Matematická analýza 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza 1"

Transkript

1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016

2 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a Petra Šarmanová. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava: VŠB - Technická univerzita Ostrava, ISBN Dostupné také z: (multimediální výukové CD) Za svolení k použití mnohokrát děkuji Petře Vondrákové

3 Obsah 1. cvičení Množiny a výroky (opakování ze SŠ) Množiny Výroková logika O logické výstavbě matematiky cvičení Matematická indukce, Kvadratické rovnice a nerovnice, Rovnice a nerovnice s abs. h Důkaz matematickou indukcí Rovnice a nerovnice - základní pojmy Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou cvičení Reálné funkce jedné reálné proměnné vybrané vlastnosti a grafy funkcí, Funkce inverzní, Funkce mocninné a n-tá odmocnina, Funkce exponenciální a logaritmické Funkce - Základní pojmy Vybrané vlastnosti funkcí Operace s funkcemi Transformace grafu funkce Inverzní funkce Základní elementární funkce Mocninné funkce a funkce n-tá odmocnina Exponenciální a logaritmické funkce cvičení Goniometrické a cyklometrické funkce. Základní goniometrické rovnice a nerovnice Goniometrické funkce Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Cyklometrické funkce Goniometrické rovnice Goniometrické nerovnice Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice cvičení Posloupnosti a limita posloupnosti (opakování ze SŠ) Základní pojmy Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Limita posloupnosti Výpočet limit

4 6. cvičení Limita a spojitost funkce Limita funkce Jednostranné limity Vlastnosti limit Spojitost Výpočet limit cvičení Derivace Definice derivace Pravidla pro počítání s derivacemi Derivace vyšších řádů Fyzikální význam derivace cvičení L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo (LP) Limity typu 0 ± Limity typu Limity typu fxgx Spojitost funkce Další příklady na LP cvičení Průběh funkce Monotonie Lokální extrémy Konvexnost, konkávnost Asymptoty grafu funkce Průběh funkce... 52

5 Matematická analýza Množiny 1. cvičení Množiny a výroky (opakování ze SŠ) Definice 1.1 Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny. Zápis a A znamená, že a je prvkem množiny A. Zápis a A znamená, že a není prvkem množiny A. Množiny zadáváme výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina A prvky a, b, c, píšeme A = {a, b, c} ), pomocí charakteristické vlastnosti zápis B = {x E: V(x)} znamená, že množina B je tvořena prvky z množiny E a to pouze těmi, které mají vlastnost V(x). Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se nebo { }. Definice 1.2 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A. Příklad 1.1 Rozhodněte, zda A = B. a) Nechť A = {2,4,5}, B = {5,4,2}. b) Nechť A = {2,2}, B = {2}. Definice 1.3 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme A B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B. Příklad 1.2 Najděte všechny podmnožiny množiny A = {1,2,3}. Základní množinové operace název operace sjednocení průnik rozdíl doplněk označení A B A B A\B A Martina Litschmannová 1

6 1. cvičení - Množiny Příklad 1.3 Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech. A Z A Z A Z A Z B B B B A B A B A\B A Příklad 1.4 Nechť A = {1,2,3,4}, B = {2,4,5}. Určete A B, A B, A\B, B\A. Početní pravidla pro operace s množinami 1. A B = B A, A B = B A komutativní zákony 2. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 3. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 4. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 5. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 6. (A B) = A B, (A B) = A B de Morganovy zákony 7. (A ) = A 8. A\B = A B Číselné množiny N = {1; 2; 3; } Z = { ; 2; 1; 0 1; 2; } Q = { p : p Z; q Z} racionální q R R + R R\Q C přirozená čísla celá čísla čísla reálná čísla kladná reálná čísla záporná reálná čísla iracionální čísla komplexní čísla Martina Litschmannová 2

7 Matematická analýza 1 Příklad 1.5 Nechť A = {1,2,3,4}, B = N. Určete A B, A B, A\B, B\A. Příklad 1.6 Zjednodušte: a) (A B) (A C) a) (A B) (A C) b) [[(A B) C] (A B) C] 1.2 Výroková logika Definice 1.4 Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Mějme výrok A. Je-li A pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost p(a) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme p(a) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty. Definice 1.5 Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci výroku A budeme značit A. Definice 1.6 Obměna výroku A je výrok, který říká totéž co výrok A, ale jinými slovy. Příklad 1.7 Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu a výrok negujte. a) V1: Hradcem Králové protéká řeka Labe. b) V2: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy? c) V3: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h. d) V4: Kočka je bílá. e) V5: Sklenice je plná. f) V6: Ve vesmíru existuje planeta obydlena živými organismy. g) V7: x < 5 h) V8: 4 < 5 i) V9: = 10 Martina Litschmannová 3

8 1. cvičení - Výroková logika Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek: název spojky označení slovní vyjádření konjunkce A B A a zároveň B disjunkce A B A nebo B implikace A B jestliže A pak B ekvivalence A B A právě tehdy, když B Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky, nazývá se výrok elementární. Definice 1.7 Mějme výroky A, B. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací. p(a) p(b) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) Příklady na implikaci: Když budou padat trakaře, zrušíme výuku. Když nebudete dávat pozor, budu naštvaná. Příklad 1.8 Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace. 1. ( A) = A 2. (A B) = A B 3. (A B) = A B 4. (A B) = A B 5. (A B) = (A B) ( A B) p(a) p(b) p( A) p( B) p( ( A)) p( (A B)) p( A B) Martina Litschmannová 4

9 Matematická analýza 1 p(a) p(b) p( (A B)) p( A B) p( (A B)) p(a B) p(a) p(b) p( (A B)) p(a B) p( A B) p((a B) ( A B)) Příklad 1.9 Doplňte tabulku pravdivostních hodnot. p(a) p(b) p(c) p((a B) C) p((a B) (B C)) p((b A) (A B)) Definice 1.8 Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory: obecný kvantifikátor, který se označuje a čte se pro každé, existenční kvantifikátor, který se označuje a čte se existuje alespoň jeden, kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje! A čte se existuje právě jeden. Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Například: ( x N y N: V(x)) = x N y N: V(x). Martina Litschmannová 5

10 1. cvičení - Výroková logika Příklad 1.10 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. (nepoužívejte není pravda, že ) Předpokládejte, že velmi chytrý = má IQ vyšší než 140 bodů. a) V1: Všichni studenti jsou velmi chytří. b) V2: Existuje alespoň jeden člověk, který je velmi chytrý. Příklad 1.11 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. V p(v) V x R: x 0 x 2 0 x N y N: x y x N y N: x y x N y N: x y x N y N: x y x R: x > 0 x 3 0 x N y N: x y x 3 y 3 Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní hodnoty 1 se nazývá tautologie. Příklad 1.12 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii: a) (A B) ( B A) (vztah pro nepřímý důkaz) b) (A B) (A B) (vztah pro důkaz sporem) p(a) p(b) p( A) p( B) p(a B) p( B A) p(a B) p( (A B)) p(a) p(b) p((a B) ( B A)) p((a B) (A B)) Martina Litschmannová 6

