množině (A, ), pak je vždy existuje infimum i supremum pomnožiny {a, b}. Navíc platí, že každá dvě tvrzení ze tří tvrzení a b, inf {a, b} = a a sup {a, b} = b jsou navzájem ekvivalentní. Věta. Nechť je uspořádaná množina (L, ) svaz. Pro každé dva prvky a, b L označme inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b. Potom pro každé tři prvky a, b, c L platí: (1) a a = a, a a = a; (2) a b = b a, a b = b a; (3) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) a (a b) = a, a (a b) = a. Naopak nechť jsou na množině L definovány dvě binární operace a, které splňují zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4). Na množině L definujme relaci vztahem a b, právě tehdy, když je a b = a. Takto definovaná relace je uspořádáním na L a (L, ) je svaz, ve kterém platí: inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b.
6 6 Poznámka. Binární operace se nazývá průsek, binární operace se nazývá spojení. Zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4) se postupně nazývají idempotentní, komutativní, asociativní a absorbční. Na Obr. 2 jsou uvedeny diagramy všech možných svazů na jednoprvkové, dvouprvkové, tříprvkové a čtyřprvkové množině (dva svazy). Obr. 2: Svazy na maximálně čtyřprvkové množině Je velmi snadné ukázat, že v každém svazu (L,, ) platí následující vztahy: a a b, a b a, a b a c d implikuje a c b d a a c b d, a b a c b implikuje a c b a a b a a c implikuje a b c, a (b c) (a b) (a c), (a b) (a c) (a (b c). V některých svazech platí i některé další identity či vztahy. Příkladem takových svazů jsou. tzv. distributivní svazy a komplementární svazy. Uveďme si definici a ukažme některé zajímavé vlastnosti. Definice. Řekneme, že svaz (L,, ) je distributivní, jestliže pro libovolné tři prvky a, b, c L platí: a (b c) = (a b) (a c) a (a b) (a c) = (a (b c). Poznámka. Identity, které musí splňovat distributivní svazy se nazývají distributivní zákony. Je možno ukázat (pokuste se o to) že platí li v nějakém svazu jeden z distributivních zákonů, pak v něm platí i druhý. jsou možné i jiné ekvivalentní definice. Ukažme si dvě vlastnosti distributivních svazů, které by mohly být považovány i definici distributivních svazů. Připomeňme, že podsvazem svazu (L,, ) se rozumí každá neprázdná podmnožina M L pro kterou platí: jsou li a, b M, pak i a b M a a b M. Je zřejmé, že v tomto případě je (M,, ) opět svaz. Věta. Následující tvrzení jsou pro svaz (L,, ) ekvivalentní: a) (L,, ) je distributivní svaz; b) pro každé tři prvky a, b, c L platí: je li a b = a c a a b = a c, pak je b = c; c) svaz (L,, ) neobsahuje jako podsvaz ani jeden ze svazů uvedených na Obr. 3. Obr. 3: Nedistributivní svazy
7 Nejmenší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 0 a největší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 1. Svaz (L,, ) s největším a nejmenším prvkem budeme dále obvykle označovat (L,,, 0, 1). Definice. Řekneme, že svaz (L,,, 0, 1) je komplementární, jestliže ke každému prvku a L existuje prvek a L takový, že je a a = 0 a a a = 1. Distributivní a komplementární svaz, který má alespoň dva prvky, budeme nazývat Booleovou algebrou. Poznámka. Zobrazení a a je unární operace na množině L a proto budeme svazy s největším a nejmenším prvkem obvykle značit (L,,, 0, 1, ). Je zřejmé, že 0 = 1, 1 = 0 a (a ) = a. Pokud je komplementární svaz distributivní (tedy Booleova algebra), platí v něm i tzv. de Morganovy zákony, tj. pro každé dva prvky a, b L je (a b) = a b a (a b) = a b. Poznámka. Jsou li L 1, L 2,..., L n svazy, pak jejich kartézský součin L 1 L 2 L n je opět svaz. Pro operace průsek a spojení v tomto svazu platí, že (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ), (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n mají nejmenší prvky 0 1, 0 2,... 0 n, případně největší prvky 1 1, 1 2,... 1 n. nebo jsou komplementární, potom také svaz L 1 L 2 L n má nejmenší prvek 0 = (0 1, 0 2,... 0 n ), případně největší prvek = (1 1, 1 2,... 