Relace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace

Transkript

1 Relace 1. Nechť A = {n N; n < 10}, B = {m N; m 12}, R = {[m, n] A B; m + 1 = n}, S = {[m, n] A B; m 2 = n}. Zapište relace R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace R R, S S, R S, S R. 2. Nechť R = {[x, y] R 2 ; y = 2x}, S = {[x, y] R 2 ; x 2 = y}, T = {[x, y] R 2 ; y = x}. Sestrojte kartézské grafy relací R, S, T. Určete relace R S, S R, S T, R T, T R, T S. Sestrojte kartézské grafy relací R S, S R, S T, R T, T R, T S. 3. Jsou dány relace: R = {[1, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 1], [2, 2]}, S = {[2, 1], [2, 2], [2, 3], [3, 1], [3, 2], [4, 1]. Určete: R S, S R, R 1, S 1, R 1 S 1, (R S) 1, (S R) Na množině M = {1, 2, 3, 4} určete vyjmenovaním relaci, která je symetrická, reflexivní, ale není tranzitivní. 5. Na množine M = {1, 2, 3} určete vyjmenovaním relaci, která je reflexivní a tranzitivní, ale není symetrická. 6. Na množině M = {1, 2, 3, 4} určete vyjmenovaním relaci, která je tranzitivní, ale není reflexivní, ani ireflexivní. 7. Na množině M = {1, 2, 3, 4} určete vyjmenovaním relaci, která je tranzitivní, ale není symetrická, ani antisymetrická. 8. Najděte konkrétní relace R, S 1, S 2 pro které uvedená rovnost platí a je-li to možné, najděte i relace R, S 1, S 2 pro které uvedená rovnost neplatí. (a) R (S 1 S 2 ) = R S 1 R S 2 (b) (S 1 S 2 ) R = S 1 R S 2 R (c) R S 1 \ R S 2 = R (S 1 \ S 2 ) 9. Načrtněte grafy relací: (a) R = {[x, y] R 2 ; 1 x + y 5} (b) S = {[x, y] R 2 ; 4 x 2 + y 2 16} (c) R = {[x, y] R 2 ; x + y 3} 10. Na množině reálných čísel je dána relace T následovně: xt y x y 0. Zjistěte, kterou z uveděných vlastností má relace T : reflexivní, symetrická, tranzitivní. 1

2 11. Na množině reálných čísel je dána relace T následovně: xt y x y = x y. Zjistěte, kterou z uveděných vlastností má relace T : reflexivní, symetrická, tranzitivní. 12. Určete vyjmenovaním relaci: R = {[x, y] Z 2 ; x 2 + y + 1 = 5} 13. Určete první a druhý obor relace: (a) R = {[x, y] R 2 ; x 2 2x + y 2 + xy = 20} (b) S = {[x, y] Z 2 ; xy + 3x + y 2 + 6y + 9 = 5} (c) R = {[x, y] Z 2 ; x + 1 > y > x 2 + 2x 1} 14. Relace je cyklická, ak arb a brc implikuje cra. Dokažte, že relace je reflexivní a cyklická je reflexivní, symetrická a tranzitivní. 2

3 Zobrazení 1. Rozhodněte, které z následujících relací jsou zobrazení: (a) R = {[x, y] R 2 ; x + y = 1} (b) S = {[x, y] R 2 ; x + y = 1} (c) R = {[x, y] Z 2 ; x + y = 1} 2. Nechť f je zobrazení dané předpisem y = x 2 1. Určete f( 1, 2)), f( 1, 1 ), f(r), f 1 ( 1, 1 ), f 1 ( 0, 2 ) 3. Nechť f je zobrazení A do B a A 1, A 2 A, B 1, B 2 B. Najděte konkrétní zobrazení f a množiny A 1, A 2 pro které uvedená rovnost platí a je-li to možné najděte i zobrazení f a množiny A 1, A 2, pro které uvedená rovnost neplatí. (a) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (b) f(a 1 ) \ f(a 2 ) = f(a 1 \ A 2 ) (c) A 1 = f 1 (f(a 1 )) 4. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: Nechť f : X Y je zobrazení a B Y. Potom f ( f 1 (B) ) B. Svou odpověď zdůvodněte. 3

