Průběh funkce. Robert Mařík. 27. června 2006
|
|
|
- Iva Benešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Průběh funkce Robert Mařík 27. června 26 c Robert Mařík, 26
2 Obsah y = x 1 x y = 3x 1 x y = 2(x2 x 1) (x 1) y = x3 3 x y = x2 1 x c Robert Mařík, 26
3 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) Omezení na definiční obor 2 = 1 vyplývá ze jmenovatele zlomku. x2 2x 2 Výraz x 2 1nesmíbýtnulový. (1 x 2 ) 2 To je však zajištěno pro = všechna 1 x2 reálná čísla. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
4 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 Čitatel, x,jelicháfunkce,jmenovatel, (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ),jefunkcesudá. Jako celek je tedy zlomek = 1 lichá x2 funkce. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
5 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Určíme průsečík s osou x a znaménko (1 x 2 ) 2 funkce na jednotlivých intervalech. c Robert Mařík, 26
6 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Určíme průsečík s osou x a znaménko (1 x 2 ) 2 funkce na jednotlivých intervalech. c Robert Mařík, 26
7 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Zlomek je roven nule právě tehdy, (1 xkdyž 2 ) 2 čitatel je nulový. c Robert Mařík, 26
8 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Zakreslíme průsečík x = na (1 osu x. x 2 Funkce ) 2 nemá žádný bod nespojitosti. c Robert Mařík, 26
9 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) Jmenovatel (1 x 2 )jestálekladný. (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 Čitatel zlomku má proto stejné znaménko jako celý zlomek (1 x 2 ) 2 Funkce je kladná, je-li = x kladné 1 x2 a naopak. (1 x 2 ) 2 x 1 x 2. c Robert Mařík, 26
10 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 Určíme ity v nekonečnu. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
11 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = Víme,žeovýsledkurozhodujíjenomvedoucíčlenyvčitateliave y = 1(1 x2 ) x( 2x) jmenovateli. (1 x 2 ) 2 Zelenou část lze vynechat. = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) x 2 Zbytekzkrátíme: x 2 = = 1 x 1. x2 (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
12 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = Dosadíme. y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
13 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = x 1 x 2 = x = x ± x 1x 2 = 1 x ± x = 1 ± = y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x Oběhodnoty 1 2 i 1 jsounulové. (1 x 2 ) 2 Funkcemávodorovnouasymptotu = 1 x2 y = pro xjdoucík±. (1 x 2 ) 2 c Robert Mařík, 26
14 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 Vypočtemederivaci. y = Derivujeme podíl podle vzorce 1 xpro 2 (1 x 2 ) 2 = derivaci podílu. c Robert Mařík, 26
15 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 Upravíme. (1 x 2 ) 2 = c Robert Mařík, 26
16 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1(1 x2 ) x( 2x) (1 x 2 ) 2 = 1 x2 2x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x2 (1 x 2 ) 2 y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 Upravíme. (1 x 2 ) 2 = c Robert Mařík, 26
17 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Hledámeřešenírovnice ց y =. min ր MAX ց c Robert Mařík, 26
18 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Dosadíme za derivaci. ց min ր MAX ց c Robert Mařík, 26
19 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Zlomek je nulový, ցmá-li nulový min čitatel. ր MAX ց c Robert Mařík, 26
20 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Vyjádříme x 2. ց min ր MAX ց c Robert Mařík, 26
21 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1 x 2 = x 2 = 1 x 1 = 1 x 2 = 1 Vypočítáme x. Dostáváme ց min dvě řešení. ր MAX ց c Robert Mařík, 26
22 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] Nakreslíme osu x a stacionární (1 body. x 2 ) 4 Nejsou žádné body = 2x[3 nespojitosti. x2 ] (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26
23 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Testujeme x = 2. Dostáváme = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 y 1 4 (2) = x2 ] kladnáhodnota <. (1 x 2 ) 3 ) 2 c Robert Mařík, 26
24 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] Testujeme x =. (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 y ]() = 1 1 > (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26
25 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Funkcemálokálníminimumvbodě = 2x(1 x2 )[(1 x x = 2 ) 1.Funkčníhodnotaje (1 x 2 )2] (1 1 x 2 ) 4 = 2x[3 y(1) = x2 ] 1 (1) 2 = 1 2. (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26