11 Matematická analýza O logické výstavbě matematiky Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2]. Jak budovat vědeckou teorii? 1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je možné říci. 2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz. 3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového pojmu. Matematické důkazy Věty mají tvar implikace (α β) nebo ekvivalence (α β). Protože však lze každou ekvivalenci převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace. Mějme větu α β, pak α jsou předpoklady věty a β jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů: Nechť platí α. Potom platí β. Jestliže platí α, potom platí β. Když platí α, pak platí β. Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí. Princip matematických důkazů: Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů α a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací, tj. α γ 1 γ 2 γ n β. Nepřímý důkaz využívá vztahu (α β) ( β α). Vyjdeme z β a přímým důkazem dokážeme α. (viz příklad 1.11) β δ 1 δ 2 δ n α. Důkaz sporem využívá vztahu (α β) (α β). (viz příklad 1.11) Martina Litschmannová 7

12 1. cvičení - O logické výstavbě matematiky Chceme ukázat, že není pravda, že platí α a zároveň neplatí β. Předpokládáme tedy současnou platnost α a β a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli γ ukážeme, že současně platí γ a γ. Příklad 1.13 Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že n N: n 2 6n + 3 > 13. Martina Litschmannová 8

13 Matematická analýza 1 2. cvičení Matematická indukce, Kvadratické rovnice a nerovnice, Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 2.1 Důkaz matematickou indukcí Důkaz matematickou indukcí je často používaná metoda dokazování v matematice, nejčastěji pokud pracujeme s přirozenými čísly nebo s nějakou jinou posloupností. Základním principem je, že dané tvrzení dokážeme pro nějaký první prvek, v přirozených číslech to nejčastěji je n = 1. To dokážeme prostým dosazením. V dalším, indukčním, kroku dokážeme implikaci pokud tvrzení platí pro n = a, pak platí i pro n = a + 1. Z těchto dvou kroků můžeme odvodit, že daný výraz platí pro všechna n (z nějaké množiny, se kterou zrovna pracujeme). Věta 2.1: Princip matematické indukce Nechť je dána množina M N taková, že platí: a) 1 M, b) n M: n + 1 M. Pak M = N. Příklad 2.1 Pomocí matematické indukce dokažte, že: a) n N: (2n 1) = n 2, b) n N: n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2, c) n N, n 3: n 2 2n + 1, d) n N, n 4: 2 n n Rovnice a nerovnice - základní pojmy Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů. Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme kořeny dané rovnice (nerovnice). Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice. Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic. Ekvivalentní rovnice (nerovnice) Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů. Ekvivalentní úprava Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Martina Litschmannová 9

14 2. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice Neekvivalentní (důsledková) úprava Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice. (Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.) Ekvivalentní úpravy rovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém O, k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém O, umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém O. Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém O, k oběma stranám nerovnice, vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a kladný, pro všechny hodnoty neznámé z O, vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je záporný a definovaný v celém O, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné v celém oboru řešení nerovnice O, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nekladné v celém O a současným otočením znaménka nerovnosti. 2.3 Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 2.2 Řešte v R rovnice: a) 2x 2 + x 1 = 0 b) 2x 2 1 = 0 c) 2x 2 + x = 0 d) 9t t + 4 = 0 e) a 2 + a + 1 = 0 Příklad 2.3 Řešte v C rovnici a 2 + a + 1 = 0. Příklad 2.4 Řešte v R rovnici 5 7 = 3. x 2 x 1 3 x Martina Litschmannová 10

15 Matematická analýza 1 Příklad 2.5 Řešte v R nerovnice: a) 2x 2 + x 1 > 0 b) 9t t c) 9t t + 4 > 0 d) 9t t + 4 < 0 e) a 2 + a + 1 > Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Zápis a b můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla a od obrazu čísla b. Příklad 2.6 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) x = 3 b) x < 3 c) x 2 > 3 d) x + 2 = 3 e) 2x + 2 = 4 f) 2 x 3 g) 2 3x 3 Příklad 2.7 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) 2x + x = x b) x 2 2x < x Martina Litschmannová 11

16 3. cvičení - Funkce - Základní pojmy 3. cvičení Reálné funkce jedné reálné proměnné vybrané vlastnosti a grafy funkcí, Funkce inverzní, Funkce mocninné a n-tá odmocnina, Funkce exponenciální a logaritmické 3.1 Funkce - Základní pojmy Definice 3.1 Nechť A R, A. Zobrazení f množiny A do množiny R (f: A R) nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f) Ke každému prvku x A existuje právě jeden prvek y R takový, že y = f(x). Množinu všech takových y R, k nimž existuje x D(f), pak nazýváme obor hodnot funkce f a označujeme H(f). Zadání funkce K zadání funkce f je nutné uvést jednak definiční obor D(f) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož je každému x D(f) přiřazen právě jeden prvek y H(f). Je-li funkce zadána pouze předpisem a definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových x R, pro která má daný předpis smysl. Graf funkce Definice 2.3 Grafem funkce f: D(f) R rozumíme množinu bodů {(x, y) R 2 : x D(f) y = f(x)}, kde (x, y) značí bod roviny o souřadnicích xa y. 3.2 Vybrané vlastnosti funkcí Monotónní funkce Definice 3.2 Řekneme, že funkce je a) rostoucí (resp. klesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) > f(x 2 )), b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) f(x 2 )), c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí, neklesající) na celém svém definičním oboru. Martina Litschmannová 12

17 Matematická analýza 1 Příklad 3.1 Vyšetřete monotónii následujících funkcí. Sudá a lichá funkce a) b) c) d) Definice 3.3 Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí: a) Je-li x D(f), pak x D(f). b) f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)) pro všechna x D(f). funkce lichá (graf souměrný podle počátku) funkce sudá (graf souměrný podle osy y) Příklad 3.2 Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. a) f: y = x x 2 +1 b) g: y = 1 x2 1+x 2 Periodická funkce Definice 3.4 Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, p R +, jestliže platí: a) Je-li x D(f), pak x + p D(f). b) f(x) = f(x + p) pro všechna x D(f). Martina Litschmannová 13

18 3. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 3.3 Sestrojte graf funkce f, víte-li: D(f) = R, f je lichá, f(0) = 0 = f( 3 2 ), f je periodická s periodou 3, xε (0; 3 2 ) : f(x) = 1 x2. Vypočtěte f(1 000), f(π), f( 2). 3.3 Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí Definice 3.5 Nechť f a g jsou funkce. Součtem f + g, rozdílem f g, součinem f g a podílem f/g funkcí f a g nazveme funkce, které jsou dány předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), f(x) ) (x) =, pro x D(f) D(g) {x R: g(x) = 0}. ( f g g(x) Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem f (x) = f(x) pro x D(f). Skládání funkcí Definice 3.6 Nechť f a g jsou funkce. Složenou funkcí f g nazveme funkci definovanou předpisem (f g)(x) = f(g(x)), pro x D(g) g(x) f(x). Funkci f nazýváme vnější složka a funkci g nazýváme vnitřní složka složené funkce f g. Příklad 3.4 Jsou dány funkce f: y = 3 2x a g: y = ln x. a) Určete složenou funkci f g a její definiční obor. b) Určete složenou funkci g f a její definiční obor. Martina Litschmannová 14

