1 Zadání Zadání- Náboj 1492 Úloha1.[Miško]Majmerekurentnedefinovanúpostupnosť a 1 = a 2 =1, a 3 = 1, a n = a n 1 a n 3. Nájdite a 2009.

Transkript

1 Úloha1.[Miško]Majmerekurentnedefinovanúpostupnosť a 1 = a 2 =1, a 3 = 1, a n = a n 1 a n 3. Nájdite a 2009 Úloha2.[Monča]Lzepokrýtšachovnici8 8pomocípatnáctitetraminTajednohotetraminaO? Úloha 3.[Tomášek] Jaké číslo se skrývá na místě označeném x v normálním magickém čtverci: 8 x 7 Úloha4.[Franta]Bodem Rvedoukolmépřímky p, q,vbodě R serovnoměrněotáčejíkolmépřímky p, q.označme P= p p a Q=q q.existujenějakávzájemnákorepondencepohybubodů P a Q? Jaksepohybujestředúsečky PQ? Úloha 5.[Luboš] Na množině C = {2, 3} jsou definovány binární operace následujícími tabulkami. x y x y x y x y Rozhodněte, zda jsou binární operace komutativní, asociativní. Určete neutrální prvky obou operací. Rozhodněte,zdajebinárníoperace u=x yna Cdistributivnívůčibinárníoperaci u=x yna C. Úloha6.[Tomášek]Koliknulbudenakoncičísla ( )? Úloha7.[Háňa]Obdélník ABCDjerozložennatřishodnéčtverce AEHD, EFGHa FBCG.Určete součet EAH + F AG + BAC, aniž byste používali goniometrické funkce. Úloha8.[Pavel]Pro λ 8aa,b,ckladnádokažte a a2 +λbc + b b2 +λac + c c2 +λab 3 1+λ

2 2 Úloha 9.[Jarda] Mějme zahradu tvaru kruhu o poloměru 60 metrů takovou, že v každém mřížovém bodě krom počátku(počátek = střed zahrady) stojí strom. Jaký nejmenší poloměr musí mít stromy(všechny mají stejný poloměr), aby přes ně nebylo ze středu zahrady vidět mimo zahradu? Úloha10.[Alča]Kolikřešení(vcelýchčíslech)mánásledujícírovnice(2x 1) 2 +(x+2) 2 = y 2 +4? Úloha 11.[Luboš] Určete, kolik existuje navzájem různých booleovských funkcí o n proměnných(n N) namnožině D,kde D={0,1}jemnožinaobouneutrálníchprvků. Úloha12.[Alča]Najdivšechnařešenírovnice a 2 2b 2 =1,kde a,b N 0 a a,b 100. Úloha 13.[Kenny] Dokažte, že úhlopříčky čtyřúhelníka jsou kolmé, právě když se rovnají délky spojnic středů protějších stran. Úloha14.[Dominik]Rozveďtečíslo 2dořetězovéhozlomku. Úloha 15.[Pirát] Koľkými spôsobmi je možné na biele polia šachovnice 8 8 postaviť 8(rovnakých) veží tak, aby sa žiadne dve navzájom neohrozovali? Úloha 16.[Kenny]Buď ABCDEF konvexníšestiúhelník.označme M 1,M 2,...M 6 postupněstředy stran AB, BC,..., FA.Ukažte,žetrojúhelníky M 1 M 3 M 5, M 2 M 4 M 6 majíspolečnétěžiště. Úloha 17.[Miro] V hre lotto vyberáme 6 čísel z 49. Koľko je takých kombinácií, ktoré obsahujú najmenej jeden pár po sebe idúcich čisel? Úloha18.[Zuzka]Nájditekorenerovnice5x 3 8x 2 2x+3=0.