26 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 Testujeme x = 2. Platí = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) = 2x[3 y 1 4 (2) = x2 kladnáhodnota ] <. (1 x 2 ) 3 ) 2 c Robert Mařík, 26
27 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ց min ր MAX ց 1 1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) Funkcemálokálnímaximumvbodě = 2x(1 x2 ) 2 (1x = x1.funkčníhodnotaje 2 )2(1 x 2 )( 2x) x 2 ) 4 = 2x(1 y(1) x2 = )[(1 y(1) x 2 ) = (1 1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 2, kdejsmevyužilitoho,žefunkcejelicháahodnota = 2x[3 x2 ] y(1)jižbyla vypočítána. (1 x 2 ) 3 2 c Robert Mařík, 26
28 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 Vypočteme druhou derivaci. c Robert Mařík, 26
29 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] Derivuje podíl podle (1 vzorce x 2 ) 3 pro derivaci podílu. = 2 x(x2 3) Jmenovatel derivujeme (1 x 2 jako ) 3 složenou funkci. Tím se nezbavíme možnosti vytknout v čitateli a zkrátit zlomek. c Robert Mařík, 26
30 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 Vytkneme ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 c Robert Mařík, 26
31 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 Zelené části se zkrátí. Zjednodušíme výraz v hranaté závorce. c Robert Mařík, 26
32 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 ( 1 x y 2 = (1 x 2 ) 2 ) = 2x(1 x2 ) 2 (1 x 2 )2(1 x 2 )( 2x) (1 x 2 ) 4 = 2x(1 x2 )[(1 x 2 ) (1 x 2 )2] (1 x 2 ) 4 = 2x[3 x2 ] (1 x 2 ) 3 = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 c Robert Mařík, 26
33 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vyřešíme y =. c Robert Mařík, 26
34 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Zlomek je nulový, je-li nulový jeho čitatel. c Robert Mařík, 26
35 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Jsoudvěmožnosti:buď x =,nebo x 2 3 =.Druházmožnostívedena rovnici x 2 = 3 x = ± 3. c Robert Mařík, 26
36 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x 1,2 = ±1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vyznačíme body na osu x. Nejsou zde žádné body nespojitosti. c Robert Mařík, 26
37 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 2. y 2(4 3) (2) = 2 kladnáhodnota <. c Robert Mařík, 26
38 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 1.Funkcejevtomtoboděkonvexní,protožejezde lokální minimum. c Robert Mařík, 26
39 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Vbodě x = 3jeinflexe.Funkčníhodnotaje y( 3) = c Robert Mařík, 26
40 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 1.Funkcejevtomtoboděkonkávní,protožejezdelokální maximum. c Robert Mařík, 26
41 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Testujeme x = 2. Dostáváme y 2(4 3) (2) = 2 něcokladného >. c Robert Mařík, 26
42 y = x 1 x 2 D(f ) = R;lichá; y = 1 x2 (1 x 2 ) 2; x ց 1,2 = ±1 minր MAX ց 1 1 y = 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 2 x(x2 3) (1 x 2 ) 3 = x(x2 3) = x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 3 in. 3 in. 3 Inflexevbodě x = 3.Funkčníhodnotaje y( 3 3) = c Robert Mařík, 26
43 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 f (± 3) ±.433 Vypíšeme si nejdůležitější výsledky. c Robert Mařík, 26
44 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ± x Zakreslíme souřadný systém. c Robert Mařík, 26
45 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ± x Vbodě x = jeprůsečíksosou x.funkčníhodnotysevtomtoboděmění z kladných na záporné. c Robert Mařík, 26
46 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ± x Zachytíme informaci o vodorovné tečně v ±. Dáváme si pozor na znaménko funkce, musíme graf správně nakreslit nad nebo pod asymptotu. c Robert Mařík, 26
47 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ± x c Robert Mařík, 26
48 ց minր MAX ց 1 1 in. 3 in. 3 f () = f (± ) = f (±1) = ± 1 2 y f (± 3) ± x c Robert Mařík, 26
49 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = x 3 c Robert Mařík, 26
50 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x 1 x x 3 = 1 = Určíme definiční obor. 3x 1 x x 3 = 1 = Ve jmenovateli nesmí 3x být 1nula. 3 x ± x 3 = x ± x 2 = 3 = c Robert Mařík, 26
51 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 3 Určímeprůsečíksosou xjakořešenírovnice x ± x 3 = x ± x 2 y = 3. = c Robert Mařík, 26
52 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = x 3 c Robert Mařík, 26
53 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = x 3 c Robert Mařík, 26