19 Matematická analýza Transformace grafu funkce Nechť je dána funkce f: y = f(x), x D(f). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit grafy následujících funkcí: a) f 1 : y = f(x), b) f 2 : y = f( x), c) f 3 : y = f(x) + b, d) f 4 : y = f(x a), e) f 5 : y = k f(x), f) f 6 : y = f(mx), kde a, b R\{0}, k R +, m R + jsou konstanty. a) grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy x b) grafy funkcí f a f 2 jsou souměrné podle osy y c) graf funkce f 3 je posunutím grafu funkce f o b ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí nahoru ; (je-li b < 0, jde o posunutí dolů ) d) graf funkce f 4 je posunutím grafu funkce f o a ve směru osy x (je-li a > 0, jde o posunutí doprava ; je-li b < 0, jde o posunutí doleva ) e) graf funkce f 5 je deformací grafu funkce f ve směru osy y (je-li k > 1, jde o k násobné zvětšení ve směru osy y; je-li 0 < k < 1, jde o k násobné zmenšení ve směru osy y) f) graf funkce f 6 je deformací grafu funkce f ve směru osy x (je-li m > 1, jde o m násobné zúžení ve směru osy y; je-li 0 < m < 1, jde o m násobné rozšíření ve směru osy y) Martina Litschmannová 15

20 3. cvičení - Inverzní funkce Příklad 3.5 Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí f: y = x 2 a f 1, f 2,, f 4. Využijte úpravy předpisu funkcí doplněním na čtverec. a) f 1 : y = x 2 + 4x 3 b) f 2 : y = x 2 6x 7 c) f 3 : y = 2x 2 8x + 10 d) f 4 : y = 3x 2 2x + 1 Poznámka: Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec přinutíme fungovat druhou mocninu trojčlenu a následně rozdíl čtverců. Například: x 2 + 8x + 7 = x 2 + 8x+???? +7 = x 2 + 8x = (x + 4) 2 9 = x 2 + 2Bx + B 2 x 2 + 2Bx + B 2 (x + B) 2 = [(x + 4) 3][(x + 4) + 3] = (x + 1)(x + 7) 3.5 Inverzní funkce Prostá funkce Definice 3.7 Řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro každé x 1, x 2 D(f) takové, že x 1 x 2 platí, že f(x 1 ) f(x 2 ). funkce je prostá funkce není prostá Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá. Příklad 3.6 Dokažte, že f: y = x+2 x 3 je prostá. Martina Litschmannová 16

21 Matematická analýza 1 Inverzní funkce Definice 2.13 Nechť f je funkce. Funkce f 1 se nazývá funkce inverzní k funkci f, jestliže platí: a) D(f 1 ) = H(f). b) y D(f 1 ): f 1 (y) = x y = f(x). Věta 2.1 Nechť f je funkce. Funkce f 1 existuje právě tehdy, když f je funkce prostá. Věta 2.2 Nechť f je prostá funkce a f 1 funkce k ní inverzní. Potom platí: 1. f 1 je prostá funkce. 2. Je-li f rostoucí, resp. klesající, potom f 1 je rostoucí, resp. klesající. 3. x D(f): (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = x. x D(f 1 ): (f f 1 )(x) = f(f 1 (x)) = x. 4. Inverzní funkce k f 1 je f, tj. (f 1 ) 1 = f. 5. Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle přímky p: y = x. Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci f? 1) Ověříme, že funkce f je prostá. 2) Určíme definiční obor D(f) a obor hodnot H(f) funkce f. 3) Určíme D(f 1 ) a určíme předpis f 1. Příklad 3.7 Ověřte, že k funkci f: y = x+2 existuje funkce inverzní, najděte ji a načrtněte její graf. x Základní elementární funkce Základní elementární funkce (nutno znát definice a grafy zopakujte si například dle Čepička a kol., Herbář funkcí, dostupné online z mi21.vsb.cz) Exponenciální funkce Logaritmická funkce Konstantní funkce Mocninné funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Hyperbolické funkce Hyperbelometrické funkce Definice 3.1 Elementárními funkcemi nazýváme funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu algebraických operací (tj. operací +,,, :) a skládání funkcí. Martina Litschmannová 17

22 3. cvičení - Mocninné funkce a funkce n-tá odmocnina 3.7 Mocninné funkce a funkce n-tá odmocnina f: y = x n ; n N; x R n = 1 f je prostá f 1 f: y = x f 1 : y = x D(f 1 ) = R, H(f 1 ) = R n sudé f není prostá f 1 f: y = x n ; n je sudé; x 0; ) f 1 n : y = x D(f 1 ) = 0; ), H(f 1 ) = 0; ) n liché f je prostá f 1 POZOR! f: y = x n ; n je liché f 1 n : y = x D(f 1 ) = R, H(f 1 ) = R 4 = 2, 4 2 (viz graf f: y = x) x 2 = x platí pouze pro x 0; ) x ( ; 0) x 2 = x ( x) 2 = x platí pouze pro x 0; ) Martina Litschmannová 18

23 Matematická analýza 1 Příklad 3.8 Najděte (existuje-li) inverzní funkci k funkci f: y = 9 x 2, D(f) = 0; 3. f: y = x n ; n N; x R\{0}, kde x n = 1 x n f: y = x n ; n je liché D(f) = R\{0}, H(f) = R\{0} f: y = x n ; n je sudé D(f) = R\{0}, H(f) = (0; ) Příklad 3.9 Najděte (existuje-li) inverzní funkci k funkci f: y = x+1 x Exponenciální a logaritmické funkce f: y = a x ; a = 1 D(f) = R; H(f) = R f není prostá f 1 Martina Litschmannová 19

24 3. cvičení - Exponenciální a logaritmické funkce f: y = a x ; a > 1 D(f) = R; H(f) = (0; ) f je prostá f 1 f 1 : y = log a x ; a > 1 D(f 1 ) = (0; ); H(f 1 ) = R POZOR! f: y = a x ; 0 < a < 1 D(f) = R; H(f) = (0; ) f je prostá f 1 log a a x = x platí x R a log a x = x platí pouze pro x (0; ) f 1 : y = log a x ; 0 < a < 1 D(f 1 ) = (0; ); H(f 1 ) = R Příklad 3.10 Určete pravdivostní hodnotu daných výroků. a) V1: 3 0,375 > 0 b) V2: 3 0,375 > 0 c) V3: 3 0,375 > 1 d) V4: 3 0,375 > 1 e) V5: ( 3) 0,375 > 0 f) V6: 3 0,375 > 0,3 0,375 g) V7: 3 0,375 > 0,3 0,375 Martina Litschmannová 20

