Polynomy. Matice a determinanty. 1. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom. P(x) = x 4 6x Řešení: x 4 6x 2 +8 = (x+2)(x 2)(x+ 2)(x 2)

Transkript

1 Polynomy 1 Rozložte na součin kořenových činitelů polynom P(x = x 4 6x 2 +8 x 4 6x 2 +8 = (x+2(x 2(x+ 2(x 2 2 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom P(x = x 6 64 x 6 64 = (x 2(x 2 +2x+4(x+2(x 2 2x+4 3 Rozložte na součin kořenových činitelů polynom P(x = 6x 5 +x 4 43x 3 43x 2 +x+6 6x 5 +x 4 43x 3 43x 2 +x+6 = (x+1(3x 1(x 3(2x+1(x+2 4 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom 3x 5 5x 4 2x 3 42x 2 +31x+15 3x 5 5x 4 2x 3 42x 2 +31x+15 = (x 1(x 3(3x+1(x 2 2x+5 5 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom x 7 +x 6 5x 5 11x 4 +22x 2 +24x+8 x 7 +x 6 5x 5 11x 4 +22x 2 +24x+8 = (x+1 3 (x 2 2 (x 2 +2x+2 Matice a determinanty 1 Rozhodněte zda spolu komutují matice A a B jestliže A = B = Nekomutují SpočtětedeterminantmaticeAadeterminantmatice A 1 kde A = det(a = 21det(A 1 = SpočtětedeterminantmaticeAadeterminantmatice A 1 kde p Ra 1 p 1 1 A = p det(a = p 2 3p+4pro p R\{1 4}je det(a 1 = 4 Projakéhodnotyparametru p Rjematice Aregulární? 1 p 1 A = 2 1 p det(a = 2p 2 p Ajeregulárnípro p R\{0 1 2 } 1 p 2 +3p 4

2 5 Projakéhodnotyparametru p Rjematice Asingulární? p 1 3 A = 1 2 p det(a = p 2 +19p 34 Ajesingulárnípro p {217} Inversní matice a maticové rovnice 1 Najděte inversní matici k matici A = A 1 = Najděteinversnímaticikmatici Akde p R 1 p+1 2 A = p 2p p+2 1 p+1 p+3 A 1 = 1 p 3 p p 2 +3p 2 p 2 2p 1 p 2 p+2 p 2 2p+2 p+1 p 2 p 2 p 0 p 2 +p p R\{01 1} 3 Najděteřešenímaticovérovnice AXB = Ckde A = B = C = X = Najděteřešenímaticovérovnice AX X = Ckde A = C = X = Lineární prostory 1 Rozhodnětezdajsoupolynomy P 1 P 2 P 3 P 4 lineárnězávislépokudanovyjádřetekaždýznichjako lin kombinaci ostatních(je-li to možné P 1 (x = x 3 +x 2 +2x+1P 2 (x = x 3 +2x 2 +x+1p 3 (x = 2x 3 +x 2 +xp 4 (x = x 2 +2x+1 Jsou lineárně nezávislé