54 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y = 3x 1 x 3 = 3x 1 = x = x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 x x 3 = 1 = Funkcemásosou xjedinýprůsečík 3x 1 3 x ± x 3 = x = 1 x ± x3 2 = 3 = c Robert Mařík, 26
55 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 Určíme znaménka funkce. x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Rozdělíme osu x pomocí průsečíků a bodů nespojitosti) na podintervaly, kde se znaménko y = 3x3 zachovává. (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26
56 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Uvažujme interval zcela vlevo. Zvolme x = 1 a vypočteme ) y(1) = 3 1 = y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 >. 1 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26
57 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Uvažujmeprostředníinterval,zvolme x = 1 4 avypočteme y( 1 y = 3x3 4 ) = (3x 1 = 64 1)3x 2 (x 3 ) 2 = 3x (x 2 = 16 <. ) (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6
58 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = V posledním intervalu zvolme x = 1 a vypočteme ) y(1) = 3 1 y = 3x3 (3x 1)3x 2 = 3x 4 (x 2 >. 1 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26
59 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Najdeme jednostranné ity (x 3 v ) 2 bodech = nespojitosti. x 6 c Robert Mařík, 26
60 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Dosazení x = vedekvýrazutypu nenulovývýraz (x 3 ) 2 =. nula x 6 c Robert Mařík, 26
61 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = Z přednášky víme, že jednostranné ity jsou nevlastní. Schéma se znaménkem funkce umožňuje odhalit, zda) se funkce blíží k plus nebo y minus = 3x3 nekonečnu. (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26
62 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 Určíme ity v nevlastních (x bodech. 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6
63 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) Víme, že pouze vedoucí y = 3x3 členy (3x jsou 1)3x podstatné 2 3x (x 2 v itě (3x tohoto 1) typu a ostatní členy můžeme vynechat. (x 3 ) 2 = x 6 c Robert Mařík, 26
64 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 Zkrátíme x. y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6
65 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 Dosadíme. y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x 1) c Robert Mařík, 26 x 6
66 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 x ± 3x 1 x x 3 = 1 = 3x 1 = 1 x = 3x 1 x 3 x 3 = x ± 3 x 2 = 3 = 1 3 ) Limita je vypočtena. y = 3x3 (3x 1)3x 2 3x (x 2 (3x 1) Funkcemávodorovnouasymptotu (x 3 ) 2 y = = v±. x 6 c Robert Mařík, 26
67 ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց
68 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց Derivujeme ր MAX ցpodíl. ց 1 2 ( u v ) = u v uv v 2 ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26
69 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Vytknutím rozložíme na součin. ( ) 2x 1 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26
70 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր ր Zkrátíme. MAX ց ց Roznásobímezávorku. 1 2 MAX ց 1 2 ց ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26
71 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Zjednodušíme. ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26
72 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; 1 3 y = 3x3 (3x 1)3x 2 (x 3 ) 2 = y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = 1 2 ) 3x (x 2 (3x 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 x 6 ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց ց 1 2 Máme derivaci. ( 2x 1 ) 2x 4 (2x 1)4x 3 c Robert Mařík, 26
73 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց Máme derivaci. ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26
74 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 Rovnice y = jeekvivalentnírovnici x 8 = 6 2x x 8 1 =. c Robert Mařík, 26
75 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 Vyznačíme stacionární bod x 8 a bod= nespojitosti 6 x 8 na osu x. c Robert Mařík, 26
76 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y (1) = = 6 = 3x4 3 > 2x 3 (3x 2)x3 1 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26
77 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y ( 1 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 3 ) <,protožefunkceměníznaménkozkladnéhonazáporné. x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26
78 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 Funkcemálokálníminimumvbodě = 3 2x4 8x 4 x 4x= 3 1 x 8 = 3 6x4 4x 3 2.Funkčníhodnotaje x 8 y( 1 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 2 ) = = = 4. 8 x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26