25 Matematická analýza 1 Příklad 3.11 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) 3 x > 0 b) 0,3 x > 0 c) 3 x > 1 d) 0,3 x > 1 Logaritmus čísla x > 0 o základu a > 0, a 1 je takové číslo y, pro které platí a y = x, tj. log a x = y a y = x Příklad 3.12 Určete: a) log 2 8 b) log = log 100 c) log d) log e e 3 = ln e 3 = Příklad 3.13 Určete pravdivost daných výroků: a) V1: log 3 5 > 0 b) V2: log 3 0,2 > 0 c) V3: log 0,1 5 > 0 d) V4: log 0,1 0,25 > 0 e) V5: log 3 ( 5) > 0 f) V6: log 3 1 > 0 Věty o logaritmech a, z R + \{1}, x, y R +, c, n R: 1. Vztah mocniny a logaritmu: a log a x = x (např.: e ln x = x, 10 log x = x; 2 log 2 x = x) 2. Logaritmus součinu: log a x y = log a x + log a y 3. Logaritmus podílu: log a x y = log a x log a y 4. Logaritmus mocniny: log a x n = n log a x 5. Podíl dvou logaritmů: log a x log a z = log z x (např.: log 3 4 = log 4 log 3 = ln 4 ln 3 ) 6. Převod reálného čísla na logaritmus: c = log a a c (např.: 3 = log = log 10 3 = ln e 3 ) Martina Litschmannová 21

26 3. cvičení - Exponenciální a logaritmické funkce Příklad 3.14 Vypočtěte: a) log b) log log 6 4 c) log 3 18 log 3 2 d) log e) 3 log 8 2 Logaritmování Rovnice a f(x) = b g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1}, b R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) log c a = g(x) log c b pro c R + \{1}. Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování. Příklad 3.15 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 2 x = 10 b) 3 x = 13 x 1 c) 2 x 3 x 1 = 4 x+1 d) 3 7 x 7 x 1 = 60 Příklad 3.16 Najděte (existuje-li) inverzní funkci k funkci f: y = x 1. Martina Litschmannová 22

27 Matematická analýza 1 4. cvičení Goniometrické a cyklometrické funkce. Základní goniometrické rovnice a nerovnice. 4.1 Goniometrické funkce Martina Litschmannová 23

28 4. cvičení - Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 4.2 Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku sin φ = c b Goniometrické funkce základní tabulkové hodnoty cos φ = a b tg φ = sin φ cos φ = c a pro φ π + kπ, k Z 2 cotg φ = 1 cos φ = tg φ sin φ = a c pro φ kπ, k Z Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů: π 6 ; π 4 ; π 3 Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí? φ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin φ cos φ tg φ cotg φ Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí Martina Litschmannová 24

29 Matematická analýza 1 Příklad 4.1 Pomocí jednotkové kružnice určete: a) sin 3π 4 b) cos 3π 4 c) tg 3π 4 d) cotg 3π 4 e) sin 7π 6 f) cos 7π 6 g) tg 7π 6 h) cotg 7π 6 i) sin ( 4π ) 3 j) cos ( 4π ) 3 k) tg ( 4π ) 3 l) cotg ( 4π ) 3 Příklad 4.2 Načrtněte grafy následujících funkcí: a) f 1 : y = 1 sin (x π 2 ), b) f 2 : y = 2cos (x π 2 ) 1, c) f 3 : y = 1 3sin (2x π 2 ). 4.3 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce definujeme jako inverzní funkce k restrikcím funkcí goniometrických. Arkussinus f: y = sin x, x π 2 ; π 2, f 1 : y = arcsin x, x 1; 1 Martina Litschmannová 25

30 4. cvičení - Cyklometrické funkce Arkuskosinus f: y = cos x, x 0; π, f 1 : y = arccos x, x 1; 1 Arkustangens f: y = tg x, x ( π 2 ; π 2 ), f 1 : y = arctg x, x R Arkuskotangens f: y = cotg x, x (0; π), f 1 : y = arccotg x, x R Martina Litschmannová 26

31 Matematická analýza 1 Příklad 4.3 Je dána funkce f: y = sin 2x 1, x 3π + 1 ; 3π + 1. Určete funkci f 1 inverzní k funkci f. Příklad 4.4 Je dána funkce g: y = 3 2arccos(2x 3), x 1; 2. Určete funkci g 1 inverzní k funkci g. Příklad 4.5 Je dána funkce h: y = 3 2cotg(x + 2), x ( 2; π 2). Určete funkci h 1 inverzní k funkci h. 4.4 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. Základní goniometrická rovnice je každá rovnice zapsaná ve tvaru g(x) = a, kde g(x) je jedna z goniometrických funkcí (sin x, cos x, tg x, cotg x), a R, x R. (Uvědomte si, že při definici goniometrické rovnice uvažujeme, že x R, tzn. že hodnoty neznámé x uvádíme v obloukové míře!!!) Řešení základních goniometrických rovnic je přímo viditelné z grafů příslušných goniometrických funkcí nebo z jednotkové kružnice. Příklad 4.6: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin x = 1 2 cos x 1 4cos x+1 b) 2 = 1 cos x 3 2 c) tg x = 3 3 d) cotg x = 3 3 e) sin x = 0,374 1 (výsledek zapište s přesností na 2 des. místa) Složitější goniometrické rovnice Substituce na základní typ: Pomocí jednoduché substituce y = x + l nebo y = x l převedeme složitější gon. rovnici typu g(x + l) = k nebo g(x l) = k, kde g je gon. funkce s neznámou x a l, k jsou reálná čísla, na základní typ gon. rovnic g(x) = k. Příklad 4.7: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin 2x = 2 2 b) 2 cos(4π + 2x) = 1 Martina Litschmannová 27

32 4. cvičení - Goniometrické rovnice Substituce na kvadratickou rovnici Příklad 4.8: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) 2cos 2 x cos x 1 = 0 b) 2sin 2 x 3 = 3 cos x Dvojnásobný argument při řešení tohoto typu úloh se využívají vzorce pro dvojnásobný argument gon. funkcí: sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos 2 x sin 2 x Příklad 4.9: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) cos x + sin 2x = 0 b) 2 sin 2x 2 cos 2x = 2 Goniometrické funkce součtů a rozdílů, součet a rozdíl gon. funkcí při řešení tohoto typu úloh se používají následující vzorce: sin(x + y) = sin x sin y + cos x cos y sin(x y) = sin x sin y cos x cos y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y Příklad 4.10: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin (5x + π ) = sin x 4 b) cos 3x = cos 7x x + y x y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x y x + y sin x sin y = 2 sin cos 2 2 x + y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x + y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 Martina Litschmannová 28