4 Relace ekvivalence, rozklady, relace uspořádání 1. Určete vyjmenováním všechny rozklady množiny: (a) {1,2} (b) {1,2,3} (c) {1,2,3,4} 2. Najděte aspoň tři různé rozklady množiny Z. 3. Na množine M = {1, 2, 3, 4} je dána relace R = {[1, 1], [1, 2], [2, 1], [2, 2], [2, 3], [3, 2], [3, 3]}. Je relace R relací ekvivalence? V případě kladné odpovědi najděte rozklad, který ekvivalence určuje. V případě záporné odpovědě určete její reflexivní, symetrický a tranzitivní uzávěr. 4. Zjistěte, které z následujících relací jsou ekvivalence na množině R. (a) R 1 = {[x, y] R 2 ; x y = 1} (b) R 2 = {[x, y] R 2 ; x y 1} (c) R 3 = {[x, y] R 2 ; x = y } (d) R 4 = {[x, y] R 2 ; x 3 = y 3 } 5. Na množině N definujeme relace: (a) mr 1 n dekadický zápis čísla m končí stejnou cifrou jako dekadický zápis čísla n. (b) mr 2 n dekadický zápis čísla m má stejný počet platných cifer jako dekadický zápis čísla n. (c) mr 3 n číslo m má stejný ciferný součet jako číslo n. Dokažte, že R 1, R 2, R 3 jsou relace ekvivalence a najděte třídy rozkladů daných ekvivalencemi R 1, R 2, R Na množině zlomků { m n ; m Z, n N+ } je dána relace následovně: m.n = m.n. m n m n (a) Dokažte, že je relace ekvivalence. (b) Kdy dva zlomky patří do stejné třídy rozkladu daného relací? 7. Na množině N N je dána relace následovně: [a, b] [c, d] a + d = b + c. (a) Dokažte, že je na N N relace ekvivalence. 4

5 (b) Kdy dvě uspořádané dvojice patří do stejné třídy rozkladu daného relací? 8. Na množině Z je dána relace následovně: Je relace ekvivalence na Z? a b 4 (a b). 9. Na množině přirozených čísel je dána relace následovně: a b 3 (a + 2b). Zjistěte, zda je ekvivalence na množině přirozených čísel, v případě 10. Na množině přirozených čísel je dána relace následovně: a b 5 (3a + 2b). Zjistěte, zda je ekvivalence na množině přirozených čísel, v případě 11. Na množině {0, 1, 2,..., 9} je dána relace následovně: a b 10a + b je prvočíslo. Zjistěte, zda je ekvivalence na množině {0, 1, 2,..., 9}, v případě 12. Na množině přirozených čísel je dána relace následovně: a b a + b je prvočíslo. Zjistěte, zda je ekvivalence na množině přirozených čísel, v případě 13. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: Nechť E je relace ekvivalence. Potom relace E 1 je též relace ekvivalence. Svou odpověď zdůvodněte. 14. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: Nechť E 1, E 2 jsou relace ekvivalence na stejné množině. Potom relace E 1 E 2 je též relace ekvivalence. Svou odpověď zdůvodněte. 15. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: Nechť R 1, R 2 jsou relace uspořádání na stejné množině. Potom relace R 1 R 2 je též relace uspořádání. Svou odpověď zdůvodněte. 16. Na množině přirozených čísel je dána relace následovně: a b 5 (a b). Určete faktorovou množinu N/. 5

6 17. Nechť A = { 5, 4,, 4, 5}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a nechť zobrazení f : A B je dané předpisem f(x) = x. Relaci definujeme podmínkou: a b f(a) = f(b). Určete faktorovou množinu A/. 6