9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Transkript

1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom má f v a ostré lokální minimum maximum Pokud fa = 0 a H f a je indefinitní, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Důkaz 1 Pokud fa 0, pak např x1 fa > 0 pro x1 fa < 0 postupujeme obdobně, a fa 1 +h, a,, a m = fa+ x1 fah+oh Existuje tedy takové δ > 0, že pro h δ, 0 máme fa 1 +h, a,, a m fa < 1 x 1 fah < 0 a pro h 0, δ máme fa 1 + h, a,, a m fa > 1 x 1 fah > 0 Funkce f nemá v a ani neostrý lokální extém a 3 Nyní fa = 0 Kvadratickou formu xh f ax T označíme jako P x a f rozvineme v okolí a do Taylorova rozvoje řádu n = tvrzení 10 Sčítanec fa odpovídající i = 0 převedeme vlevo, sčítanec s i = 1 zmizí, protože fa = 0 P x je homogenní polynom stupně, takže fa + h fa = 1 i! h h + + h m m i fa + o h i=1 = 1 m f ah i h j + o h x i x j = 1 P h 1, h,, h m + o h = 1 P h h 1 / h, h / h,, h m / h + o1 = 1 h P e + o1, kde vektor e = eh = h 1 / h, h / h,, h m / h leží na jednotkové sféře S = {x R m x = 1} S je kompaktní podmnožina R m je uzavřená a omezená a spojitá funkce P x na ní proto nabývá minima a maxima: µ = P α = min P x a M = P β = max P x x =1 x =1 pro nějaké vektory α a β z S Pozitivní negativní definitnost H f a je ekvivalentní nerovnostem 0 < µ M µ M < 0 a indefinitnost je ekvivalentní µ < 0 < M 1

2 Je-li H f a pozitivně definitní, máme P e µ > 0 pro každé e S, a tak existuje δ > 0 takové, že pro každé h splňující 0 < h < δ platí fa + h fa = 1 h P e + o1 > h µ > 0 f má v a ostré lokální minimum Analogicky pro negativně definitní H f a dostáváme ostré lokální maximum Když je H f a indefinitní, pak existuje δ > 0 takové, že pro každé t 0, δ máme fa + tα fa = t P α + o1 < t µ < 0 fa + tβ fa = t P β + o1 > t M > 0 f nemá v a ani neostrý lokální extrém Důležité poznámky Podle této věty funkce, která má v každém bodu otevřené množiny U gradient, může mít lokální extrém pouze v bodech, v nichž je gradient nulový Těmto bodům se říká stacionární body Dostaneme je jako řešení rovnice fa = 0 Když je matice H f a semidefinitní, neříká věta nic, funkce může mít v a extrém nebo nemusí Konečně zdůrazněme, že se věta týká otevřených množin U, respektive vnitřních bodů a množiny U Pokud je bod a v U ale není jejím vnitřním bodem, pak může f mít v a lokální extrém vzhledem k U, i když je fa nenulový Lokálními extrémy v hraničních bodech množin se budeme zabývat později v partii o Lagrangeových multiplikátorech Příklad Nalezněte lokální a globální extrémy funkce f : R R, fx, y = y + y cos x sin x Definiční obor R je otevřená množina, pro hledání lokálních extrémů můžeme bez problémů použít větu 11 Máme fx, y = x f, y f = y sin x cos x, y + cos x a H f x, y = xx f xyf yxf yyf = y cos x + sin x sin x sin x Soustava rovnic fx, y = 0, 0 se snadno vyřeší a dává stacionární body s k = π/ + kπ, 0, k Z Tedy 1 k 1 H f s k = k+1 1 k+1