33 Matematická analýza Goniometrické nerovnice Základní goniometrické nerovnice Příklad 4.11: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou x R. a) sin x > 0,5 b) cos x < 0,5 c) tg x 3 3 Složitější goniometrické nerovnice Příklad 4.12: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou x R. a) sin (2x π 4 ) 0,5 b) 2sin 2 x + 5 cos x Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice Příklad 4.13: Silnice má stoupání O kolik metrů se liší nadmořská výška dvou míst, která jsou od sebe po silnici vzdálená 2km? (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) Příklad 4.14: Železniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 12m a 8m, výška náspu je 3m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.) Příklad 4.15: Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníka. Jeho šířka je 14m, sklon střechy je 31. Jaká je výška štítu v metrech? (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.) Příklad 4.16: Na těleso působí v jednom bodě dvě síly: síla F1 o velikosti 760N působí ve vodorovném směru (zleva doprava) a síla F2 o velikosti 28,8N působí ve směru svislém (shora dolů). Těleso se vlivem těchto dvou sil dá do pohybu. Určete odchylku trajektorie tělesa od vodorovného směru. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.) Martina Litschmannová 29

34 5. cvičení - Základní pojmy 5. cvičení Posloupnosti a limita posloupnosti (opakování ze SŠ) Pro opakování použijte např.: Základní pojmy Definice 5.1 Posloupnosti reálných čísel (dále jen posloupnosti) budeme nazývat funkci, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N. Funkční hodnoty posloupnosti se nazývají členy posloupnosti. Funkční hodnota posloupnosti f v bodě n se nazývá n-tý člen posloupnosti a značí se místo f(n) zpravidla f n. Zadání posloupnosti a) vzorcem pro n-tý člen a n, např. a n = 2n 1, b) rekurentně zadáním prvního členu posloupnosti nebo několika prvních členů posloupnosti a vzorcem, podle něhož lze určit další členy podle předchozích členů. Např.: a 1 = 1, a 2 = 2, a n+1 = a n a n 1 + 1, n 3. Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů. Příklad 5.1 Určete prvních pět členů následujících posloupností a znázorněte graficky jejich průběh. a) a n = ( 1) n 1 b) a 1 = a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2, n 3 Některé vlastnosti posloupností Posloupnost (a n ) se nazývá shora ohraničená, právě když existuje c R takové, že pro všechna n N platí: a n c, zdola ohraničená, právě když existuje c R takové, že pro všechna n N platí: a n c, ohraničená, právě když existuje c R + takové, že pro všechna n N platí: a n c, rostoucí, právě když pro všechna n N platí: a n < a n+1, klesající, právě když pro všechna n N platí: a n > a n+1, nerostoucí, právě když pro všechna n N platí: a n a n+1, neklesající, právě když pro všechna n N platí: a n a n+1. Martina Litschmannová 30

35 Matematická analýza Aritmetická posloupnost Definice 5.2 Nechť (a n ) je posloupnost. Existuje-li d R takové, že pro všechna n N platí a n+1 = a n + d, říkáme, že (a n ) je aritmetická posloupnost a číslo d se nazývá diference. Pro každou aritmetickou posloupnost (a n ) platí: a) n-tý člen posloupnosti lze vyjádřit vzorcem a n = a 1 + (n 1)d, b) pro libovolné dva členy posloupnosti a r, a s platí a s = a r + (s r)d, c) pro součet s n prvních n členů posloupnosti platí s n = n 2 (a 1 + a n ). 5.3 Geometrická posloupnost Definice 5.3 Nechť (a n ) je posloupnost. Existuje-li q R takové, že pro všechna n N platí a n+1 = a n q, říkáme, že (a n ) je geometrická posloupnost a číslo q se nazývá kvocient. Pro každou geometrickou posloupnost (a n ) platí: a) n-tý člen posloupnosti lze vyjádřit vzorcem a n = a 1 q n 1, b) pro libovolné dva členy posloupnosti a r, a s platí a s = a r q s r, c) pro součet s n prvních n členů posloupnosti platí s n = a 1 q n 1 q 1 pro q 1. Je-li q = 1, pak s n = na Limita posloupnosti Definice 5.4 Řekneme, že posloupnost (a n ) má limitu a R, jestliže ke každému kladnému reálnému číslu ε existuje přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna přirozená čísla n větší nebo rovna n 0 platí a n a < ε. Píšeme lim a n = a. Symbolicky zapsáno: lim a n = a ( ε R + n 0 N n N, n n 0 : a n a < ε) Příklad 5.2 Dokažte z definice, že lim 1 n = 0. Definice 5.5 Řekneme, že posloupnost (a n ) má limitu plus nekonečno, jestliže ke každému reálnému číslu k existuje přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna přirozená čísla n větší nebo rovna n 0 platí a n > k. Píšeme lim a n =. Symbolicky zapsáno: lim a n = ( k R n 0 N n N, n n 0 : a n > k) Martina Litschmannová 31

36 5. cvičení - Limita posloupnosti Příklad 5.3 Dokažte z definice, že lim n =. Definice 5.6 Řekneme, že posloupnost (a n ) má limitu mínus nekonečno, jestliže ke každému reálnému číslu l existuje přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna přirozená čísla n větší nebo rovna n 0 platí a n < l. Píšeme lim a n =. Symbolicky zapsáno: lim a n = ( l R n 0 N n N, n n 0 : a n < l) Věta 5.1 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice 5.7 Posloupnost (a n ) se nazývá a) konvergentní, jestliže má vlastní limitu (tj. lim a n = a, a R), b) divergentní, jestliže má nevlastní limitu (tj. lim a n = ± ) nebo limita neexistuje. Věta 5.2 Každá konvergentní posloupnost je ohraničena. Definice 5.8 Nechť je dána posloupnost (a n ) a rostoucí posloupnost přirozených čísel (k n ). Posloupnost (b n ), pro jejíž členy platí b n = a kn, se nazývá posloupnosti vybranou z posloupnosti (a n ). Věta 5.3 Nechť posloupnost (a n ) má limitu a R. Pak každá z ní vybraná posloupnost má tutéž limitu. Definice 5.9 Limitu posloupnosti a n = (1 + 1 n )n nazýváme Eulerovo číslo a označujeme e. Věta 5.4 a) Nechť (a n ) je neklesající shora ohraničená posloupnost. Pak existuje konečná lim a n a rovná se supremu oboru hodnot této posloupnosti, tj. lim a n = sup{a n, nεn}. b) Nechť (a n ) je nerostoucí zdola ohraničená posloupnost. Pak existuje konečná lim a n a rovná se infimu oboru hodnot této posloupnosti, tj. lim a n = inf {a n, nεn}. c) Nechť (a n ) je neklesající posloupnost, která není shora ohraničená. Pak lim a n =. d) Nechť (a n ) je nerostoucí posloupnost, která není zdola ohraničená. Pak lim a n =. Martina Litschmannová 32