79 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; x 1 = ր MAX ց 1 2 ց ր MAX ց 1 2 ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 y (1) = 3 3 = 6 3x4 2x 3 (3x 2)x3 1 = 9 < x 8 = 6 x 8 c Robert Mařík, 26
80 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
81 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
82 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
83 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
84 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
85 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
86 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; ր MAX ց ց ( ) 2x 1 y = 3 x 4 = 3 2x4 (2x 1)4x 3 (x 4 ) 2 = 3 2x4 8x 4 4x 3 x 8 = 3 6x4 4x 3 x 8 = 6 3x4 2x 3 x 8 = 6 = 6 3x 2 x 5 y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = 2 3 (3x 2)x3 x 8 in. c Robert Mařík, 26
87 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 c Robert Mařík, 26
88 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 y = pro 3x 2 =,t.j. x = 2 3. c Robert Mařík, 26
89 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 c Robert Mařík, 26
90 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 y (1) = = 6 > c Robert Mařík, 26
91 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 y ( 1 3 ) = < c Robert Mařík, 26
92 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 Inflexníbod x = 2 3. y(2 3 ) = c Robert Mařík, 26
93 y = 3x 1 x 3 D(f ) = R \ {}; y (x) = 3 2x 1 x 4 ; y = 6 3x 2 x 5 ; x 2 = ր MAX ց ց in. 2 3 y (1) = = 3 > c Robert Mařík, 26
94 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, Shrneme dosažené výsledky. c Robert Mařík, 26
95 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
96 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
97 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
98 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
99 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
100 1 3 ր MAX ց 1 2 ց in. 2 3 f ( 1 3 ) = f ( 2 3 ) 3.4 f () =, f () = f ( 1 2 ) = 4 f (± ) =, y x c Robert Mařík, 26
101 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = c Robert Mařík, 26
102 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = Určíme definiční obor z podmínky 1 Platí 2(x 2 x 1) x 1 x 1 (x 1) 2 = 2. = 2(x 2 x 1) x x 1 (x 1) 2 = 2 1. = c Robert Mařík, 26
103 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y() = 2( 1) ( 1) 2 = 2 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) Určíme průsečík s osou y. x 1 (x 1) 2 = 2 = Dosadíme x = 2(x ahledáme 2 x 1) y(). x 1 (x 1) 2 = 2 = c Robert Mařík, 26
104 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Určíme průsečík 2(xs 2 osou x x. 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Dosadíme y = ařešímerovnici 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 = 2 1 = 2 x ± c Robert Mařík, 26
105 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = Čitatel musí být nula. 2(x 2 x 1) x ± (x 1) 2 = x ± x 2 x ± c Robert Mařík, 26 2x 2 = 2 1 = 2
106 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 2(x 2 x 1) (x 1) 2 = x 2 x 1 = Tato kvadratická rovnice nemá řešení, 1protože ze vzorce 2(x 2 x 1) x x 1 (x 1) 2 = 2 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = Obdržíme záporný diskriminant. 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = D = b 2 4ac = = 3 < 2(x 2 x 1) 2x 2 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 = x ± 1 = 2 c Robert Mařík, 26
107 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Nakreslímeosu xabodnespojitosti 2 x = 1. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
108 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Víme,že y() = 2 >.Funkcejekladnána 2 (, 1). (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
109 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 2(4 2 1) Vypočteme y(2) = (x 1) (2 1) 2 2 >.Funkcejekladnána (1, ). (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
110 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Určíme jednostranné ity v 2 bodě nespojitosti (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
111 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) 2 Dosadíme x = 1. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
112 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Odvodíme výsledek. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
113 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Určíme ity v ±. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