3 Úloha 19.[Pirát] Niektoré políčka nekonečnej štvorcovej tabuľky sú ofarbené na čierno, zvyšné sú biele. Každýobdĺžnik2 3resp.3 2obsahujepráve2čiernepolíčka.Koľkočiernychpolíčokmôžeobsahovať obdĺžnik9 11? 3 Úloha20.[Háňa]Jedánčtverec ABCDaKlibovolnýbodstrany CD.Osaúhlu BAKprotínástranu BCvbodě L.Dokažte,že BL + DK = AK. Úloha 21.[Tomášek] Najdi všechny kořeny rovnice 7 x = 10x. Úloha 22.[Dominik] Na úsečce AC zvolme libovolný vnitřní bod D. Ukažte, že obsah útvaru mezi půlkružnicí sestrojenou nad poloměrem AC a půlkružnicemi sestrojenými nad poloměry AD a DC je roven obsahukružniceopoloměru BD,kdebod BjeprůsečíkkolmicekACvedenébodem Dapůlkružnice sestrojené nad AC. Úloha23.[Zuzka]Nájditekorenerovnice36x 4 12x 3 11x 2 +2x+1=0. Úloha 24.[Kenny] Ukažte, že v lichoběžníku platí e 2 +f 2 = b 2 +d 2 +2ac, kde e, f jsou délky úhlopříček. Úloha25.[Pavel]Prokladná a,b,cdokažte a 3 b+b 3 c+c 3 a abc(a+b+c) Úloha26.[Miško]Skúmajmepostupnosť a 0 = , a n+1 jecifernýsúčet a n.tátopostupnosťjeod nejakého členu konštantná. Aká je táto konštanta? Úloha 27.[Kenny]Buď ABCDEF konvexníšestiúhelníkoobvodu P.Označme M 1,M 2,...M 6 postupněstředystran AB,BC,...,FA.Má-li M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 shodnévšechnyvnitřníúhly,ukažte,že trojúhelníky ACE a BDF jsou rovnostranné.

4 4 Úloha28.[Pavel]Prokladná x,y,zdokažte x x+ (x+y)(x+z) + y y+ (y+z)(y+x) + z z+ (z+x)(z+y) 1 Úloha 29.[Jarda]Buď C R d omezená(kompaktní)konvexnímnožina,buď p C.Dokažte,že existujepřímka lprocházejícíbodem ptaková,žeúsečka l Cjenejdelšízevšechúsečekobsaženýchv Carovnoběžnýchsl. Úloha30.[Franta]Bodem Rvedoupřímky p, q,avbodě R seotáčejípřímky p, q,kterésizachovávají svůjúhel.označme P= p p a Q=q q.vtomtooznačenínavícplatí,žejsouvšechnyčtyřúhelníky PRQR tětivové.jaksepohybujestředkružniceopsanéčtyřúhelníku PRQR? Úloha31.[Miro]Nech1 k n.uvažujmevšetkypostupnostisosúčtom n.koľkojetakých,ktoré obsahujú číslo k? Úloha 32.[Dominik] Před kotoučem o poloměru h, který se otáčí konstantní rychlostí, je v rovině tohoto kotouče umístěna úsečka délky 2h tak, že přímka spojující střed kotouče se středem úsečky je na tuto úsečku kolmá. Po tečně ke kružnici odlétne v náhodný okamžik částice. Úsečka je od kotouče ve vzdálenosti h. Určete pravděpodobnost, že částice zasáhne úsečku. Úloha33.[Pavel]Prokladná x,y,zdokažte x (x+y) 2+ y (y+z) 2+ z (z+x) 2 9 4(x+y+z) Úloha 34.[Dominik] Pomocí kvadratix, pravítka a kružítka rozdělte zadaný úhel na třetiny(stačí ukázat pro ostrý úhel). Úloha35.[Miško]Označme cnajväčšíreálnykoreňpolynómu x 3 3x 2 +1.Dokážte,žečíslo c 1988 je deliteľné 17.

5 Úloha36.[Luboš]Dokažtetzv.deMorganovyzákony.Prolibovolnoupodmnožinu Nmnožiny ˆM,což je množina všech podmnožin neprázdné množiny M, platí: ( ( A) = A) = A, (1.) A. (2.) 5 Úloha37.[Monča]Čtverec23 23jevyplněnčtverci1 1,2 2a3 3.Koliknejméněčtverců1 1 potřebujeme? Úloha38.[Franta]VečtyřúhelníkuABCDneplatí BC AD.NastranáchBCa ADsepořaděpohybují body Ea F tak,žeplatí BE EC = DF FA.Dáleoznačme P= AC BD, Q= BD EF, R= EF AC. Dokažte, že všechny kružnice opsané trojúhelníkům P QR mají ještě jeden společný bod(různý od P). Úloha39.[Pirát]Nájditevšetkyfunkcie f: R R,ktorévyhovujúrovnici f(xf(y)+x)=xy+f(x) Úloha40.[Rokyta]Rozdeľtekružnicunadvemnožinytak,abysaznich(posúvanímaotáčanímvrovine) dala poskladať kružnica bez jedného bodu.(po zložení sa obe množiny nesmú prekrývať v žiadnom bode.)