37 Matematická analýza 1 Příklad 5.4 Dokažte, že lim 2 n =. Příklad 5.5 Dokažte, že lim ( n )5n = e. 5.5 Výpočet limit Věta 5.5 Nechť lim a n = a, lim b n = b, a, b R. Pak platí: a) lim (a n + b n ) = a + b, b) lim (a n b n ) = a b, c) lim (a n b n ) = a b, d) lim ( a n ) = a, je-li b b n b n 0 pro všechna n N, e) lim a n = a, má-li příslušná pravá strana rovnosti smysl. Základní limity [1] lim c = c (c ε R), 1 [2] lim = 0, n [3] lim n =, [4] lim (1 + 1 n )n = e, n [5] lim n = 1, [6] lim q n = { 1 0 neexistuje pro q > 1, pro q = 1, pro q ε ( 1; 1), pro q 1. Příklad 5.6 Vypočtěte limity posloupnosti. a) lim (n 2 + 5n 1), b) lim (n 2 5n 1), c) lim ( n 2 + 5n), d) lim 5n2 +8n 1, 1+2n+3n 2 e) lim 5n2 +8n 1 1+2n 8n 1 1+2n+3n 2. f) lim, Martina Litschmannová 33

38 5. cvičení - Výpočet limit Příklad 5.7 Vypočtěte limity posloupnosti. a) lim ( 9n 2 4 2n), b) lim ( 9n 2 4 3n), 1 c) lim, n 2 +n n n n 3, n 4 +18n 3 2n 5 +3n+1+ 5n 2 +3n 2n n+1 5n 5 +1 d) lim e) lim Příklad 5.8 Vypočtěte limity posloupnosti. a) lim (1 + 1 n )3n, b) lim (1 + 1 n )n+5, c) lim (1 + 1 n )3n+4, d) lim ( n )n, e) lim ( n )3n+2, f) lim ( n+2 )3n+2. Příklad 5.9 Vypočtěte lim (1 1 n )n. Věta 5.6 Nechť jsou dány posloupnosti (a n ), (b n ) a nechť existuje n 0 N takové, že pro každé n N, n n 0 je a n b n. Jestliže dále a) lim a n = a, lim b n = b, a, b R, pak a b. b) lim a n =, pak lim b n =. c) lim b n =, pak lim a n =. Příklad 5.10 Vypočtěte lim n!. Věta 5.7 (o limitě sevřené posloupnosti) Nechť jsou dány posloupnosti (a n ), (b n ), (c n ) a nechť existuje n 0 N takové, že pro každé n N, n n 0 je a n c n b n. Jestliže lim a n = lim b n = L, L R, pak lim c n = L. Příklad 5.11 Vypočtěte limity posloupnosti. ( 1)n, n 3 +4n+5 a) lim b) lim 1 n cos n2 +1 2n 1. Martina Litschmannová 34

39 Matematická analýza 1 Věta 5.8 Nechť lim a n = 0 a posloupnost (b n ) je ohraničená. Pak lim a n b n = 0. Příklad 5.12 Vypočtěte lim sin(n2 +1) n. Příklad 5.13 Vypočtěte limity posloupnosti. 2n a) lim n, n b) lim, n 7 2n c) 3 n, n d) lim 2 n + 3 n. Příklad 5.14 Vypočtěte limity posloupnosti. a) lim ( 3n 3n 1 )3n, b) lim ( 2n n 1 )2n, c) lim ( 2n 3n 1 )n. Martina Litschmannová 35

40 6. cvičení - Limita funkce 6.1 Limita funkce 6. cvičení Limita a spojitost funkce Definice 6.1 (okolí a prstencové okolí) a) Okolím bodu x 0 R (podrobněji δ-okolím bodu x 0 ) rozumíme otevřený interval (x 0 δ; x 0 + δ), kde δ je kladné reálné číslo. Značíme je O(x 0 ). b) Okolím bodu + rozumíme každý interval (k; + ), kde k R. Značíme je O(+ ). c) Okolím bodu rozumíme každý interval ( ; k), kde k R. Značíme je O( ). d) Prstencovým okolím bodu x 0 R rozumíme množinu O(x 0 )\{x 0 }. Značíme je P(x 0 ). Definice 6.2 (definice limity) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu A R, jestliže ke každému okolí O(A) bodu A existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x P(x 0 ) platí f(x) O(A). Píšeme: lim x x 0 f(x) = A. Symbolicky zapsáno: lim f(x) = A ( O(A) P(x 0 ) x P(x 0 ): f(x) O(A)). x x 0 Poznámka: Limita nám nic neříká o tom, jak se funkce chová přímo v bodě x 0. Mluvíme o následujících případech limity (x 0, A R): vlastní limita ve vlastním bodě lim f(x) = A, x x0 nevlastní limita ve vlastním bodě lim f(x) = ±, x x0 vlastní limita v nevlastním bodě lim f(x) = A, x ± nevlastní limita v nevlastním bodě lim f(x) = ±. x ± 6.2 Jednostranné limity Definice 6.3 a) Levým prstencovým okolím bodu x 0 R rozumíme interval (x 0 δ; x 0 ), kde δ je kladné reálné číslo. Značíme je P (x 0 ). b) Pravým prstencovým okolím bodu x 0 R rozumíme interval (x 0 ; x 0 + δ), kde δ je kladné reálné číslo. Značíme je P + (x 0 ). Definice 6.4 a) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu zleva rovnu A R, jestliže ke každému okolí O(A) bodu A existuje levé prstencové okolí P (x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x P (x 0 ) platí f(x) O(A). Píšeme: lim f(x) = A. x x 0 Martina Litschmannová 36

41 Matematická analýza 1 b) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu zprava rovnu A R, jestliže ke každému okolí O(A) bodu A existuje pravé prstencové okolí P + (x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x P + (x 0 ) platí f(x) O(A). Píšeme: lim f(x) = A. x x Vlastnosti limit Věta 6.1 Nechť x 0 R, A R. Limita v bodě x 0 existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. Zapsáno symbolicky: lim f(x) = A ( lim f(x) = lim f(x) = A. ) x x 0 x x 0 x x+ 0 Věta 6.2 Funkce f má v bodě x 0 R nejvýše jednu limitu. Věta 6.3 Nechť x 0 R a nechť existují lim f(x) a lim g(x). Pak platí: x x0 x x0 [1] lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x), x x0 x x0 x x0 [2] lim [f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x), x x0 x x0 x x0 [3] lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x), x x0 x x0 x x0 [4] lim f(x) = lim f(x), x x0 x x0 jsou-li definovány pravé strany výše uvedených rovností. 6.4 Spojitost Definice 6.5 Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 R, jestliže platí lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Věta 6.4 Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě x 0 R. Pak i funkce f ± g a f g jsou spojité v bodě x 0. Je-li navíc g(x 0 ) 0, je i funkce f/g spojitá v bodě x 0. Věta 6.5 Nechť funkce f je spojitá v bodě x 0 R a nechť funkce g je spojitá v bodě f(x 0 ). Pak funkce g f je spojitá v bodě x 0. Martina Litschmannová 37

