Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Transkript

1 VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

2 Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat méně než 10 minut, než se vrátí?

3 Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Na celém intervalu (a,b) R je jistota rozprostřena rovnoměrně. (Čekání na konec pravidelného cyklu.) a < b meze intervalu 1 f(x) = b a, jestliže x a,b 0, jestliže x / a,b 0, jestliže x (,a) x a F(x) = b a, jestliže x a,b 1, jestliže x (b, ) E(X) = a + b, 2 var(x) = b a 12,

4 Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Graf hustoty a distribuční funkce 1 0 b a 0 1 a b a b

5 Exponenciální rozdělení, Ex(λ) Příklad Telefonistka vyřizuje v průměru 30 hovorů do hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že v průběhu minuty přijde alespoň 1 hovor? Poissonovo rozdělení λ = 0,5 1 P(X 1) Po(0,5). Jaká je pravděpodobnost, že přijme alespoň jeden hovor za t minut? P(X t) = 1 e λt

6 Exponenciální rozdělení, Ex(λ) Doba čekání na (poissonovský) náhodný jev. 1 λ průměrná doba čekání, délka intervalu mezi jevy, D = 0, ), { 0, jestliže x < 0 f(x) = λ e λ x, jestliže x 0 { 0, jestliže x < 0 F(x) = 1 e λ x, jestliže x 0 E(X) = λ, var(x) = λ 2,

7 Exponenciální rozdělení, Ex(λ) Grafy hustoty a distribuční funkce 0 λ

8 Příklad Jaká je pravděpodobnost, že budeme na strážného čekat 2 minuty? Jaká je pravděpodobnost, že budeme čekat dvě minuty, jestliže už čekáme 6 minut? P(a + t x) P(a x) = P(t x) Nemá paměť. tj. doba čekání nezávisí na tom jak dlouho jsme čekali.

9 Centrální limitní věta Věta X 1,X 2,...,X n jsou nezávislé a mají stejné rozdělení se střední hodnotou E(X i ) = µ a rozptylem σ 2, pak s rostoucím n n rozdělení X = X i se blíží N(nµ,nσ 2 ), i=1 rozdělení X = 1 n X i se blíží N ( µ, 1 n n σ2), i=1 n rozdělení X i=1 = X i nµ se blíží N(0,1), n σ

10 Aplikace centrální limitní věty, Bi N X má binomické rozdělení Bi(n,p), X je součtem X 1,X 2,...,X n s rozdělením A(p), E(X i ) = p, var(x i ) = p(1 p), s rostoucím n můžeme X aproximovat normálním rozdělením Bi(n,p) N ( np,np(1 p) ) Bi(30,0,2) N ( 6; 4,8 )

11 Aplikace centrální limitní věty, Bi N Pokud X má rozložení Bi(n,p), a X = X n p n p (1 p) (standardizace) lim n P(X x) = 1 e 2 1 x2 2π tj. X má pro velká n přibližně rozdělení N(0,1) Známe z minula, (motivace k zavedení normálního rozdělení).

12 Aplikace centrální limitní věty, Po N X má Poissonovo rozdělení Po(λ), pokud λ = n N, X je součtem X 1,X 2,...,X n s rozdělením Po(1), E(X i ) = 1, var(x i ) = 1, s rostoucím n můžeme X aproximovat normálním rozdělením Po(n) N(n,n) Po(10) N ( 10; 10 )

13 Aplikace centrální limitní věty, Bi Po Po(λ) N(λ,λ), (λ = 16) Bi(n,p) N ( np,np(1 p) ), (n = 80, p = 0,2) pokud 1 1 p tj. p je malé, pak np np(1 p) Po(np) Bi(n,p)

14 Čebyševův vzorec Odhad pravděpodobnosti, E(X) = µ střední hodnota var(x) = σ 2 rozptyl ε > 0 přípustná odchylka (Často volíme ε = kσ). P(ε X µ ) σ2 ε 2 Poskytuje jen velmi přibližný odhad, zato pro libovolné rozdělení.

15 Pearsonovo rozdělení χ 2 (n) Součet druhých mocnin náhodných veličin s normálním rozdělením, X 1,...,X n mají rozdělení N(0,1) X = X X2 n n stupně volnosti (nezávislé sčítance) D = (0, ), f(x) a F(X) jsou pro různé stupně volnosti tabelovány, E(X) = n, var(x) = 2n,

16 Pearsonovo rozdělení χ 2 (n) n = 20 n = 10 n =

17 Pearsonovo rozdělení χ 2 (n) χ 2 (10),N(10,20) Pro rostoucí n se χ 2 (n) blíží N(n,2n) χ 2 (20),N(20,40) χ 2 (40),N(40,80)

18 Studentovo rozdělení t(n) N má rozdělení N(0,1) X má rozdělení χ 2 (n) T = N X n n stupně volnosti, f(x) a F(X) jsou pro různé stupně volnosti tabelovány, f(x) je sudá, E(T) = 0, var(t) = n n 2,

19 Studentovo rozdělení t(n) pro n > 30 platí t(n) N(0,1) N(0, 1) ν = 5 ν = 2 ν =

20 Fischer-Snedecorovo rozdělení F(m,n) X 1 má rozdělení χ 2 (m) X 2 má rozdělení χ 2 (n) F = X 1 m X 2 n m,n stupně volnosti, D = (0, ), hodnoty jsou pro různé stupně volnosti tabelovány,

21 (5,5) (10,30) (40,40)