114 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 = 2 (x 1) Uvažujeme jenom vedoucí členy. 2 (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
115 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x 1 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) x 1 (x 1) 2 = 2 = 2(x 2 x 1) 2x 2 x ± (x 1) 2 = x ± x 2 2 = x ± 1 = 2 ( x y 2 ) x 1 Funkcemákladnouituv±.Vodorovnápřímka = 2 (x 1) 2 y = 2jeasymptotou kegrafuvbodech ±. (2x 1)(x 1) 2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) c Robert Mařík, 26
116 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Vypočteme = 2 x derivaci 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
117 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 Užijeme= vzorec 2 2x2 pro 2x derivaci x 1 podílu. (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 ( u (x 1) 3 = 2 x ) 1 u v uv = v (x 1) 3 v 2. Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivování výrazu (x y = 2 x 1) 2 1. (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
118 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Vytkneme = 2 x (x 1 (x 1) 3; 1). x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
119 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Roznásobíme = 2 x 1 závorky (x 1) 3; x 1 = a1...lok.minimum, zkrátíme (x 1). y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
120 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Upravíme = 2 x čitatel. 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
121 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x ( x y 2 x 1 = 2 (x 1) 2 ) = 2 (2x 1)(x 1)2 (x 2 x 1)2(x 1)(1 ) ((x 1) 2 ) 2 = 2(x 1) (2x 1)(x 1) (x2 x 1)2 (x 1) 4 = 2 2x2 2x x 1 (2x 2 2x 2) (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 = 2 x 1 (x 1) 3 y Derivace = 2 x je nalezena. 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 c Robert Mařík, 26
122 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = x 1 (x 1) 3 = x 1 = x = 1 ց min 1 ր 1 ց ( x 1 y = 2 (x 1) Řešímerovnici y =. 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ) c Robert Mařík, 26
123 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = x 1 (x 1) 3 = x 1 = x = 1 ց min 1 ր 1 ց ( x 1 y = 2 (x 1) Čitatel musí být nula. Stacionárním 3 = 2 1(x bodem je tedy x = 1. 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ) c Robert Mařík, 26
124 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. x 2 c Robert Mařík, 26 ց
125 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 Určíme y (2). 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 y (2) = = 2 2 2x2 4 1 (x 1) 4 = 4 x 2 (2 1) 3 = (x 2záp.hodnota 1) záp.hodnota < 4 x 2 c Robert Mařík, 26 ց
126 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 Určíme y (). x 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 ց 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 y () = 2 2x 1 4 (x 4 4 x 2 ( 1) 3 = 2kladnáhodnota (xzápornáhodnota 1) > 4 c Robert Mařík, 26
127 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 Lokálníminimumjevbodě 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x x 1) = 1.Funkčníhodnotaje (x 1) 6 y(1) = 2 = 2x 2((1)2 4 (x 1) 4 = (1) 4 x 2 1) (1 1) (x 2 = 2.3 1) 4 4 = 3 2. x 2 c Robert Mařík, 26 ց
128 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 x 2 ց min 1 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 ր 1 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 y (2) 2x = (x 1) 4 = 4 1x 2 (2 1) (x 3 = 1) < c Robert Mařík, 26 ց
129 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 Vypočteme druhou derivaci. = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26
130 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 y Použijeme = 4 x 2 (x 1) 4; x pravidlo pro derivaci podílu. 2 = 2 Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci. 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26
131 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 Vytkneme (x 1) 2 včitateli. = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26
132 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 Upravíme. ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = c Robert Mařík, 26
133 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 ( ) x 1 y = 2 (x 1) 3 = 2 1(x 1)3 (x 1)3(x 1) 2 (1 ) ((x 1) 3 ) 2 2 (x 1) (x 1)3 = 2(x 1) (x 1) 6 = 2 2x 4 (x 1) 4 = 4 x 2 (x 1) 4 4 x 2 4 = Obdrželi jsme druhou derivaci. c Robert Mařík, 26
134 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 4 x 2 (x 1) 4 = x 2 = x = 2 in. 2 1 Řešíme y =. c Robert Mařík, 26
135 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 4 x 2 (x 1) 4 = x 2 = x = 2 in. 2 1 Jedinéřešeníje x = 2. c Robert Mařík, 26