42 6. cvičení - Výpočet limit Věta 6.6 Nechť funkce f je základní elementární funkce a nechť x 0 je vnitřním bodem definičního oboru D(f). Pak funkce f je spojitá v bodě x Výpočet limit Limity funkcí spojitých v bodě Příklad 6.1 Vypočtěte následující limity. a) lim x 0 sin x b) lim x 0 arctg x c) lim e x x 0 Příklad 6.2 Vypočtěte následující limity. a) lim x 1 (ln x + x 2 + 3) b) lim ex +2x sin x x 0 ln(1+x)+(x+1) cos x c) lim(x tg x) x π 4 Limity v nevlastních bodech a v bodech, v nichž není funkce definována Příklad Dokažte, že platí lim = a lim =. x 0 x x 0 + x Limity dle věty o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí (věta 6.3) Poznámka: Připomeňme si výrazy, které nejsou definovány: 0 (± ) A 0 (A R ) ± ± Příklady 6.4 Vypočtěte následující limity. a) lim x (ex + x) b) lim x x arctg x c) lim x ( x2 + 1 x) Příklad 6.5 Vypočtěte lim x 0 1 x 2. Věta 6.7 Nechť funkce f a g jsou funkce a nechť existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 R takové, že pro každé x P(x 0 ) platí f(x) = g(x). Nechť lim g(x) = A, A R. Pak existuje lim f(x) a platí x x0 x x0 lim f(x) = A. x x 0 Martina Litschmannová 38

43 Matematická analýza 1 Příklady 6.6 Vypočtěte následující limity. x a) lim 2 1 x 1 x+1 x+1 1 b) lim x 0 x tg x sin x c) lim x 0 sin 3 x d) lim x 1 x2 x x 1 e) lim x 2 x3 8 x 4 16 f) lim x2 1 x 1 x 1 Příklady 6.7 Vypočtěte následující limity. a) lim x x2 x+1 2x 2 +x 1 b) lim x 2x2 +3 3x 4 1 c) lim x x( x2 + 9 x 2 9) Věta 6.8 Nechť f, g, h jsou funkce a nechť existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 R takové, že pro každé x P(x 0 ) platí g(x) f(x) h(x). Nechť lim g(x) = lim h(x) = A, A R. Pak existuje x x0 x x0 lim f(x) a platí lim f(x) = A. x x 0 x x0 sin x Poznámka: Zapamatujte si, že lim = 1. Důkaz lze najít např. v [1]. x 0 x Příklady 6.8 Vypočtěte následující limity. tg x a) lim x 0 x sin x x b) lim x 0 sin x+x 1 cos c) lim 2x+tg2 x x 0 x sin x Věta 6.9 Nechť f, g jsou funkce a lim x x0 f(x) = 0. Nechť existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 R takové, že funkce g je na tomto okolí ohraničená. Pak lim x x0 f(x)g(x) = 0. Příklad 6.9 Vypočtěte následující limity. a) lim x 0 xsin 1 x cos b) lim ex2+x+1 x x Věta 6.10 Nechť x 0 R, A R a nechť platí a) lim x x0 g(x) = A, b) Funkce f je spojitá v bodě A. Pak složená funkce f g má v bodě x 0 limitu a platí lim f(g(x)) = f ( lim g(x)) = f(a). x x 0 x x0 Martina Litschmannová 39

44 6. cvičení - Výpočet limit Příklad 6.10 Vypočtěte limitu lim x 0 cos (x 2 sin 1 x ). Věta 6.11 Nechť x 0 R, A, B R a nechť platí a) lim x x0 g(x) = A, b) lim y A f(y) = B, c) Existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro každé x P(x 0 ) je g(x) A. Pak lim x x0 f(g(x)) = B. Příklad 6.11 Vypočtěte následující limity. sin 5x a) lim x 0 x 3 1+x 1 x 0 x b) lim Příklad 6.12 Vypočtěte limitu lim x 0 + xln x. Věta 6.12 Nechť f je funkce a nechť existuje pravé prstencové okolí P + (x 0 ) bodu x 0 R takové, že pro každé x P + (x 0 ) platí f(x) > 0 (resp. f(x) < 0). Nechť lim lim x x f(x) = ). x x 0 + f(x) = 0. Pak platí lim 1 x x+ f(x) 0 = + (resp. Analogicky pro levé prstencové okolí. Poznámka: Skutečnost obsaženou v předchozí větě budeme symbolicky zapisovat = +, 1 0 =. Příklad 6.13 Vypočtěte následující limity. a) lim x x 2 + x 2 1 b) lim x π + sin x c) lim arctg x x arccotg x Příklad 6.14 Existují-li následující limity, určete jejich hodnotu. sin x+1 a) lim x 0 sin x b) lim x 0 cos x+1 cos x 1 c) lim x 3 x 2 (x+2) 2 Martina Litschmannová 40

45 Matematická analýza 1 Využití limit pro ověření spojitosti funkce v bodě x 0 Příklad 6.15 Určete, zda jsou následující funkce spojité v bodě x 0. x + 1 pro x 1 a) x 0 = 1, f(x) = { b) x 0 = 2, f(x) = x 2 3 pro x = 1 x 2 Martina Litschmannová 41

46 7. cvičení - Definice derivace 7. cvičení Derivace 7.1 Definice derivace Derivování je přechod od funkce f, jenž udává vztah mezi proměnnými x a y, k funkci f, jenž udává vztah mezi proměnnou x a směrnici tečny funkce f v bodě x. Hodnota f (x), udává v každém bodě x sklon funkce f (směrnici její tečny). Funkci f (x) nazýváme derivací funkce f. Geometrický model Geometrický model derivace (převzato z [1]) Definice 7.1 Nechť x 0 D(f). Existuje-li limita f(x) f(x lim 0 ), x x 0 x x 0 značíme ji f (x 0 ) a nazýváme ji derivací funkce f v bodě x 0. Je-li f (x 0 ) R, pak říkáme, že funkce f má v bodě x 0 vlastní derivaci. Je-li f (x 0 ) = ±, pak říkáme, že funkce f má v bodě x 0 nevlastní derivaci. Definice 7.2 Nechť x 0 D(f). f(x) f(x Existuje-li limita lim 0 ), značíme ji f x x+ x x + (x 0 ) a nazýváme ji derivací zprava funkce f v bodě x Existuje-li limita lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, značíme ji f (x 0 ) a nazýváme ji derivací zleva funkce f v bodě x 0. Martina Litschmannová 42

47 Matematická analýza 1 Funkce f má v bodě x 0 derivaci, právě když existují obě jednostranné derivace funkce f v bodě x 0 a jsou si rovny. Příklad 7.1 Užitím definice derivace zjistěte, zda existují derivace následujících funkcí v bodě x 0. a) f(x) = sin x, x 0 = 0 b) f(x) = sin x, x 0 = 0 c) f(x) = x 4 3x 2 + 2, x 0 = 0 Věta 7.1 Má-li funkce f má v bodě x 0 R vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. 7.2 Pravidla pro počítání s derivacemi [1] (c) = 0, c R (konst. ), x R, [2] (x r ) = r x r 1, r R, x R +, [3] (sin x) = cos x, x R, [4] (cos x) = sin x, x R, [5] (e x ) = e x, x R. Věta 7.2 Nechť existují derivace funkcí f a g v bodě x 0 R. Pak také funkce fg, f a cf, kde c R je konstanta g mají v bodě x 0 R derivaci a platí a) (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ), b) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ), c) ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ), je-li g(x g 2 (x 0 ) 0 ) 0, d) (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ). Příklad 7.2 Vypočtěte f, je-li f dána předpisem: a) f(x) = x 4 3x b) f(x) = 3 sin x + 2e x 1 x d) f(x) = x 4 sin x e) f(x) = 2x+1 x 4 +2 c) f(x) = xe x f) f(x) = tg x [6] (tg x) = 1 cos 2 x {π + kπ}, k Z, 2 [7] (cotg x) = 1, x R\{kπ}, k Z. sin 2 x Martina Litschmannová 43