1 n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n jsou komplementární resp. distributivní, potom je i svaz L 1 L 2 L n komplementární resp. distributivní. Speciálně z toho plyne, že kartézský součin Booleových algeber je opět Booleova algebra. Příklady k procvičení 1) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z všech celých čísel definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y = 2 a x S y právě tehdy, je li x y = 2? 2) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y {0, 2, 4,... } (tj. x y je sudé číslo) a x S y právě tehdy, je li x y = {0, 2, 4,... } (tj. x y je liché číslo? 3) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z Z definované vztahy (a, b) R (c, d) právě tehdy, když a c a b d a (a, b) S (c, d) právě tehdy, když a + b c + d? Jaký je mezi nimi vztah? 4) Na množině M = {(x, y); x Z, y Z, y 0} definujeme relaci R předpisem (m, n) R (p, q)právě tehdy, je li m q = n p. Jaké vlastnosti má a co popisuje tato relace? 5) Jaké vztahy platí mezi relacemi mod(3), mod(5) a mod(15)? 6) Určete průnik relací mod(6), mod(8) a mod(10)? 7) Na následujícím obrázku Obr. 4 jsou zobrazeny diagramy uspořádaných množin A, B, C a D. Které z těchto uspořádaných množin jsou svazy? Které ze svazů jsou distributivní a které komplementární? Výsledky 1) Relace R je pouze symetrická, relace S je symetrická a reflexivní. 2) Relace R je reflexivní, symetrická a tranzitivní (tj. je ekvivalence), relace S je pouze symetrická. 3) Relace R je uspořádání, relace S je reflexivní a tranzitivní. 7
8 8 A B C D Obr. 4: Uspořádané množiny A, B, C, D 4) Relace R je ekvivalence na množině M a (m, n) R (p, q) popisuje rovnost dvou racionálních čísel m n a p q. 5) mod(3) mod(5) = mod(15). 6) mod(6) mod(8) mod(10) = mod(60). 7) Uspořádané množiny A, C a D jsou svazy, B svaz není. Distributivní svazy jsou svazy A a C. Komplementární svaz je pouze svaz D.
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceOproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
Víceprůniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry
BOOLEOVY ALGEBRY Připomeňme si, že za Booleovu algebru považujeme každou algebru (B,,, 0, 1, ) s neprázdnou množinou B, binárními operacemi průsek, spojení, s prvky 0, 1 B a unární operací komplement,
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry
S Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 31. 3. 2008 O Uspořádané množiny Množinová a booleovská (Booleova) algebra
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceMatematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry
Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 31. 3. 2008 O Uspořádané množiny Q Množinová a booleovská (Booleova) algebra
VíceDefinice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.
Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMnožina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
Vícemnožinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceBooleova algebra Luboš Štěpánek
Booleova algebra Luboš Štěpánek Úvod Booleovaalgebra(čti búlova ),nazvanápodleirskéhomatematikaalogikageorge Boolea(1815 1864), je užitečná v mnoha matematických disciplínách a má velmi široké uplatnění
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
Více2.4. Relace typu uspořádání
Markl: 2.4.Relace typu uspořádání /ras24.doc/ Strana 1 2.4. Relace typu uspořádání Definice 2.4.1: na množině X je /částečné a neostré/ uspořádání, jestliže je současně refl exivní, antisymetrická a tranzitivní.
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceEkvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceRelace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace
Relace 1. Nechť A = {n N; n < 10}, B = {m N; m 12}, R = {[m, n] A B; m + 1 = n}, S = {[m, n] A B; m 2 = n}. Zapište relace R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace R R, S S,
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceMnožiny. Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky.
Množiny Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky. Množiny označujeme velkými písmeny např. A, B, N, R.. Množinu lze určit a) výčtem
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceZáklady teorie množin
Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceAlgebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita
Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Více