3 2 Rozhodnětezdajsoupolynomy P 1 P 2 P 3 P 4 lineárnězávislépokudanovyjádřetekaždýznichjako lin kombinaci ostatních(je-li to možné P 1 (x = x 3 +2x 2 +x+2p 2 (x = 2x 3 +x 2 +2x+1P 3 (x = x 3 x 2 +x 1P 4 (x = 3x 3 +2x 2 +2x+1 JsoulineárnězávisléPlatí P 1 (x P 2 (x+p 3 (x+0 P 4 (x = x 3 +2x 2 +x+2 2x 3 +x 2 + 2x+1+x 3 x 2 +x 1 = 0x 3 +0x 2 +0x+0 P 1 = P 2 P 3 P 2 = P 1 +P 3 P 3 = P 1 +P 2 P 4 není lin kombinací ostatních 3 Rozhodněte zda je matice lineární kombinací matic ( ( A = ( ( ( Ano je koeficienty jsou Najděte bázi podprostoru vekt prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3 který je generován polynomy x 3 +2x 1x 2 3x+2x 3 +22x 3 +x 2 x+3x 2 x 1 Bázejenapř {x 3 +2x 1x 2 x 1 2x+3} 5 Vjepodprostorvektprostoruvšechpolynomůstupněnejvýše3kterýjegenerovánpolynomy x 3 + x+12x 3 +x 2 +x 1x 3 +x 2 2x 3 +x 2 x+1 Wjepodprostorvektprostoruvšechpolynomů stupněnejvýše3kterýjegenerovánpolynomy x 3 +x 2 2x 3 +2x 2 x+1x 3 +x 2x 3 +x 5 Najdětebáziaspočtětedimensipodprostorů VWV WV W Báze V jenapř {x 3 +x+1x 2 x 3x 3}báze Wjenapř {x 3 +x 2 2x 2 x+31} dimv = dimw = 3báze V W jenapř {x 3 x 2 x1} dim(v W = 4báze V W jenapř {x 3 +x 2 2x 2 x 3} dim(v W = 2 Souřadnice 1 Najdětesouřadnicepolynomu P(x = 2x 3 +x 2 3x+6vzhledemkuspořádanébázi (x 3 +x 2 +x+ 1x 3 +x 2 +xx 3 +x+1x 2 +x+1 Souřadnice jsou ( Polynom P(xmávzhledemkuspořádanébázi (B = (x 2 +x+1x 2 +1x+1souřadnice (23 1 Najdětejehosouřadnicevzhledemkuspořádanébázi (A = (x 2 +2x+1x 2 +x 1x 2 +2x+2 Souřadnice jsou ( Najděte uspořádanou bázi prostoru polynomů nejvýše 1 stupně vzhledem k níž má polynom P(x souřadnice (11apolynom Q(xsouřadnice (21jestliževíteževuspořádanébázi (x + 1x + 2 mají tyto polynomy souřadnice postupně (2 1 a (1 2 Bázeje (13x+3 4 Najděte bázi a spočtěte dimensi lin podprostoru polynomů nejvýše 2 stupně které mají stejné souřadnicevzhledemkbázi (B = (x 2 +x+1x 2 +2xx 2 jakokbázistandardní (S = (x 2 x1 Bázejenapř {x 2 x+1}dimenseje1 5 Najdětematicipřechoduoduspořádanébáze (E = ( x 2 + x + 1x 1x kuspořádanébázi (F = ( x+1x 2 1x 2 x 1 aoduspořádanébáze (Fkuspořádanébázi (E Maticepřechoduod (Ek(Fje Maticepřechoduod (Fk(Eje

4 Lineární zobrazení 1 Ukažtežezobrazení A : P 2 P 2 kde P 2 jelinprostorvšechpolynomůnejvýše2stupnědefinované předpisem A(ax 2 +bx+c = (a+b 2cx 2 +(2a b 2cx+(a 2b 3cjelineárníNajděteobraz polynomu P(x = 2x 2 +3x 4vtomtozobrazeníNajdětematicitohotolinzobrazenívzhledemkbázi (E = (x 2 +x+2x 2 xx 2 +x+1abázistandardní (S = (x 2 x1arozhodnětezdatotozobrazení je prosté A(P(x = 13x 2 +9x+8Maticezobrazeníje Zobrazení A je prosté 2 Najdětematicilineárníhozobrazení A : P 2 P 2 definovanéhopředpisem A(ax 2 +bx+c = (2a+ b cx 2 +(a+3b 2cx+(a 2b+cvzhledemkestandardnímbazím (S = (x 2 x1rozhodněte zda toto zobrazení je prosté Pokud ano najděte matici inversního zobrazení vzhledem ke standardním bazím pokud ne najděte bázi jádra a spočtěte defekt zobrazení A Matice zobrazení je Zobrazeníneníprostébázejádrajenapř {x 2 +3x+5}defektje1 3 Jedánolineárnízobrazení A : P 2 P 2 prokteréplatí: A(x 2 + x + 1 = x 2 + 1A(x + 1 = x 2 x+1a(x 2 +2x+1 = x 2 +x+2najděteobrazpolynomu P(x = x 2 +2x+2vtomtozobrazení Rozhodněte zda je toto zobrazení prosté Pokud ano najděte matici inversního zobrazení vzhledem ke standardním bazím pokud ne najděte bázi jádra a spočtěte defekt zobrazení A A(P(x = 2x 2 x+2zobrazení AjeprostéMaticeinversníhozobrazeníje Jsoudánalineárnízobrazení A : R 3 R 2 B : R 2 R 3 prokteráplatí A(xyz = (2x+yx za B(11 = (121B(1 1 = (2 11Rozhodnětezdasloženélineárnízobrazení B A : R 3 R 3 jeprostépokudanonajdětematiciinversníholinzobrazení (B A 1 vzhledemkestandardním bazímpokudnenajdětebázijádraaspočtětedefektzobrazení B A Zobrazení B Aneníprostébázejádrajenapř {(1 21}defektje1 5 JsoudánalineárnízobrazeníA : R 3 R 2 B : R 2 R 3 prokteráplatía(xyz = (x+2y2x+za B(12 = ( 121B( 1 1 = (11 1Rozhodnětezdasloženélineárnízobrazení A B : R 2 R 2 jeprostépokudanonajdětematiciinversníholinzobrazení (A B 1 vzhledemkestandardním bazímpokudnenajdětebázijádrazobrazení A B Zobrazení A B je prosté matice inversního zobrazení je ( Soustavy lineárních rovnic 1 Řešte soustavu: 2x + 3y 2z = 1 3x y + 3z = 8 x + 2y + 2z = 7 2x 2y + 7z = 14 (112