48 7. cvičení - Pravidla pro počítání s derivacemi Věta 7.3 Derivace inverzní funkce Nechť f: x = f(y) je spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť y 0 je vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y 0 derivaci f (y 0 ). Pak inverzní funkce f 1 : y = f 1 (x) má v bodě x 0 = f(y 0 ) derivaci a platí 1 (f 1 ) f (x 0 ) = (y 0 ), je li f (y 0 ) 0, +, je li f (y 0 ) = 0 a funkce f je na I rostoucí, {, je li f (y 0 ) = 0 a funkce f je na I klesající. Příklad 7.3 Vypočtěte derivaci funkce dané předpisem f(x) = ln x. [8] (ln x) = 1 x, x R+, [9] (arcsin x) = 1, x ( 1; 1), 1 x2 [10] (arccos x) = 1, x ( 1; 1), 1 x2 [11] (arctg x) = 1, x R, x 2 +1 [12] (arccotg x) = 1, x R. x 2 +1 Věta 7.4 Derivace složené funkce Uvažujme složenou funkci F = f g. Předpokládáme, že existuje derivace funkce g v bodě x 0 a derivace funkce f v bodě u 0 = g(x 0 ). Pak i složená funkce F má derivaci v bodě x 0 a platí (F) (x 0 ) = (f g) (x 0 ) = f (u 0 )g (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Příklad 7.4 Vypočtěte F, je-li F dána předpisem: a) F(x) = (x 4 3x 2 + 2) 10 b) F(x) = sin 5x c) F(x) = ln sin x d) F(x) = x 4 2 e) F(x) = a x, a > 0, a 1 [13] (a x ) = a x ln a, a R + \{1}, [14] (log a x) = 1 x ln a, a R+ \{1}, x R +. Příklad 7.5 Vypočtěte f, je-li f dána předpisem: a) f(x) = ln(1 + cos x) b) f(x) = 1 ex 1+ex c) f(x) = arctg 6x 1 d) f(x) = sin 2 x e) f(x) = sin x 2 f) f(x) = log 3 x 4 Derivace funkcí f(x) g(x) Využíváme známého vztahu f(x) g(x) = e g(x) ln f(x). Martina Litschmannová 44

49 Matematická analýza 1 Příklad 7.6 Vypočtěte f, je-li f dána předpisem: a) f(x) = x x cos x b) f(x) = (sin x) 7.3 Derivace vyšších řádů Definice 7.3 Nechť n N. Potom n-tou derivací (nebo derivací n-tého řádu) funkce f rozumíme funkci, kterou označujeme f (n) (x) a definujeme rovností přičemž f (0) (x) = f. f (n) (x) = (f (n 1) (x)), Příklad 7.7 Vypočtěte třetí derivaci funkce f dané předpisem. a) f(x) = cos 2 x b) f(x) = x ln x c) f(x) = xe 2x Tečna a normála Definice 7.4 Přímka t o rovnici y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) se nazývá tečna ke grafu funkce f v dotykovém bodě T = (x 0, f(x 0 )). Přímka n, která prochází bodem T a je kolmá k tečně t, se nazývá normála ke grafu funkce f v dotykovém bodě T. Příklad 7.8 Tečna a normála ke grafu funkce (převzato z [1]) Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f dané předpisem f(x) = 8 4+x 2 v dotykovém bodě T = (2,? ). Martina Litschmannová 45

50 7. cvičení - Fyzikální význam derivace Příklad 7.9 Určete rovnice tečen ke grafu funkce f dané předpisem f(x) = x3 + 2, které jsou kolmé k přímce p: x + +2y + 3 = Fyzikální význam derivace Předpokládejme, že přímočarý pohyb hmotného bodu je popsán funkcí s(t), která udává polohu hmotného bodu v závislosti na čase. Nechť existuje první a druhá derivace funkce s(t). v(t 0 ) = s (t 0 ) nazýváme okamžitou rychlostí bodu v čase t 0. a(t 0 ) = v (t 0 ) = s (t 0 ) nazýváme okamžitým zrychlením bodu v čase t 0. Příklad 7.10 Dráha pohybujícího se tělesa je popsána funkcí s danou předpisem s(t) = 2t 3 15t t + 2. Přitom dráha s je vyjádřena v metrech a čas t v sekundách. Zjistěte, ve kterém okamžiku je rychlost nulová. Martina Litschmannová 46

51 Matematická analýza L Hospitalovo pravidlo (LP) 8. cvičení L Hospitalovo pravidlo Věta 8.1 Nechť x 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek: lim f(x) = lim g(x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ±. x x0 Existuje-li lim f (x) x x0 g (x), pak existuje také lim f(x) x x 0 g(x) Zpracováno dle podkladů Petry Vondrákové. f(x) a platí lim = lim f (x). x x 0 g(x) x x 0 g (x) Poznámky: LP platí i pro jednostranné limity. f(x) LP říká, že limita lim se dá v případě, že se jedná o limitu typu x x0 g(x) [0 ] nebo [cokoliv ] nahradit 0 ± limitou lim f(x) x x0 g(x), za předpokladu, že lim x x 0 f(x) g(x) existuje. LP se dá využít i pro limity typu [0 (± )],, f(x) g(x). (Nejprve upravíme na [ 0 0 ], [± ± ], [ ± ]) POZOR! Pokud lim f (x) f(x) neexistuje, nelze LP použít!!! Rozhodně to však neznamená, že lim x x0 g (x) x x 0 g(x) neexistuje. Příklad 8.1 Vypočtěte následující limity: sin x a) lim x 0 x d) lim e2x 2x 1 x 0 sin 2 3x b) lim ex 1 x 0 x e) lim ex 1 x x cos x c) lim x 0 x sin x f) lim 2x3 +x 2 x 3x 3 +2x 2 +x Příklad 8.2 Vypočtěte následující limity: sin x a) lim x x b) lim x x x Limity typu [0 (± )] Převedeme na typ [ 0 ] nebo [± ]. 0 ± Příklad 8.3 Vypočtěte následující limity: a) lim x 0 +(x ln x) d) lim x 0 + sin x ln 1 x b) lim x (x2 e x ) c) lim x 0 + (x e 1 x) Martina Litschmannová 47

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Martina Litschmannová

Martina Litschmannová VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Základy matematiky Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Základy matematiky 1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou rozumějme

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Martina Litschmannová

Martina Litschmannová VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Základy matematiky Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Základy matematiky 1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)

Doporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV) Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více