136 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 Budeme určovat intervaly konvexnosti a konkavity. Zakreslíme bod, kde je druhá derivace nulová a bod nespojitosti na reálnou osu. c Robert Mařík, 26
137 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 3 2 (3) = 4 kladnáhodnota < c Robert Mařík, 26
138 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 2 () = 4 kladnáhodnota > c Robert Mařík, 26
139 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 Inflexníbodjevbodě x = 2.Funkčníhodnotaje (Vypočtěte si sami.) y(2) = c Robert Mařík, 26
140 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2 D(f ) = R \ {1}; y() = 2;neníprůsečíksosou x y = 2 x 1 (x 1) 3; x 1 = 1...lok.minimum, y(1) = 3 2 y = 4 x 2 (x 1) 4; x 2 = 2 in. 2 1 y 2 1 (2) = 4 kladnáhodnota > c Robert Mařík, 26
141 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 f (2) = 14 9 Shrneme dosavadní znalosti. c Robert Mařík, 26
142 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Nakreslíme souřadnou soustavu. c Robert Mařík, 26
143 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Vyznačíme průsečík s osou y. Funkce v tomto bodě roste. c Robert Mařík, 26
144 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Nakreslíme asymptoty. c Robert Mařík, 26
145 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty. c Robert Mařík, 26
146 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty. c Robert Mařík, 26
147 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Nakreslíme lokální minimum funkce. c Robert Mařík, 26
148 ց minր ց in. 1 2 f () = 2 f (± ) = 2 f (1±) = f (1) = 3 2 y f (2) = x Hotovo! c Robert Mařík, 26
149 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
150 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Definičníoborurčímezpodmínky y = 3x2 (3 3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 x 2 ).Dostávámedvabody nespojitosti ± 3. ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
151 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 x ± 3 x 2 = x ± x 2 = Průsečík s osou y má druhou souřadnici x 3 x ± y = 3x2 y() (3= x 2 ) x 3 ( 2x) 3 (3 =. x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 x = c Robert Mařík, 26
152 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± x 3 Řešením rovnice y = 3x2 získávámejedinýprůsečíksosou (3 x 2 ) x 3 ( 2x) x,bod 3 x2 (3 x 2 ) ( 2 x =. ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
153 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Nulový bod a body nespojitosti ( vyneseme na 2 ) reálnou osu. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
154 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(2) = 8 y = 3x2 (3 3 x 2 ) 4 = x 38 > ( 2x) agraffunkcejenadosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( (, 2 ) 3). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
155 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(1) = 1 y = 3x2 (33 x 2 1 ) = x ( < 2x) agraffunkcejepodosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( ( 2 ) 3, ). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
156 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(1) = 1 y = 3x2 (33 x 2 1 ) = 1 x2 3 > ( 2x) agraffunkcejenadosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( (, 2 ) 3). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
157 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Platí y(2) = 8 y = 3x2 (33 x4 2 ) = 8 x 3 < ( 2x) agraffunkcejepodosou xnaintervalu (3 x 2 ) ( ( 3, 2 ) ). x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
158 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Budeme zkoumat jednostranné ( ity v bodech 2 ) nespojitosti. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
159 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± Všechnyityjsoutypu y = nenulovývýraz 3x2 (3 x 2 ) a x jednostranné 3 ( 2x) ity jsou (3 x 2 ) nevlastní. Správné znaménko( snadno zjistíme 2 ) ze schematu uvedeného výše. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
160 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) Vypočteme ity v nevlastních ( bodech. 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
161 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 x 3 3 x 2 = 27 = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x 3 27 x 3 3 x 2 = = x ± x 3 3 x 2 = x ± x 3 x 2 = x = x ± y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 Jedná se o podíl polynomů. V nevlastních ( 2x) (3 x 2 bodech ) ( 2 je podstatná pouze závislost na vedoucích členech polynomů v čitateli ) a ve jmenovateli. x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 c Robert Mařík, 26
