Matematická party 1401 Náboj

Transkript

1 Matematická party 1401 Náboj Úloha 1. V kruhu sedí 2014 lidí, každý má v ruce určitý počet kamínků, počet kamínků, který mají dva sousední lidé se liší o 2 nebo 3, jaký největší rozdíl kamínků může být mezi dvěma lidmi, když víte, že žádní dva nemají stejný počet kamínků? Úloha 2. Necht n je přirozené číslo takové, že zbytek po dělení čísel 45, 73, 115 číslem n je roven třem. Určete součet všech takových n. Úloha 3. V továrně na bonbóny vyrábějí dva druhy bonbónů: citrónové a vanilkové. Napohled jsou oba druhy k nerozeznání, ale balíček citrónových bonbónů váží 40 g, zatímco balíček vanilkových bonbónů váží 50 g. Při přechodu na rok 2014 se projevil problém Y2K14 a balicí linka v továrně zabalila oba druhy bonbónů do sáčků se stejným potiskem. Celkem bylo zabaleno 8 krabic těchto bonbónů, každá krabice obsahuje 200 sáčků. Víme, že některé krabice obsahují jen balíčky citrónových bonbónů a zbývající krabice jen balíčky vanilkových bonbónů. Zaměstnanci továrny všechny krabice rozdělali. Kolik musí minimálně provést vážení, aby zjistili, které bonbóny jsou citrónové a které vanilkové? (K dispozici je přesná elektronická váha.) Úloha 5. Kolika způsoby můžeme umístit na šachovnici dvě věže a krále, tak aby se žádné dvě figurky neohrožovaly? Úloha 6. Určete poslední cifru čísla 7 77 v desítkovém zápisu. Úloha 7. Na jednom břehu řeky stojí skupinka turistů: Petr, Radim, Milan a Michal. U břehu kotví malá lod ka, která pojme nejvýše dva pasažéry. Turisté jsou různé tělesné konstrukce. Při převozu hraje největší roli zatížení lod ky, rychlost je vždy určena těžším pasažérem. Milanovi trvá cesta přes řeku 1 minutu, Radimovi 2 minuty, Petr zvládne cestu za 5 minut a Michal za 10 minut. Jaký je nejmenší možný počet minut na to, aby se všichni dostali na druhou stranu. Úloha 9. 1 V řadě stojí 117 vojáků, generál vydává postupně rozkazy: každý druhý se pohne o krok dopředu! Každý třetí se pohne o krok dopředu! a tak dále, až když se každý 117 tý pohne o krok dopředu. Voják na které pozici bude nejdále? 1

2 Úloha 10. Ve Lhotě volili starostu. Kandidovali dva občané: Ing. Schopný a jeho manželka Dr. Schopná. V obci byly tři volební místnosti. V první i druhé místnosti dostala více hlasů Dr. Schopná. V první byl poměr hlasů 7 : 5, ve druhé 5 : 3. Ve třetí volební místnosti byl poměr hlasů 3 : 7 ve prospěch Ing. Schopného. Volby nakonec skončily nerozhodně, oba kandidáti totiž získali stejný počet hlasů. V jakém poměru byly počty platných odevzdaných hlasovacích lístků v jednotlivých volebních místnostech, víme-li, že v první a druhé místnosti odevzdal platný hlas stejný počet lidí? Úloha 11. Vaším úkolem jest čáru to lomenou nakresliti, a to tak, že několik zvláštních to vlastností bude splňovati. Nejprve třeba jest, aby z šestí částí byla, tedy z šesti to úseček. Dále nezbytné jest, aby tam, kde začíná taky končila, neboli ani konec ni začátek mít to vlastně nemůže. Uzavřená tedy musí být. A nakonec musí být splněná poslední, avšak klíčová to podmínka každá z úseček musí býti právě jednou protnuta jinou. Na tomto obrázku jest splněna poslední podmínka, avšak nejedná se o čáru to lomenou a uzavřenou. Úloha 13. Posloupnost a 1, a 2, a 3... je dána vztahy a 1 = 46, a 2 = 33 a a n+2 = 2a n+1 a n + 2. Najděte všechna taková i, že a i je druhou mocninou přirozeného čísla. 2