3 a H f s k = pro liché k a H f s k = pro sudé k První matice je indefinitní, a druhá je pozitivně definitní, P x, y = x + xy + y = x y + 3y, P x, y = x xy + y = x y + y Pro liché k v s k není lokální extrém a pro sudé k je v s k ostré lokální minimum, vždy s hodnotou fs k = 3 Jediné lokální extrémy funkce f tedy jsou tato ostrá lokální minima Globální maximum neexistuje, protože f je shora neomezená: fπ/, y = y 3 Jiný důvod je ten, že f nemá žádné lokální maximum a globální maximum by muselo být i lokálním maximem Nalezneme globální minimum Definiční obor R není kompaktní, nelze hned použít větu o extrémech spojitých funkcí na kompaktech Funkce f je však π-periodická v x a pro vyšetření globálních minim stačí uvážit její hodnoty v pásu Na jeho hranici máme P = {x, y 0 x π, y R} f0, y = fπ, y = y + y = y > 3 Ještě ale nejsme hotovi I když hodnoty f na hranici pásu nejsou menší než 3, pás sám je nekompaktní a pro y ± by někde uprostřed něj mohla f klesat k hodnotám menším než 3, třeba do, a globální minimum by nemuselo existovat Jednoduchý odhad však ukazuje, že se f tak nechová Pro y a libovolné x R máme fx, y y y 3 = y ± > 3 4 Když tedy pás P rozložíme na disjunktní sjednocení P = P 1 P, kde P 1 = [0, π] [, ] je kompaktní obdélník a P je nekompaktní zbytek, pro každé a P platí fa 1 > fs 0 = 3 a s 0 P 1 Na hranici obdélníka P 1 má f vždy hodnotu alespoň 9/4 > 3 a na jeho vnitřku má f jediné lokální minimum fs 0 = 3 Proto má f na obdélníku P 1 a na celém pásu P jediné ostré globální minimum fs 0 = 3 Z π-periodičnosti v proměnné x plyne, 3

4 že hodnoty fs k = 3, k Z, jsou právě všechna neostrá globální minima funkce f na R Věta o implicitních funkcích Uvažujme soustavu n rovnic o m + n neznámých F 1 x 1,, x m, y 1,, y n = 0 F x 1,, x m, y 1,, y n = 0 F n x 1,, x m, y 1,, y n = 0 F i jsou reálné funkce definované na okolí bodu x 0, y 0 v R m+n, kde x 0 je v R m a y 0 v R n, který je řešením této soustavy, to jest F 1 x 0, y 0 = F x 0, y 0 = = F n x 0, y 0 = 0 Nedaly by se neznámé y 1,, y n ze soustavy eliminovat a nedaly by se vyjádřit, alespoň lokálně v okolí x 0, jako funkce y i = f i x 1,, x m neznámých x 1,, x m? Následující věta ukazuje, že jistých předpokladů to možné je Zavedeme značení Pro zobrazení F = F 1, F,, F n a f = f 1, f,, f n, přičemž F i = F i x 1,, x m, y 1,, y n a f j = f j x 1,, x m, označíme x = x 1, x,, x m, y = y 1, y,, y n a F xx, Fi y = x j F yx, Fi y = y j n,m n f fi x = x j x, y = x, y = n,m x = x x y 1 y y 1 y x x y n y n x, y x, y x První a třetí matice mají rozměr n m, druhá matice je čtvercová s rozměrem n n Věta 1 Nechť F = F 1, F,, F n : W R n je zobrazení definované na okolí W R m+n bodu x 0, y 0, kde x 0 y 0 R n, které splňuje následující podmínky 1 F i = F i x, y C 1 W pro 1 i n R m a F i x 0, y 0 = 0 pro 1 i n 4

5 3 detf yx 0, y 0 0 Potom existují okolí U R m a V R n bodů x 0 a y 0 taková, že U V W a pro každý bod x U existuje právě jeden bod y V splňující F i x, y = 0 pro 1 i n Jinak řečeno, existuje zobrazení f = f 1, f,, f n : U V takové, že x, y U V : F x, y = 0 y = fx Navíc každá funkce f i je v C 1 U, takže zobrazení f je diferencovatelné na U a jeho Jacobiho matice f x v bodě x U splňuje f x = F yx, fx 1 F xx, fx Důkaz této věty dělat nebudeme Naznačíme ale, jak ze vztahů F k x, f 1 x,, f n x = 0, 1 k n a x U, a z f i C 1 U plyne hořejší formule pro f x a také praktičtější explicitní formule pro i f j x Parciálním derivováním těchto n rovnic podle proměnné x i dostáváme n vztahů F k x i x, fx + n j=1 F k y j x, fx f j x i x = 0, 1 k n To je soustava n rovnic s n neznámými i f j x, 1 j n, kterou zapíšeme maticově jako F y i f = i F, kde F y = F yx, fx, i F je sloupcový vektor xi F 1, xi F,, xi F n T, i f je analogický sloupcový vektor pro f a argumenty parciálních derivací x, fx a x pro stručnost vynecháváme Odtud už pomocí lineární algebry plynou vztahy a f x = F yx, fx 1 F xx, fx f j = det y 1 F,, F, yj 1 x i F, F,, yj+1 y n F x i det y1 F, y F,, yn F v bodech x U a x, fx U V Podrobnosti viz úloha 1 Úlohy 1 Rozmyslete si odvození vzorce pro Jacobiho matici implicitních funkcí ve tvaru součinu dvou matic a pro jejich parciální derivace ve tvaru podílu determinantů 5