5 2 Řešte soustavu: 2x + 3y + 2z + u = 8 x 2y + 2z + 2u = 3 4x y + 6z + 5u = 14 x + 5y u = 5 (50 10+c 1 ( 8307+c 2 ( 10270kde c 1 c 2 R 3 Řešte soustavu: x 3y + 2z = 0 2x + 3y z = 4 4x 3y + 3z = 0 3x + y 2z = 3 Soustava nemá řešení 4 Vzávislostinaparametru p Rřeštesoustavu: x + y pz = 1 x 2y + 3z = 2 x + py z = 1 Pro ( p = 6soustavanemářešenípro p = 1jeřešení (111+c( 143Pro p R\{ 61} je řešení 2p+7 p+6 1 p+6 1 p+6 5 Řeštevzávislostinaparametru a R ax y z = 1 3x 2y + 3z = 2 x ay z = 1 Pro a = 8 3( soustavanemářešenípro a = 1jeřešení ( c( 5 61Pro a R\{ 8 3 1}jeřešení 1 3a+8 1 3a+8 2a+7 3a+8 6 Vzávislostinaparametru a Rřeštesoustavusrozšířenoumaticí a Proa R\{3}soustavanemářešeníproa = 3másoustavařešení(11111+t( s( ts R Lineární prostory se skalárním součinem 1 Ověřte že vztah ( a1 a 2 a 3 a 4 ( b1 b 2 b 3 b 4 = 2a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 4 b 4 +a 1 b 2 +a 2 b 1 definuje skalární součin na prostoru všech čtvercových matic řádu 2 2 V prostoru čtvercových matic řádu 2 je definován skalární součin jako v předchozím příkladu Najděte matici z lineárního podprostoru ( ( ( W = kterájekolmákmatici ( amávelikost 5 Je to např matice (

6 3 V prostoru čtvercových matic řádu 2 je definován skalární součin jako v předchozím příkladu Najděte bázi a spočtěte dimensi ortogonálního doplňku k podprostoru ( ( ( ( W = Báze ortogonálního doplňku je např {( dimense je 2 ( } 4 Vlineárnímprostoru R 4 sestandardnědefinovanýmskalárnimsoučinem (a 1 a 2 a 3 a 4 (b 1 b 2 b 3 b 4 = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 4 b 4 najděte ortonormální bázi lineárního podprostoru W = (1100(1110(1111 Ortonormálníbázejenapř {( (0010(0001} Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Najděte vlastní čísla a příslušné vlastní vektory matice A = Je tato matice podobná diagonální matici? Maticemájednoduchévlastníčíslo2jemupříslušnývlastnívektorjec (101kdec R\{0} advojnásobnévlastníčíslo1jemužpříslušívlastnívektor c (111kde c R\{0}MaticeAnení podobná diagonální matici 2 Najděte vlastní čísla a příslušné vlastní vektory matice A = Je tato matice podobná diagonální matici? Maticemájednoduchévlastníčíslo1jemupříslušnývlastnívektorje c (111kde c R\{0}advojnásobnévlastníčíslo-2jemužpříslušívlastnívektor c 1 ( 110+c 2 ( 101kde (c 1 c 2 (R R\{(00}MaticeAjepodobnádiagonálnímatici 3 Rozhodněte zda existuje uspořádaná báze v prostoru polynomů nejvýše 2 stupně vzhledem k níž má zobrazení A definované předpisem A(ax 2 +bx+c = ( a+b+cx 2 +(a b+cx+(a+b+c diagonální matici Pokud ano najděte tuto bázi a odpovídající diagonální matici Anobázejenapř (x 2 +x 1x 2 +x+2x 2 xodpovídajícímatice Rozhodněte zda existuje uspořádaná báze v prostoru polynomů nejvýše 2 stupně vzhledem k níž má zobrazení A definované předpisem A(ax 2 +bx+c = (2a+b cx 2 +(a+2b cx+(3a 3b c diagonální matici Pokud ano najděte tuto bázi a odpovídající diagonální matici Anobázejenapř (5x 2 +x+6x 2 +x+4x 2 +xodpovídajícímatice