3 Úloha 14. Z plechu tvaru štvorca, ktorého strany majú vel kost 2 m, treba zhotovit otvorenú škatul u maximálneho objemu, ktorá bude mat tvár kvádra. Určete výšku výsledné škatul e. Úloha 15. Středem koule je provrtána válcová díra o výšce 6 cm. Jaký je objem zbylé části koule? Průměr koule ani průměr díry není znám. (Poznámka: Úlohu je možno vyřešit zpaměti.) Úloha 17. Najděte všechny prvočísla p takové, že 4p i 6p jsou prvočísla. Úloha 18. Určete počet všech koster úplného grafu na čtyřech vrcholech. (Kostry jsou různé právě tehdy, když obsahují různé hrany.) Alternativní formulace bez teorie grafů: Uvažte pravidelný čtyřstěn. Kostrou rozumíme takovou množinu hran, že mezi každými dvěma vrcholy čtyřstěnu existuje právě jedna cesta po hranách z této množiny. Určete počet těchto koster. Úloha 19. Necht máme n vězňů. A necht máme gargantuovské množství klobouků k barev. Necht má každý z vězňů p rukou a q nohou. Dále necht každá z těchto rukou má j prstů (počet prstů na nohou není znám). Vězňům se rozdají klobouky, každému právě jeden. (Teoreticky mohou mít všichni klobouk stejné barvy, ale pravděpodobnost tohoto je mizivá.) A aby se vysvobodili, musí všichni správně zodpovědět, jaká že je to barva jejich klobouku. Problémem ale je, že stojí v řadě, a každý vidí jen klobouky lidí před sebou. Takže svůj, vcelku logicky pro dobro úlohy, nevidí. Odpovídají v pořadí, to jest jako první odpovídá ten, kdo vidí klobouky všech kromě sebe, dále odpovídá ten, kdo vidí klobouky všech kromě sebe a toho kdo již odpovídal. Obecně odpovídá ten, kdo ještě neodpovídal a vidí klobouky všech lidí, kteří ještě neodpovídali, samozřejmě kromě svého vlastního. Předem se domluví, a zvolí optimální strategii. No a otázka je jednoduchá jaká je 3

4 pravděpodobnost, že při ideální strategii odpoví všichni správně. Vaším úkolem je vyjádřit tuto pravděpodobnost za pomocí n, k, p, q a j. Úloha 21. Kolika způsoby můžeme vybrat z množiny {1, 2, 3, } vybrat tři čísla, aby byl jejich součin dělitelný 4? Úloha 22. Máme potraviny dvou druhů A a B. Výživové hodnoty ve 100 gramech každé z potravin shrnuje tabulka. Potravina Energie (kj) Bílkoviny(g) Tuky (g) A B Nadčlověk, kterého chceme uživit potřebuje 2500 kj energie, 350 g bílkovin a 150 g tuků. Určete, kolik gramů potraviny A a kolik gramů potraviny B by měl nadčlověk dostat tak, aby byly splněny jeho nároky a přitom součet hmotností obou potravin byl nejmenší možný. Úloha 23. Najděte všechny čtvercové tabulky 3 3 přirozených čísel (0 / N), v nichž je součin všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách stejný a pro něž platí, že součet čtyř čísel v jejich rohových polích je jednociferné číslo. Tabulky, které jsou stejné až na rotaci považujeme za totožné. Úloha 26. Pravidelný 88-úhelník o straně 1 je rozřezán na konečný počet rovnoběžníků. Některé z nich mohou přirozeně býti obdélníky. Určete součet obsahů všech obdélníků z tohoto rozdělení. Úloha bodů0 Mějme trojúhelník ABC s normálním značením, osa úhlu α se protíná s osou vnějšího úhlu u γ (vezme úsečku BC a opačnou polopřímku k CA) v bodě D. Bodem D vedeme rovnoběžku se stranou BC, která protne přímky AC a AB postupně v bodech L a M, určete délku LM, pokud víte, že LC = 5 a BM = 7. 4

5 Úloha 27. Soused, který nám pořád dělá naschvály, má připravenou mřížku 8 8, kterou by rád vydláždil dlaždicemi 2 1. Ale dříve, než to stihl udělat, jsme mu do této mřížky náhodně umístili dva kameny, takže na dvě (náhodně zvolená) políčka nelze dlaždice umístit. Jaká je pravděpodobnost, že i přes to bude soused schopen zbývajících 62 políček vydláždit dlaždicemi 2 1? Úloha 29. Uvažujme posloupnost z písmen A a B takové, že každý souvislý úsek A má sudou délku a každý souvislý úsek B má lichou délku. Najděte nejmenší počet takových posloupností délky 14. Úloha 30. Jako mřížové body budeme nazývat body s celočíselnými souřadnicemi. Trojúhelník ABC má své vrcholy v mřížových bodech. Hranice trojúhelníka ABC protíná celkem 8 mřížových bodů. Ve vnitřku trojúhelníka se nachází 247 mřížových bodů. Určete obsah trojúhelníka ABC. Nápověda: Pick Úloha 31. Kolik různých výsledků můžeme dostat, sečteme-li každá dvě z daných pěti různých přirozených čísel? Úloha 33. Mějme trojúhelník ABC s normálním značením, osa úhlu α se protíná s osou vnějšího úhlu u γ (vezme úsečku BC a opačnou polopřímku k CA) v bodě D. Bodem D vedeme rovnoběžku se stranou BC, která protne přímky AC a AB postupně v bodech L a M, určete délku LM, pokud víte, že LC = 5 a BM = 7. Úloha 34. Číslo začíná devítkou a má 3817 číslic. Zjistěte, kolik z čísel 9 k, kde k = 1, 2,..., 3999 také začíná devítkou. 5

6 Úloha 35. Kolik nejméně tahů je třeba, aby si bílí a černí koně vyměnili místo? Jedná se samozřejmě o šachové koně, kteří samozřejmě mohou táhnout pouze na jedno z nakreslených políček. 6