162 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 Budeme hledat derivaci funkce. Derivujeme podíl y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; x 3 3 x 2 podlevzorce ( u ) u v u v ց min ր = v ր ր ր MAX ց 3 v c Robert Mařík, 26
163 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 ( ) x 2 9 x 2 y = (3 ) 2 ; Vytkneme x 2. ց min ր ր 3 3 ր ր MAX ց 3 c Robert Mařík, 26 3
164 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = 3 3 y = 3x2 (3 x 2 ) x 3 ( 2x) (3 x 2 ) ( 2 ) x 2 3(3 x 2 ) 2x 2 = (3 x 2 ) ( ) 2 x 2 9 x 2 = (3 x 2 ) 2 ( ) x 2 9 x 2 y = (3 x 2 ) 2 ; Upravíme závorku. ց min ր ր 3 3 ր ր MAX ց 3 c Robert Mařík, 26 3
165 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = Řešenímrovnice x 2 (9 x 2 ) = (3jsoubody x 2 ) ] 3 x = ax= ±3.Tyto stacionární body vyneseme 2x [273x 2 spolu s body nespojitosti na reálnou osu. c Robert Mařík, 26 3
166 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Červeně označené výrazy v derivaci (3jsou x 2 kladné ) 4 a neovlivní ] výsledné znaménkoderivace.stačítedyzjišťovatznaménkovýrazu 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 (9 x 2 ).Pro x = 4platí= 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (4) 2 <. 2 c Robert Mařík, 26 3
167 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 2platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (2) 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3
168 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Vbodě x = 3jelokálníminimum.Funkčníhodnotaje (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = y(3) = 27 (3 3 x 2 ) 9 ] 3 = 27 6 = 9 2 2x [273x 2 c Robert Mařík, 26 3
169 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 1platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = 9 (1) 2 >. 2 c Robert Mařík, 26 3
170 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 1platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = >. 2 c Robert Mařík, 26 3
171 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 2platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = >. 2 c Robert Mařík, 26 3
172 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 Pro x = 4platí = 9 (3 x 2 ) ] x 3 2x [273x 2 = <. 2 c Robert Mařík, 26 3
173 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = průsečíksx: x = y = x 2 ( 9 x 2 ) (3 x 2 ) 2 ; ց 3 3 min ր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = Vbodě x = 3jelokálnímaximum.Funkčníhodnotaje (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = y(3) = 27 (3 3 x 2 9 ) ] 3= 27 6 = 9 2 2x [273x 2 c Robert Mařík, 26 3
174 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) 3 Derivujeme funkci ] 2x [273x x 2 (9 x 2 ) = (3 x 2 ) 3 (3 x 2 ) 2 = 9x2 x 4 (3 x 2 ) 2 podle vzorce ] 2x [27 3x 2 ( u ) u v u v y = (3 x 2 ) 3 ; x = = v v c Robert Mařík, 26
175 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = Protože jsme (3ve jmenovateli x 2 ) 3 neroznásobovali, ale derivovali jako složenou funkci, nezbavili ] jsme se možnosti vytknout. 2x [27 3x 2 y = Nyní tedy vytkneme (3 x 2 ) 3 ; x = členy, které se v čitateli opakují. 3 3 c Robert Mařík, 26
176 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = (3 x 2 ) 3 ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = Zkrátíme a roznásobíme závorky. 3 3 c Robert Mařík, 26
177 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = y = (18x 4x3 ) (3 x 2 ) 2 (9x 2 x 4 ) 2(3 x 2 )(2x) ((3 x 2 ) 2 ) 2 [ ] 2x(3 x 2 ) (9 2x 2 )(3 x 2 ) (9x x 3 )(2x) = (3 x 2 ) 4 ] 2x [279x 2 6x 2 2x 4 18x 2 2x 4 = (3 x 2 ) ] 3 2x [273x 2 = (3 x 2 ) 3 ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = Výrazy v hranaté závorce se sečtou resp. odečtou. 3 3 c Robert Mařík, 26
178 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Druháderivacejevypočtena.Nyníhledámeřešenírovnice y =.Protože výraz (27 3x 2 )jestálekladný,jejedinýmřešenímtétorovnicebod x =. c Robert Mařík, 26
179 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Nareálnouosuvynesemebod x = (y () = )abody,kdejedruhá derivace nespojitá. c Robert Mařík, 26
180 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y 2 (2) [kladnývýraz] (2) = (3 (2) 2 ) 3 = zápornývýraz zápornývýraz > a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo 2. c Robert Mařík, 26
181 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y 2 (1) [kladnývýraz] (1) = (3 (1) 2 ) 3 = zápornývýraz kladnývýraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26
182 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y (1) = 2 1 [kladnývýraz] (3 1 2 ) 3 = kladnývýraz kladnývýraz > a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26
183 x3 y = 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = ] 2x [27 3x 2 y = (3 x 2 ) 3 ; x = 3 Dělením se zbytkem zjistíme, že platí 3 x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. Platí y (2) = 2 2 [kladnývýraz] (3 2 2 ) 3 = kladnývýraz zápornývýraz < a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1. c Robert Mařík, 26
184 y = x3 3 x 2 D(f ) = R \ {± 3}; y() = Dělením se zbytkem zjistíme, že platí x 3 3x = x 3 x2 3 x 2 Prvníčástjepřímka,druháčástseblížíknulepro xblížícísedoplusnebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = x. c Robert Mařík, 26
185 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = Shrneme nejdůležitější výsledky. c Robert Mařík, 26
186 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y x Zakreslíme svislé asymptoty a funkci v okolí těchto asymptot. c Robert Mařík, 26
187 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y x Podobně zakreslíme šikmou asymptotu a funkci v okolí této asymptoty. Dáváme pozor na konkavitu/konvexitu. c Robert Mařík, 26
188 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y x Zakreslíme funkci v okolí stacionárního bodu, který není lokálním extrémem. c Robert Mařík, 26
189 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y x Zakreslíme lokální extrémy. c Robert Mařík, 26
190 3 3 ցminր ր 3 3 ր 3 ր MAX ց f () = ; f (±3) = 9 2 f (± ) = ; f ( 3±) = ; f ( 3±) = y x Dokreslíme celý graf. c Robert Mařík, 26
191 y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 x x 2 = 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = y = (x2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) 2 = 2x (x2 1) (x 2 1) 2x (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26
192 y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x x 2 = 1 Určíme definiční obor ve jmenovateli nesmí být nula. Řešením rovnice y = (x2 1) (xx 2 1) 1 = (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) je x = ±1.Tytobodyjenutnovyloučitzdefiničníhooboruajednáse 2 o body nespojitosti. = 2x (x2 1) (x 2 1) 2x (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26 x 2
193 y = x2 1 x 2 1 neníprůsečíksosou x D(f ) = R \ {1, 1};průsečíksosou y: [, 1]; 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 x x 2 = 1 x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = x 2 1 x 1 x 2 1 = 2 = y = (x2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) (x 2 1) 2 Dosazením x = určíme = 2x (x2 y() = 1) (x 1 2 = 1) 1,cožjeprůsečíksosou 2x y. 1 (x 2 1) 2 c Robert Mařík, 26
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Konvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.
MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
M - Kvadratická funkce
M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
Aplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:
Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
Matematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Stručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Vyšetření průběhu funkce zadané předpisem
1.1 Úvod Vyšetření průběhu funkce zadané předpisem Napsal jsem funkci v Matlabu, která dokáže vyšetřit funkci, kde. K vyšetření takové funkce jsem používal diferenciálního počtu zejména funkcí symbolického
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
První derivace a lokální extrémy
První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 6. března 2007 Obsah Extrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1.... 3 ( ) 1 + x 4 Extrémyfunkce y =.... 19 1 x x Extrémyfunkce y = (1 + x) 3..... 33 Extrémyfunkce
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH
(Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Derivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Limita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
Funkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.
@034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Funkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická
Vyšetříme funkci f(x): f(x) = 2x3.. Stanovme definiční obor funkce D(f) a zjistíme,ve kterých bodech je funkce sojitá D(f) =(, ) [ (, ) [ (, ). 2. Počítáme f( x) = 2( x)3 ( x) 2 = 2(x) 3 (x) 2 = f(x) Funkce
Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Limita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
Matematika 2 Průběh funkce
Matematika 2 Průběh funkce Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 1 Základní věty diferenciálního počtu Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09
Sbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová